181923 231 双曲线的标准方程

1、2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题(难点)自 主 预 习·探 新 知教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39P40例1以上部分，完成下列问题标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2a2b2判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程1中，a0，b0且

2、ab.()(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2b2c2.()(3)双曲线y2x21的焦点坐标在y轴上()(4)在双曲线1中，焦点坐标为(±5,0)()解析(1)方程1中，a>0，b>0.ab时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a2b2c2.故不正确(3)根据标准方程特点，正确(4)在1中，c，所以焦点坐标为(0，±)答案(1)×(2)×(3)(4)×合 作 探 究·攻 重 难求双曲线标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上

3、. 【导学号：71392073】精彩点拨解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程解答(2)利用待定系数法自主解答(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a>0，b>0)，点P和Q在双曲线上，解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线方程为mx2ny21(mn<0)P，Q两点在双曲线上，解得所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：依题

4、意可设双曲线方程为1(a>0，b>0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中0<<6)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.名师指津1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解再练一题1已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程解椭圆1的焦点坐标为F1(0，

5、3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.双曲线标准方程的讨论(1)如果方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是_(2) “ab<0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的_条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)(3)若方程1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围. 【导学号：71392074】精彩点拨根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解自主解答(1)由题意知(2m)(1m)0，解得2m1.故m的取值范围是(2，1)(2)若ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条

6、件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件答案(1)(2，1)(2)必要不充分(3)由方程1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，)名师指津方程表示双曲线的条件及参数范围的求法(1)对于方程1，当mn0时表示双曲线.进一步，当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程1，则当mn0时表示双曲线.且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时表示焦点在y轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根

7、据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.再练一题2讨论1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？解由于k9，k25，则k的取值范围为k<9,9<k<25，k>25，分别进行讨论(1)当k<9时，25k>0,9k>0，所给方程表示椭圆，此时，a225k，b29k，a2b216，这些椭圆有共同的焦点(4,0)，(4,0)(2)当9<k<25时，25k>0,9k<0，所给方程表示双曲线，此时，a225k，b2k9，c2a2b216，这些双曲线也有共同的焦点(4,0)，(4,0)(3)当k>25时，所给方程没有轨迹

8、.双曲线中的焦点三角形探究问题1双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？提示焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1MF2±2a；(2)SMF1·MF2·sinF1MF2；(3)F1FMFMF2MF1·MF2·cosF1MF2.2在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着F1PF2的变化，F1PF2的面积将怎样变化？提示由公式SPF1·PF2sinF1PF2，cosF1PF21，PF1·PF2.从而得S(F1P

9、F2)0<<，0<<，在内，是单调递减的，当增大时，S减小设F1，F2为双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290°，求F1PF2的周长及F1PF2的面积. 【导学号：71392075】精彩点拨由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1PF2与PF1·PF2，再求周长与面积自主解答法一：点P在双曲线1上，|PF1PF2|4，F1F24.又F1PF290°，F1PF2为直角三角形，PFPFF1F32.列方程组解得或F1PF2的周长为PF1PF2F1F244，F1PF2的面积为PF1

10、3;PF2(22)(22)4.法二：同解法一得|PF1PF2|4，F1F24，PFPF32.(|PF1PF2|)2PFPF2PF1·PF2，即16322PF1·PF2，PF1·PF28.(PF1PF2)2PFPF2PF1·PF2321648，PF1PF24.F1PF2的周长为PF1PF2F1F244，F1PF2的面积为PF1·PF2×84.名师指津在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合PF1PF2±2a，运用平方的方法，建立它与PF1·PF2的联系，体现了数学

11、中的一种整体思想.再练一题3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.解析由双曲线方程得a，b，则c2.因为PF1PF22，且PF12PF2，所以PF14，PF22，而F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2.答案当 堂 达 标·固 双 基1若kR，方程1表示双曲线，则k的取值范围是_解析据题意知(k3)(k2)0，解得3k2.答案(3，2)2平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1PF2|6，则动点P的轨迹方程是_解析由条件可知，双曲线焦点在x轴上，且a3，c5，则b2c2a216，所以动点P的轨迹方程为1.答案13已知椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则实数a_.解析由条件可得4a2a2，解得a1.答案14双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为_解析方程可化为1.由条件可知9，解得k1.答案15根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且