勾股定理知识点及练习

1、勾股定理知识总结 一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最长边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2

2、+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则ABC为锐角三角形）。三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。四：互逆命题的概念我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）规律方法指导 1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，

3、可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c（c是最长边）有下列关系：a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解类题总结类型一：等面积法求高（直角三角形的面积=两直角边乘积的二分之一（或斜边与斜边上高的乘积的二分之一）共4页，第1页。【例题】如右图，ABC中，ACB=900，AC=7，

4、BC=24，CDAB于D。（1）求AB的长；（2）求CD的长。类型二：面积问题【例题】如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。ABCD7cmmmmmmmm图4图3图2图1【练习1】如图2，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。 （2）求ADC的度数。【练习2】如图3，四边形是正方形，且=3cm，=4cm，阴影部分的面积是 .【练习3】如图4，字母B所代表的正方形的面积是( ) A.12 B.13 C.144 D.194类型三：距离最短问题BCDLA【例题】 如右

5、图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河AB东北牧童小屋类型四：判断三

6、角形的形状【例题】如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。【练习1】已知ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.【练习3】.已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）三角形。 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角【练习4】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形共4页，第2页。（A）等边 （B）钝角 （C）直角 （D）锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】在RtABC中，C=90°(1)已知a=6， c=

7、10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。【练习】:如图B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型六：构造应用勾股定理【例题】如图，已知：在中，. 求：BC的长. 【练习】四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 类型七：利用勾股定理作长为的线段例1在数轴上表示的点。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 【练习】在数轴上表示的点。类型八：勾股定理及其逆定

8、理的一般用法【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40类型九：生活问题【例题】如图5，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米 【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如图6），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做 。【练习2】如图7学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们

9、仅仅少走了 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【练习3】如图8，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.图6图5图8图7类型十：翻折问题【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？共4页，第3页。【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 【练习2】如图，ABC中，C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5

10、，求AC的长。 勾股定理练习一、填空题：1. 在RtABC中，C=90°（1）若a=5，b=12，则c=_；（2）b=8，c=17，则SABC=_。2.若一个三角形的三边之比为51213，则这个三角形是_ （按角分类）。3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为_。4传说,古埃及人曾用拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_ _ _.5.命题“对顶角相等”的逆命题为_,它是_命题.(填“真”或“假”)6观察下列各式：32+42=52；82+62=102

11、；152+82=172；242+102=262；你发现其中的规律是 ，请用你发现的规律写出接下来的式子： 。AB第8题图7利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积 因而c2 ,化简后即为c2 abc8 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_。二、选择题：A644 9观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的

12、三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（ ）100A. 6 B.36 C. 64 D. 8 11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （）或不能确定 12.下列命题如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2b2c2=211。其中正确的是（） A、B、C、D、 13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个

13、三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （） A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里 15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（） A、40B、80C、40或360D、80或360 16某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）北南A东第14题图 A

14、、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元150°20m30m第16题图 图9 17如图9，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF三解答题：18.(1)在数轴上作出表示 的 点. 共4页，第4页。(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1-和 +1的点. 19有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿高与门高。 AABABOA第20题图 20一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米