检定与推定计量值与计数值(共51页).ppt

1、 检定与推定检定与推定 计量值与计数值 關於計量值的檢定關於計量值的檢定 假設檢定的步驟：從假設檢定的步驟：從A、B二個母集團裡，各隨機地二個母集團裡，各隨機地抽取大小抽取大小nA及及 nB的樣本，根據這樣本數據來調查的樣本，根據這樣本數據來調查A、B二母集團的平均值二母集團的平均值 A及及B是否有差異，通常這種是否有差異，通常這種問題是先假設問題是先假設H0。 H0： A = B 其次，計算樣本的數據，在這種假設下，實際能實其次，計算樣本的數據，在這種假設下，實際能實現的概率有多大，假设所計算的概率比預先所指定現的概率有多大，假设所計算的概率比預先所指定的概率的概率小的話，則放棄假設，假设大

2、於小的話，則放棄假設，假设大於的話，則的話，則承認假設。當判定放棄無效假設後，所要承認的另承認假設。當判定放棄無效假設後，所要承認的另一假設謂之對立假設，以符號一假設謂之對立假設，以符號H1表示。表示。假設檢定的步驟假設檢定的步驟 由於對立假設由於對立假設H1所設型式的不同，檢定通常所設型式的不同，檢定通常有雙邊檢定和單邊檢定兩種。有雙邊檢定和單邊檢定兩種。 雙邊檢定以雙邊檢定以A不同於不同於B，即，即A、B有差異有差異表示。顧及是否不同表示。顧及是否不同 單邊檢定以單邊檢定以A比比B大或小之型式表示。大或小之型式表示。著重於誰大、誰小的假設。著重於誰大、誰小的假設。 普通使用單邊檢定時，在技

3、術上，必先曉得，普通使用單邊檢定時，在技術上，必先曉得，A可能比可能比B大或小，才有用，不然就得使用雙大或小，才有用，不然就得使用雙邊檢定。邊檢定。冒險率或有意水準冒險率或有意水準預先所指定的概率預先所指定的概率，謂之冒險率或有意水準，謂之冒險率或有意水準，之大小並無一定的規定，但工業上一般採用之大小並無一定的規定，但工業上一般採用=5%。作極重要的判斷時，則採用。作極重要的判斷時，則採用1%3個個標準差，以有意水準標準差，以有意水準放棄無效假設放棄無效假設H0時，時，可說是在有意水準可說是在有意水準下下A、B二母集團的平二母集團的平均值有差異。在有意水準均值有差異。在有意水準下，不能放棄無下

4、，不能放棄無效假設效假設H0，即承認，即承認H0時，可說是在有意水時，可說是在有意水準準下，下，A、B二母集團的平均值不能說有差二母集團的平均值不能說有差異。異。假設的檢定假設的檢定設立無效假設設立無效假設H0設立對立假設設立對立假設H1決定冒險率決定冒險率計算統計量計算統計量求統計量在無效假設之條件下會出現的概率求統計量在無效假設之條件下會出現的概率Pr判斷：雙邊檢定時：判斷：雙邊檢定時： Pr/2或或Pr1-/2時，承認時，承認H1否认否认H0 /2Pr1-/2時，不能否认時，不能否认H0 單邊檢定時：單邊檢定時：Pr時，承認時，承認H1否认否认H0； Pr時，不能否认時，不能否认H0檢定

5、某群體母數是否與母數不同：檢定某群體母數是否與母數不同： 有關母變異檢定有關母變異檢定 有關母平均值之檢定有關母平均值之檢定 的母平均檢定的母平均檢定有關母變異檢定有關母變異檢定如果要檢定製程改變以後的母變異如果要檢定製程改變以後的母變異是否與原來是否與原來的母變異的母變異不同時，一般是從改變後的製程裡，不同時，一般是從改變後的製程裡，隨機的抽取隨機的抽取n個樣本，根據此樣本來檢定母變個樣本，根據此樣本來檢定母變異是否改變。異是否改變。 H0：202 H1：202 則則X2S/ 2會屬於自由度會屬於自由度 n-1的的X2分配分配 所以求統計量所以求統計量X02S/ 02有關母變異檢定有關母變異

6、檢定 H0：202 H1：202 則則X2S/ 2會屬於自由度會屬於自由度 n-1的的X2分配分配 所以求統計量所以求統計量X02S/ 02 則則X02 X2，/2or X02X2，1- /2 時，否认時，否认H0承認承認H1 X2，1- /2 X02 X2，/2時，時，不能否认不能否认H0有關母變異檢定的案例：某制品依照原來的製有關母變異檢定的案例：某制品依照原來的製造方法製造時，其強度的變異為造方法製造時，其強度的變異為02=32， 最近改變了製造方法，因要知道改變後的變最近改變了製造方法，因要知道改變後的變異異2是否與是否與02=32不同，而從改變後的製程不同，而從改變後的製程裡隨機抽取

7、裡隨機抽取n=10的樣本，測定結果為的樣本，測定結果為53、48、54、51、48、52、46、50、51、49，試問製造，試問製造方法改變後製品強度的母變異是否有改變？方法改變後製品強度的母變異是否有改變？解：解：NoXX=X-50X212345678910534854514852465051493-241-22-401-1941614416011計2561設立假設H0：2=32，H1： 2322決定冒險率=0.053計算偏差平方和S=55.64求X02=S/2=55.6/325=n-1=10-1=9X2，/2=19.02X2，1-/2=2.706判定：X2，1-/2X02X2，/2故不能否

8、认H0結論：在有意水準5%下判定製造方法改變後不能說製品強度之母變異有改變。有關母平均值之檢定有關母平均值之檢定改訂作業標準，或製程的一局部改善後，要知改訂作業標準，或製程的一局部改善後，要知道過去的方法所製造製品之母平均道過去的方法所製造製品之母平均0與改變與改變後的母平均後的母平均是否不同的檢定時。是否不同的檢定時。 假設假設H0： = 0 ，H1： 0 求求t0=X- 0 /e/n的統計量的統計量 =n-1的的t分配分配則則 t0 t，時，否认時，否认H0承認承認H1 t0 t，時，不能否认時，不能否认H0案例：案例：某製造廠之一製品，因某化學原料改變，可節某製造廠之一製品，因某化學原料

9、改變，可節省製造本钱，由化學原料改變後之製程中抽省製造本钱，由化學原料改變後之製程中抽取取n=10樣本，測定其品質特性得數據為樣本，測定其品質特性得數據為219，207，211，220，214，215，212，210，219，223。試問原料改變後所生產之製品之品質特。試問原料改變後所生產之製品之品質特性是否有改變根據經驗知道標準差性是否有改變根據經驗知道標準差不會改不會改變，過去製品品質特性之母平均變，過去製品品質特性之母平均0=209.3Kg。解：解：N0XX=x-215X2123456789102192072112202142152122102192234-8-45-10-3-54816

10、641625109251664計0236=0.01X = 215S=236e=S/n-1=5.12t = X-0/ e /n=3.52t，= t9，0.01=3.25t0t ，故否认H0承認H1結論：在有意水準1%下，判定原料改變後，製品品質特性之母平均已改變。的母平均檢定的母平均檢定某自動包裝機為要調整包裝重量為某自動包裝機為要調整包裝重量為50gr經包裝經包裝作業員調整後，先包裝作業員調整後，先包裝12袋，班長以磅秤測袋，班長以磅秤測定得數據為定得數據為58，52，50，48，53，47，54，49，47，47，54，50，試問班長是否可認為此包裝，試問班長是否可認為此包裝作業員的調整是對

11、的？作業員的調整是對的？但此包裝機之包裝重量之母變異但此包裝機之包裝重量之母變異=3.0解：設立假設解：設立假設H0：=50 H1：50雙邊檢定雙邊檢定2 2決定冒險率決定冒險率=0.05=0.053 3求求 X =50.75 X =50.754 4計算計算u0=u0=X- 0 X- 0 / /n/n = =50.75-5050.75-50/ /3/123/12=0.866=0.8665 5查查u u表表u u0.05/20.05/2=1.96=1.966 6判定：判定： u0 u0 u u/2/2不能否认不能否认H0H0 故此班長不能下判定說此作業員所調整之故此班長不能下判定說此作業員所調整

12、之 包裝重量是不對的。包裝重量是不對的。檢定兩組母數是否不同檢定兩組母數是否不同 有關母變異之檢定有關母變異之檢定 有關兩組母平均差的檢定有關兩組母平均差的檢定 成對的數據之差的檢定成對的數據之差的檢定有關母變異之檢定有關母變異之檢定 為了要知道為了要知道A、B二組母集團的變異是否不同，二組母集團的變異是否不同，而從而從A、B二組母集團裡，各隨機抽取二組母集團裡，各隨機抽取nA及及nB的樣本，根據此樣本的數據以檢定二組變異是的樣本，根據此樣本的數據以檢定二組變異是否不同。否不同。 統計量統計量F0=VA/VB F0FA，B，/2否认否认H0承認承認H1 F0FA，B，/2不能否认不能否认H0

13、VA與與VB中，較大者為中，較大者為VA較小者為較小者為VB案例：案例：A、B兩種製造方法所製造的塑膠製品，兩種製造方法所製造的塑膠製品，其引張強力如下表，試檢定其引張強力如下表，試檢定A、B兩種塑膠製兩種塑膠製品的變異是否不同。品的變異是否不同。XAXA=（xA-0.80）.100XA2XBXB=（xB-0.80）.100XB20.790.820.760.800.790.820.750.800.840.76-12-40-12-504-4141601425016160.820.810.780.850.810.830.800.790.860.8021-25130-160414251901360-

14、78315811設立假設H0：A2=B2 H1： A2 B22決定冒險率 =0.053SA=0.00781，VA=SA/nA-1=0.000868 SB=0.00585，VB=SB/nB-1=0.000654計算F0= VA / VB=0.000868/0.00065=1.345A=9，B=9 故F A ， B ，/2=F9，9，0.025=4.036判定： F0 =F9，9，0.025故不能否认H0結論：在有意水準5%下，判定A、B兩種製造法所製造塑膠製 品，其變異不能說有差異。有關兩組母平均差的檢定有關兩組母平均差的檢定從從A、B二組母集團隨機各抽取二組母集團隨機各抽取nA及及nB的樣本，

15、的樣本，根據此樣本檢定根據此樣本檢定A、B二組母集團的母平均值二組母集團的母平均值是否有差異，其中是否有差異，其中A=B 設立假設設立假設H0：A=B，H1： A B 統計量統計量t=XA-XB/e. 1/nA1/nB t0 t，否认否认H0承認承認H1 t 0 t，不能否认不能否认H0 e =SASB/nAnB-2案例：某零件，有了彎曲不良的問題。研究結果認為零件經熱案例：某零件，有了彎曲不良的問題。研究結果認為零件經熱處理後，處理後，A、B二種冷卻法的其中一種冷卻法所製零件彎曲較二種冷卻法的其中一種冷卻法所製零件彎曲較少，於是從少，於是從A、B隨機各作隨機各作10次實驗，試檢定次實驗，試檢

16、定A、B二種冷卻二種冷卻法所製零件的彎曲程度其平均值是否有差異法所製零件的彎曲程度其平均值是否有差異A、B二種冷卻二種冷卻法所製零件之母變異沒有差異。法所製零件之母變異沒有差異。XAXA=（xA-0.80）.100XA2XBXB=（xB-0.80）.100XB20.790.820.760.800.790.820.750.800.840.76-12-40-12-504-4141601425016160.820.810.780.850.810.830.800.790.860.8021-25130-160414251901360-78315811設立假設設立假設H0：A=B， H1：A B2決定冒險

17、率決定冒險率=0.053計算平均值計算平均值 XA =0.793，XB=0.8154求求SA，SB及及V SA =0.00781， SB =0.00585，V=0.02755計算計算t0=XA-XB/V1/nA+1/nB =-1.7866由由t表表 t18，0.05=2.1017判定：判定： t0 2.101 故不能否认故不能否认H0結論：在有意水準結論：在有意水準5%下，判定下，判定A、B二種冷卻法所製零件之彎二種冷卻法所製零件之彎 曲程度不能說有差異。曲程度不能說有差異。成對的數據之差的檢定成對的數據之差的檢定A A與與B B的數據相互成對時，應該採用成對數據的的數據相互成對時，應該採用成

18、對數據的檢定方法檢定方法 假設假設H0H0：d=0d=0，H1H1：d0d0 統計量統計量t0= d /t0= d / e/n e/n t0 t t0 t，否认否认H0H0承認承認H1H1 t0 t0 t t，不能否认不能否认H0H0案例：為了要知道某乾燥機的右邊與左邊所乾燥的製品其水分案例：為了要知道某乾燥機的右邊與左邊所乾燥的製品其水分是否不同，而隨機各相對的抽取樣本，測定其水分的結果如是否不同，而隨機各相對的抽取樣本，測定其水分的結果如下，試檢定之。下，試檢定之。N0右側左側差 dD=d10D212345678910111216.017.215.415.616.317.414.814.3

19、15.416.914.715.715.717.314.815.216.017.614.613.614.817.114.215.30.3-0.10.60.40.3-0.20.20.70.6-0.20.50.43-1643-2276-254913616944493642516計352091 1設立假設設立假設H0H0：d=0d=0， H1 H1：d0d02 2決定冒險率決定冒險率=0.01=0.013 3求求d d值值4 4求求 D = D =35/1235/121/101/10=0.29=0.295 5Sd=1.07Sd=1.07，e=Vd=1.07/11=0.31e=Vd=1.07/11=0.

20、316 6計算計算t0=0.29/t0=0.29/0.31/120.31/12=3.24=3.247 7查查t t表表t t1111，0.010.01=3.106=3.1068 8判定：判定： t0 t0 t t1111，0.010.01故否认故否认H0H0承認承認H1H1結論：在有意水準結論：在有意水準1%1%下，判定乾燥機的左邊及右邊所乾燥出來下，判定乾燥機的左邊及右邊所乾燥出來的製品，其水分不同。的製品，其水分不同。檢定時的檢出力檢定時的檢出力所謂檢出力是指母集團改變時能檢出其改變的所謂檢出力是指母集團改變時能檢出其改變的概率概率1- 58 60L=56.5Kg U=59.5Kg/2=2

21、.5%/2=2.5%0 /10=0.79Kg0 /10=0.79Kg0 12+2 =1檢出力的計算檢出力的計算-u1=U-1/n =59.5-60.0/2.5/10 =-0.63查表得查表得1=0.264-u2=-4.43因此值非常小，可視為因此值非常小，可視為0= 1 - 2=0.264 檢出力為檢出力為1- =0.736故故1=60Kg時，有時，有74%的機會能檢定出其平的機會能檢定出其平均值有改變。均值有改變。計量值的推定計量值的推定母平均的點推定母平均的點推定母標準差的推定值母標準差的推定值時的母平均區間推定時的母平均區間推定Xu/2/n未知時的母平均區間推定未知時的母平均區間推定Xt

22、，e/n母平均差的區間推定母平均差的區間推定XA-XBtA+B， e/1/nA+1/nB母變異的區間推定母變異的區間推定 上限：上限：S/x12 下限：下限：S/x22 = X=R / d2時的母平均區間推定時的母平均區間推定從N，2的母群體，隨機抽取n個樣本，根據樣本數推定母平均在信賴度1-下的信賴界限，如下式：上限：xu/2/n下限：xu/2/n=1=1-u/2 0 u /2 /2/2案例：某製品強度的母標準差假设案例：某製品強度的母標準差假设=3kg/mm2時，求信賴時，求信賴度度95%的強度母平均的信賴界限。的強度母平均的信賴界限。=1-95%=5% ，=n-1=10-1=9u9，0.

23、05/2=1.96X=50.2上限：上限：50.2+1.963/10=52.1 Kg/mm2 下限：下限：50.2-1.963/10=48.3 Kg/mm2 故信賴度故信賴度95%下，可判定強度的母平均在下，可判定強度的母平均在48.3kg/mm2 52.1 kg/mm2之間。之間。xi53 48 54 51 48 52 46 50 51 49502Xj=xi-50 3 -2 4 1 -2 2 -4 0 1 -12Xj29 4 16 1 4 4 16 0 1 156未知時的母平均區間推定未知時的母平均區間推定利用t分配推定母平均在信賴度1-的信賴界線如下式：上限：xt，e/n下限：xt，e/n

24、e為不偏變異V的平方根，但t，為自由度之t分配表的兩邊或概率/2的點。案例：某製品強度的母標準差案例：某製品強度的母標準差假设未知時，求信賴度假设未知時，求信賴度95%的的 強度母平均的信賴界限。強度母平均的信賴界限。=1-95%=5% ，=n-1=10-1=9t9，0.05=2.26S=56-22/10=55.6 ， V=S/n-1=6.18e=V=2.49 ，X=50.2上限：上限：50.2+2.262.49/10=51.97 Kg/mm2 下限：下限：50.2-2.262.49/10=48.43 Kg/mm2 xi53 48 54 51 48 52 46 50 51 49502Xj=xi

25、-50 3 -2 4 1 -2 2 -4 0 1 -12Xj29 4 16 1 4 4 16 0 1 156母平均差的區間推定母平均差的區間推定 變異相等的二個母群體A、B的母平均差A- B在信賴度1-下的信賴界線如下式：上限：xA-xB+tA+B， e 1/nA+ 1/nB下限： xA-xB-tA+B， e 1/nA+ 1/nB但從二個母群體A、B各隨機抽取樣本nA，nB，求其偏差平方和SA，SB，則 e = SA + SB / A+B 例下表的數據是以同種材料在A，B二種的熱處理方法之下，所處理而成的製品的引張強力kg/mm2試求信賴度95%的母平均之差的信賴界線。但兩者的母變異相同XAY

26、A=（XA-7.0）10YA2XBYB= （XB-7.0）10YB21234567891011121314157.17.67.97.87.46.67.17.06.97.316984-410-131368164161610197.86.87.67.77.27.97.87.87.27.77.97.97.07.77.38-267298827990736443649481646444981810499計72.727225113.3836391、求平均值、求平均值 xA=7.0+27/101/10=7.27 xB=7.0+83/151/10=7.552、求平方和、求平方和 SA=225-272/10 1

27、/102=1.521 SB=639-832/15 1/102=1.797A+B=nA-1+nB-1=23V= SA + SB / A + B =1.521+1.797/23 =0.1443 e=V=0.383、求信賴度、求信賴度95%的母平均之差的信賴界限的母平均之差的信賴界限上限：上限：7.55-7.27+t23，0.050.381/10+1/15 =0.60下限：下限：7.55-7.27-t23，0.050.381/10+1/15 =-0.04以以0代替代替母變異的區間推定母變異的區間推定從N，2的母群體隨機抽取n個樣本，根據樣本數據推定母變異在信賴度1-的信賴界限，可利用x2分配：上限：

28、S/x12 下限：S/x22但S為平方和，x12為自由度=n-1的x2分配表上的下側概率1- /2的點， x22為自由度 =n-1的分配表上的上側概率 /2的點。某化學藥品的製造過程中，製造某化學藥品的製造過程中，製造10次的結果，其收量次的結果，其收量為為8.5，7.3，3.0，10.2，3.5，6.5，9.2，5.5，8.2，5.2，求信賴度，求信賴度95%的收量變異的信賴界限。的收量變異的信賴界限。1求平方和求平方和 S=52.012求求X12，1，X22 ，2 =10-1=9 1 =1-/2=1-0.025=0.975 2 = /2=0.025 X12 =9，0.975=2.70 X2

29、2 =9，0.025=19.023求信賴界限：上限：求信賴界限：上限：S/ X12=52.01/2.70=19.26gr 下限：下限：S/ X22=52.01/19.02=2.73gr母不良率的檢定母不良率的檢定如果如果x屬於二項分配，屬於二項分配，P0.5，且，且np5時，此時，此二項分配可近似為二項分配可近似為=np，=np1-p之常態分配，所以之常態分配，所以u=x-np/ np1-p會屬會屬N0，12之常態分配。之常態分配。統計量統計量u0=x-np0/ np01-p0則則 u0 u/2時，否认時，否认H0承認承認H1 u0 u/2時，不能否认時，不能否认H0 例某鑄鐵工廠，過去製程的

30、不良率例某鑄鐵工廠，過去製程的不良率P0=0.12，最近變更鑄，最近變更鑄造方法，為要調查變更後的不良率有否改變，而從變更鑄造造方法，為要調查變更後的不良率有否改變，而從變更鑄造方法後所產出製品裡，隨機抽取方法後所產出製品裡，隨機抽取80個樣品，發現個樣品，發現3個不良品，個不良品，試檢定鑄造方法變更後，不良率是否改變。試檢定鑄造方法變更後，不良率是否改變。1設立假設：設立假設：H0：P=P0=0.12 H1：PP0=0.12雙邊檢定雙邊檢定2決定冒險率決定冒險率=0.053求統計量求統計量 np0=800.12=9.65 ，p00.5 所以可近似為所以可近似為N np0 ， np0 1-p0

31、 n=80，x=3 u0=3-np0/np01-p0=-2.284求求u/2=u0.025=1.965判定判定 u 0 u/2故否认故否认H0承認承認H1母不良率差的檢定母不良率差的檢定例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果想知道A、B兩種製造方法所生產之製程不良率是否不同時，一般是從兩種方法所生產之製品裡，各別隨機抽取nA，nB個樣本，檢查各別之不良品數xA，xB個，根據此數據，檢定其製程母不良率是否不同。 xA屬於二項分配可近似為A= nA pA，A= nA pA1- pA 之常態分配xB屬於二項分配可近似為B= nB pB，B= nB pB1- pB 之常態分配 pA=xA/nA可近

32、似的屬於A=pA，A=pA1-pA/nA pB=xB/nB可近似的屬於B=pB，B=pB1-pB/nB pA - pB近似的屬於= pA - pB ， = pA1-pA/nA+ pB1-pB/nBu0= pA - pB /p1-p1/nA+1/nB則 u0 u/2否认H0承認H1 u0 u/2不能否认H0母不良率差的檢定：例如從母不良率差的檢定：例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，兩種製造方法所生產的製品，如果想知道如果想知道A、B兩種製造方法所生產之製品不良率是否不同兩種製造方法所生產之製品不良率是否不同時，一般是從兩種製造方法所生產之製品裡，各別隨機抽取時，一般是從兩種製造方法所生產之製

33、品裡，各別隨機抽取nA，nB個樣本，檢查各別之不良品數個樣本，檢查各別之不良品數xA，xB個，根據此數個，根據此數據，檢定其製程母不良率是否有不同。據，檢定其製程母不良率是否有不同。1設立假設設立假設 H0：pA=pB，H1：pAPB 2=0.013推定母不良率推定母不良率P= xA + xB / nA + nB =0.0964u0= pA -pB/P1-P1/nA+1/nB=4.295u/2=u0.01/2=2.586判定：判定： u0 u/2故否认故否认H0承認承認H1鑄造方法檢查數不良品數A法1100133B法80049母缺點數的檢定母缺點數的檢定X X會屬於波松分布，如果會屬於波松分布

34、，如果m5m5時此波松分布可近似為時此波松分布可近似為N N=m=m，=m=m的常態分布，所以的常態分布，所以u=u=x-mx-m/ m/ m會屬於會屬於N N0 0，1212的常態分布。的常態分布。H0H0：m=m0m=m0H1H1：mm0mm0求統計量求統計量u0=u0=x-m0 x-m0/ m0/ m0時時則則 u0 u u0 u/2/2時否认時否认H0H0承認承認H1H1 u0 u0 u u/2/2時不能否认時不能否认H0H0例：某鋼管製造工廠，其電鍍工程，過去平均每例：某鋼管製造工廠，其電鍍工程，過去平均每1立方公尺有立方公尺有12處刮痕，經某工程師研究結果，改變電鍍方法，今從改變電

35、處刮痕，經某工程師研究結果，改變電鍍方法，今從改變電鍍方法所生產之電鍍製品中檢查刮痕結果，發現每鍍方法所生產之電鍍製品中檢查刮痕結果，發現每1立方公尺立方公尺中有中有6處括痕，試問此工程師所提出之電鍍方法之改善案是否處括痕，試問此工程師所提出之電鍍方法之改善案是否可判定有效？可判定有效？1H0：m=m0=12， H1：mm0=122=0.053求統計量求統計量u0=x-m0/m0=6-12/12=-1.734求求u=u0.05=1.6455判定判定 u0 u0.05故否认故否认H0承認承認H1結論：在有意水準結論：在有意水準5%下，判定電鍍方法改變後，製程刮痕有減下，判定電鍍方法改變後，製程刮

36、痕有減 少，故判定此改善案有效。少，故判定此改善案有效。母不良率的區間推定母不良率的區間推定不良率不良率P雖屬於二項分步，但雖屬於二項分步，但np5，p0.5時時可近似為可近似為N=p，=p1-p/n的常態分的常態分布，故推定母不良率布，故推定母不良率p在信賴度在信賴度1-的信賴的信賴界限為：界限為： p上限上限=p+/2 p1-p/n p下限下限=p-/2 p1-p/n例：某鑄鐵工廠已經知道鑄鐵方法改變後，不良率也變更，今例：某鑄鐵工廠已經知道鑄鐵方法改變後，不良率也變更，今在製程中檢查在製程中檢查80個製品裡，發現個製品裡，發現6個不良品，試推定鑄鐵方法個不良品，試推定鑄鐵方法變更後的製程不良率之信賴度變更後的製程不良率之信賴度95%的信賴界限。的信賴界限。解：因解：因np5，故可近似常態分布求信賴界限，故可近似常態分布求信賴界限1求求p=x/n=6/80=0.0752求求u=/2=u0.05/2=1.963求信賴界限求信賴界限 p上限上限=p+u /2 p1-p/n =0.075+1.960.0751-0.075/80 =0.133 p下限下限=p-u /2 p1-p/n =0.017 故不良率之信賴度故不良率之信賴度95%的信賴界限為的信賴界限為