现代控制理论

1、控制系统的状态空间分析与综合24.2 线性定常系统的可控性线性定常系统的可控性 可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。 4.2.1离散系统的可控性 为导出系统可控性的条件，设单输入系统状态方程为 其解为(1)()()()()()x kFx kG u ky kC x kD u k3 k=0: k=2: k=1: k=k-1:于是，系统解为:(1)( ) (0)( ) (0)xF T xF T u2(2)( ) (1)( ) (1)( ) (0)( )( ) (0)( ) (1)xF T xG T uFT xF T G T u

2、G T u(3)( ) (2)( ) (2)xF T xF T u32( ) (0)( ) ( ) (0)( ) ( ) (1)( ) (2)FT xFT G T uF T G T uG T u110( )( ) (1)( ) (1)( ) (0)( )( ) ( )kkkiix kF T x kG T u kFT xFT G T u i 110( )( )( )( ) (0)( )( ) ( )( )kkkiiy kCx kDx kCFT xCFT G T u iDu k 1010( )(0)(1)( )(0)(1)( )kkjjkkjjx kFxF Gu kjy kCFxCF Gu kjD

3、u k410()(0)(1)NNiix NFxF Gu NTiT12()(0)(0)(1).(1)NNNx NFxFGuFGuGu NkkhF G011()(0)(1)(2).(0)NNx NFxh u Nh u Nhu5011()(0)(1)(2).(0)NNx NFxh u Nh u Nhu011(1)(2).()(0).(0)NNu Nu Nhhhx NFxuHUB()(0)NBx NFx61nHGFGFG称H为可控性矩阵。n个方程中有n个未知数 ) 1(,0nuurank Hndet0H 称为可控性判据。此为充要条件。 当rank Hn时，系统不可控，表示不存在能使任意)0(x转移至任

4、意 )(nx的控制。或则 11(1)(2 )()(0 )(0 )Nu nu nHBHx NFxu上式是一个非齐次线性方程组，7从以上推导看出，状态可控性取决于F和 ，当 )(ku不受约束时，可控系统的状态转移n个采样周期便可以完成.上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且还给出了求取控制指G过程至多以令的具体方法。 8例 ,设单输入线性定常散离系统状态方程为)(101)(011220001) 1(kukxkx试判断可控性；若初始状态Tx012)0(，确定使0)3(x的控制序列)0(u,) 1 (u, )2(u；研究使0)2(x的可能性。解解 由题意知1001022 ,0( )1101F

5、Gu k 2rankHrank GFGF G nrank3311220111故该系统可控。9若令0)2(x，即解下列方程组062) 1 ()0(110211uu容易看出其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 011602211 两个秩不等，方程组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。若的秩为3，该两个秩相等时，便意味着可用两步完成状态转移。10例:输入线性定常离散系统的状态方程为 (1)( )( )x kFx kGu k22100020 ,0114010FG试判断可控性，设初始状态为T2 , 0 , 1，研究使0 x(1)的可能性。 解：解：2HGFGF G 1014001402010

6、422100由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使系统从任意初态在三步内转移到原点。11可求得 12(0)1,(0)0uu，在一步内使该初态转移到原点。当初始状态为21 23T亦然，只是1)0(, 0)0(21uu。但本例不能对任意初态，使之在一步内转移到原点。时，12离散系统的状态可观测性) 1(,),0(nuu) 1(,),0(nyy)0(x及，则称系(1)( )( )( )( )( )x kFx kGu ky kCx kDu k因为是讨论可观性，可假设输入为0，其解为 ( )(0)( )(0)kkx kF xy kCF x 将)(ky写成展开式1(0)(0)(1

7、)(0)(1)(0)nyCxyCFxy nCFx定义：已知输入向量序列输出向量序列，能唯一确定任意初始状态向量统是完全可观测的。13其向量-矩阵形式为 121(0)(0)(0)(1)(0)(1)nnxCyxCFyxCFy n令 11TnCCFVCF为线性定常离散系统可观测性矩阵。为保证对任意的输出y，都有x（0)和他对应，则可观测的充分必要条件为 1rankTVn1= rankrank()TTTTnTVCF CFC14例例: 判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。其输出矩阵取了两种情况。 (1)( )( ),( )( ),1,2ix kFx kGu ky kC ki 121012001021 ,1 ,010 ,1003021FGCC 解解 计算可观测性矩阵V1 （1） 211110030031 ,2 ,()4det12430010010TTTTTCF CFCV 故系统可观测。由输出方程)()(2kxky由于可见，在第0步便可由输出确定状态变量 . 20 x223(1)(1)2(0)(0)yxxx 故在第1步便可确定3(1)x。由于 22321(2)(2)2(1)(1)4(0)3 (0)yxxxxx 故在第2步便可确定1(0)x 该系统为三阶系统，可观测意