181911 112　棱柱棱锥和棱台的结构特征

1、棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标：1.了解多面体的定义及其分类(重点)2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征(重点)3.在棱柱、棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系(难点)自 主 预 习·探 新 知1多面体(1)定义由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体(2)相关概念图1­1­18(3)凸多面体把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体思考：1.长方体、正方体是多面体吗？提示是长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义2最简单的多面体由几个面

2、所围成？提示四个2棱柱的结构特征名称结构特征图形及表示法分类棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上、下底面分别是四边形ABCD、四边形ABCD的四棱柱，可记为棱柱ABCD­ABCD依据底面多边形的边数例如：三棱柱(底面是三角形)，四棱柱(底面是四边形)3.棱锥的结构特征名称结构特征图形及表示法分类棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公

3、共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱用顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中棱锥可表示为棱锥S­ABCD依据底面多边形的边数例如：三棱锥(底面是三角形)，四棱锥(底面是四边形)4.棱台的结构特征名称结构特征图形及表示法分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.用上下底面的顶点表示棱台如：上、下底面分别是四边形ABCD、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台ABCD

4、3;ABCD按照棱台底面多边形的边数分类例如：三棱台(由三棱锥截得)，四棱台(由四棱锥截得)基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥()(2)棱台的侧棱长都相等()(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形()(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形()答案(1)(2)×(3)×(4)×2如图1­1­19，观察下列多面体，有什么共同特点？图1­1­19解(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边

5、形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行3棱锥的侧面和底面可以都是()【导学号：90662019】A三角形B四边形C五边形 D六边形A棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形合 作 探 究·攻 重 难棱柱、棱锥、棱台的概念下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是_(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)棱台的各侧棱延长后必交于一点；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥解析(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

6、(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(5)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥答案(2)(3)(4)规律方法判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等跟踪训练1下列关于棱柱的说法正确的个数是()四棱柱是平行六面体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个面平行，其余各面都

7、是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱A1B2C3D4A四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故不正确说法就是棱柱的定义，故正确；对比定义，显然不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故不正确几种常见四棱柱的关系下列说法中正确的是()【导学号：90662019】A直四棱柱是直平行六面体B直平行六面体是长方体C六个面都是矩形的四棱柱是长方体D底面是正方形的四棱柱是正四棱柱C直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错规律方法

8、几种常见四棱柱的关系跟踪训练2一个棱柱是正四棱柱的条件是()A底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱D选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D.对多面体的识别和判断如图1­1­20长方体ABCD­A1B1C1D1.图1­1­20(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱

9、柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱思路探究解(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是BEB1与CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.规律方法 正确判断几何体类型的方法要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征对于有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定棱柱的概念中两个面互相平行，指的是两个底面互相平行但由于棱柱的放置方式不同，两个底面的位置就不一样，但无论如何放置，都应该满足棱柱的定义跟踪训练3

10、如图1­1­21，下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台(仅填相应序号)图1­1­21解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台答案几何体的计算问题探究问题1计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？提示常用到的直角三角形有：由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形2其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？提示是3正棱台中的计算呢？提示根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三

11、棱锥的高.【导学号：90662019】思路探究正三棱锥侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形勾股定理求解解作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点在RtADO中，AD，OAD30°，故AO.在RtSAO中，SA2，AO，故SO3，其高为3.母题探究：1.将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？解在RtSDO中，SD2，DOAO，故SO.2将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？解如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC.则SOC是直角三角形，由题意BC3，则OC，又因为SC2，则SO.故其高为.规律方法1正棱

12、锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PECD于E，则PE为斜高图1­1­22(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC.(2)斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE.(3)侧棱、高构成直角三角形，如图1­1­22中RtPOC.2正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图1­1­23(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1B1C1于E1，OEBC于E，则E1E为斜高，图1­1­23(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.(2)斜高、高

13、构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.当 堂 达 标·固 双 基1下列几何体中是棱柱的个数有()图1­1­24A5个B4个C3个 D2个D由棱柱的定义知是棱柱，选D.2对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A棱柱 B棱锥C棱台 D一定不是棱柱、棱锥D有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选D.3如图1­1­25所示，在棱锥A­BCD中，截面EFG平行于底面，且AEAB13，已知BCD的周长是18，则EFG的周长为_.【导学号：90662019】图1­1­25解析由已知得EFBD，FGCD，EGBC，EFGBDC，.又，EFG的周长18×6.答案