用二重积分计算旋转体的体积

1、http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 1蜀南竹海http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 2 作为定积分的几何应用，旋转体的作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。体积一般是用定积分来计算。 本课件用元素法来推导旋转体体积本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。的二重积分的计算公式。 将二重积分化为二次积分可以得到将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、计算旋转体体积的定积分公式、 最后，举例加以说明。最后，举例加以说明。http:/ June 28

2、, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 3先看特殊的情形先看特殊的情形旋转轴为坐标轴旋转轴为坐标轴http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 4 设设D是上半平面内的一个有界闭区域。是上半平面内的一个有界闭区域。 将将D绕绕x轴轴旋转一周得一旋转体，求该旋旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积转体的体积Vx。 我们用元素法来建立旋转体体积的二我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。重积分公式。Dhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 5d( , )x yD在区域在区域D的的(

3、x,y)处取一个面积元素处取一个面积元素d它到它到x轴的距离是轴的距离是 y （如图）。（如图）。该面积元素绕该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：轴旋转而成的旋转体的体积约为：2xVydd（体积元素）（体积元素）于是整个区域绕于是整个区域绕x轴旋转而轴旋转而成的旋转体的体积为：成的旋转体的体积为：2xDDdVdyVyhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 6d( , )x yD命题命题1：上半平面内一个有界闭区域：上半平面内一个有界闭区域D绕绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：轴旋转而成的旋转体的体积为：2xDydVyhttp:/ June

4、 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 7d( , )x yD命题命题2：右半平面内一个有界闭区域：右半平面内一个有界闭区域D绕绕y轴轴旋转而成的旋转体的体积为：旋转而成的旋转体的体积为：2yDxdV同理同理xhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 8下面针对不同的区域下面针对不同的区域将二重积分化为定积分将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式得到熟悉的旋转体体积公式http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 9x型区域型区域绕绕 x轴轴旋转旋转http:/ Jun

5、e 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 10( , )|, 0( )Dx yaxbyf xxy=f(x)bDa如果如果( )2022( )bf xbxaaDVdxydyfddxyx圆片法圆片法则则D绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积为：旋转的旋转体体积为：2( )bxaVfx dxhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 11( , )|, 0( )( )Dx yaxbg xyf xy=f(x)bDay=g(x)如果如果则则D绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积为旋转的旋转体体积为( )( )2222( )( )bf xxag x

6、DbaVdxydyfxgx dxdy垫圈法垫圈法22( )( )bxaVfxgx dxxhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 12y型区域型区域绕绕 y轴轴旋转旋转http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 13( , )|, 0( )Dx ycydxf yx=f(y)dDc如果如果则则D绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积为：旋转的旋转体体积为：( )0222( )dfyycDdcVdyxdxfddyxy圆片法圆片法2( )dycVfy dyyhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐

7、小湛6.2 定积分的几何应用 14yx=f(y)dDcx=g(y)( , )|, 0( )( )Dx ycydg yxf y如果如果则则D绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积为：旋转的旋转体体积为：( )( )2222( )( )dfyycg yDdcVdyxdxfygy dydx垫圈法垫圈法22( )( )dycVfygy dyhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 15x型区域型区域绕绕 y轴轴旋转！旋转！注意：一般教材没有介绍这个公式注意：一般教材没有介绍这个公式。http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几

8、何应用 16( , )|0,( )( )Dx yaxb g xyf xxy=f(x)bDay=g(x)如果如果则则D绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积为：旋转的旋转体体积为：( )( )222 ( )( )yDbf xag xbaVdxdyf xg x dxxdxx柱壳法柱壳法y2 ( )( )byaVf xg xxxdhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 17下面看一个极坐标的情形下面看一个极坐标的情形http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 18( , )|0, 0( )DrrrD如果如果D是曲边

9、扇形：是曲边扇形：( )0322sin2( )sin3rxDVdrrdrrydd则则D绕绕极轴极轴(x轴轴)旋转的旋转体体积为：旋转的旋转体体积为：( )rr32( )sin3xVrd http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 19我们用命题我们用命题1来推导一个有关区域来推导一个有关区域D的的形心形心(质心质心)和和旋转体体积旋转体体积之间的关系的定理：之间的关系的定理：古尔丁定理古尔丁定理Paul Guldin（古尔丁）（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and cen

10、tres of gravity. http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 20( , )x yD上半平面内一个上半平面内一个有界闭区域有界闭区域D绕绕x轴旋转而轴旋转而成的旋转体的体积成的旋转体的体积等于等于该区域的该区域的形心形心所经过所经过的路程与的路程与D的面积的面积A的乘积的乘积。12xDydV证 由命题y古尔丁定理古尔丁定理2Ddy12DAAdy2Ay形心形心Ahttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 21( , )x yDy形心形心A如果你很容易求得如果你很容易求得D的面积和形心，用古

11、尔的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。丁定理就很容求得旋转体的体积。http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 22下面来看一般的情形下面来看一般的情形一般的区域一般的区域&一般的旋转轴一般的旋转轴http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 23 设设D是是xOy坐标平面内的一个有界闭区坐标平面内的一个有界闭区域。直线域。直线L与与D的内点不相交（如图）的内点不相交（如图） 。 将将D绕直线绕直线L旋转一周得一旋转体，求旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积该旋转体的体积V。 我们用

12、元素法来建立旋转体体积的二我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。重积分公式。DLhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 24d( , )x yD在区域在区域D的的(x,y)处取一个面积元素处取一个面积元素d它到直线它到直线L的距离是的距离是 ：该面积元素绕该面积元素绕L旋转而成的旋转体的体积约为：旋转而成的旋转体的体积约为：2 dVdd于是整个区域于是整个区域D绕直线绕直线L旋转旋转而成的旋转体的体积为：而成的旋转体的体积为：2DDVddVdd设直线设直线L的方程为的方程为 ax+by+c=0。22axbycdabLhttp:/ June

13、 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 25d( , )x yD222DVaxbyc dabd命题命题 3 区域区域D绕直线绕直线 ax+by+c=0（D在直线在直线的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：Lhttp:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 26下面举几个例子来说明下面举几个例子来说明命题命题 3 中的公式的应用中的公式的应用所有计算都用数学软件所有计算都用数学软件Maple验证了验证了http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 27例例

14、1 求由求由y=2x和和y=x2所围区域所围区域D绕直线绕直线 y=2x旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积V。222022(2)52516 575DxxVdxydxxdyy解f:=(x,y)-2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x:int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);(2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);255d02

15、dx22 x2 xy y x16 575D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 28例例2 求由求由x=y2和和y=x2所围区域所围区域D绕直线绕直线 y=x-1旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积V。21022(1)2123DxxVdxdyxyxyd解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-

16、x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);D12yx2xywith(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constr

17、ained);2 d01dx2x yx1 y x2 3http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 29例例3 求由求由y=0,y=lnx和和x=e所围区域所围区域D绕直线绕直线 y=-x旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积V。ln10222()32 ()4242DexVdxxy dydexye解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,

18、y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);D1lnyxwith(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);2 d1ed0( )ln xyxy x2 3412e14e2eyx http:/ June 28, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 30也可以按先也可以按先x后后y的积分次序计算二重积分：的积分次序计算二重积分：10222()322 ()424yDeeVdyxy dexyedyf:=(x,y)-x+y;y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp