华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总

1、华南师范大学考研数学分析试题2000年华南师范大学数学分析一、填空题(3*10=30分)1.设an(1)nsinn,n1,2,，则liman,liman4nn-xx为有理数.2.设f(x)x，x：mtXR,则f(x)在x一处连续；X,x为无理数3.1xn3.limdxn01x14.lim(sinxcosx)xx05.方程x23xc0(c为实常数)在区间0,1中至多有个根;、一dx6 .设In2-v(n1,n为自然数)，写出In1的递推公式In1(xa)sinxcosy7 .设u(x,y)°f(t)dt,f(t)是可微函数，则du8 .设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指

2、向Pi(2,2)的方向导数是1,指向原点的方向导数是-3,则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是;9 .写出函数在x=0处的哥级数展开式：sin2x;3.3.10.曲线xacost,yasint,0t2的弧长s=.(12分)设f(x)在0,+8)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在0,+8)上可取得最大值或x最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程2,zzyf(一)所确定，其中f是可微函数，试证:y,222、zz_(xyz)2xy2xz.四、（12分）求极限：lim （ n n12n 1 n2 n 2).n 2n五、（12分）已知a,b为实数，且1<a<b,证

3、明不等式：（a 1）1nb （b l）lna六、（12分）计算曲面积分：I的外侧.xdydz y2dzdx z3dxdy.其中 S是球面 x2 y2 z2 1S七、（10分）设Un（x） 0,在a,b上连续,n=1,2,，nun（x）在a,b上收敛于连续函数 1f(x),证明：Un(x)在a,b上一致U敛于f(x).n1162003年华南师范大学数学分析111.、(12分)求极限lim().n1335(2n1)(2n1)、(12分)设D(x,y):1x1,1y1,求积分x2dxdy.nx二、(12分)证明L在a,b上一致收敛(其中，0<a<b<+8)；在(0,+8)上不一致收

4、敛;n11n3x3nx并证明：函数S(x)=一在(0,+°°)上连续.33n11nx四、(12分)求第二型曲线积分白2y3dx1x3dy,其中，L:x22y21,取逆时针方向。L33五、(12分)f(x)是(a,+8)上的连续函数，求证：如果limf(x)和limf(x)都存在(有限),xax那么，f(x)在(a,+8)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。六、(15分)设f(x,y)dx关于yc,d一致收敛，而且，对于每个固定的yc,d,f(x,y)a关于x在a,+°°)上单调减少。求证：当x时，函数xf(x,y)和f(x,

5、y)关于yc,d一致地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析1n1.(12分)设20(1-)n,n1,2,证明数列an严格单调增加且收敛。n2.(12分)求函数f(x)21x sin 一, x x0,x0的导函数，并讨论导函数的连续性。0、 一 2 ( 1)"",3.(12分)求哥级数( ) (xn 1 n1c1)n的收敛半径和收敛域。24.(12分)求函数f (x)1,0,(1)nx 0的Fourier级数，并由此求数列级数:0 x的和。2n 1(a,b),M0为心，r为5 .(12分)设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(0<a<b),f(a)f(

6、b),证明：存在f()(ba)使得f()-Olnblna6 .(15分)Br(M°)是以M°(x°,y0,z0)为心，r为半径的球，B.(M。)是以半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：d一一一f(x,y,z)dxdydz-f(x,y,z)dSdrBr(M0)Br(M。)2005年华南师范大学数学分析一、计算题(4*8=32分)cos(sinx)cosx1.求lim-3.x0sin3x2 .求selxdx.223 .求limxy2.(x,y)(o,o)x2y4 .求xgydx.其中L:x2(y1)2R2,0R1,取逆时针方向L4xy二、证明题(3*9=2

7、7分)ab11 .证明：对a,bR,e2-(eaeb);22 .设liman0,证明：lima红0;nn3.设 f(x)在(0,1)上连续，lim f(x)x 0lim f (x)x 1,证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.三、讨论题(2*8=16分)一一111.讨论级数1一一2332J的敛散性。435万6*(2n1)3(2n)马2.设0,0,讨论sndx的敛散性(包括条件收敛和绝对收敛)。0x2006年华南师范大学数学分析1.(15分)假设I'm。f (x3)存在,试证明:lim f(x) x 0lim f (x3).x 0f(x)在a,b上可积。2 .(15分)假设f(x)在a

8、,b上为单调函数，试证明:3 .(15分)假设Un(x)(n1,2,)在固可上连续，级数Un(x)在(a,b)上一致收敛，试n1证明:(i) Un(a) ,Un(b)收敛;(ii) un(x)在a,b上一致收敛。 n 14.(15 分)假设 f(x, y)(x(x20),试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导0)数存在，但此点不可微5.(15分)计算曲面积分x2dydzsy2dzdx z2dxdy ,其中 s为锥面x2 y2 z2(0 z h)所示部分,方向为外侧。2007年华南师范大学数学分析1 .(15分)证明数列,收敛，并求其极限.2 .(15分)f(x)在x=0的令口域U(0)内

9、有定义，且f(x)=f(-x).(1).(5分)如果f(x)在U(0)可导,证明f(0)0;.(10分)只假定f(0)存在，证明f(0)0.3 .(15分)求积分：06.(15分)利用e x dx 和分部积分法求-1(1 e ax )dx ,其中a>0.020 x2sinnxdx,n0,1,2,.4 .(15分)判别函数列fn(x)*方,x(,)的一致收敛性.1 nx25.(15分)设x2y2z21,求二和一2.xx7.(20分)设L是平面区域2用格林公式证明：(一 x的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微,2一)dxdyods.其中n是L上的单位外法向量，yLnn是u沿n方向

10、的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数f(x)在0,1上连续，且f(0)>0,证明瑕积分1).当1<p<2时收敛，p2时发散.9.(20分)设f(x)在0,+8)上一致连续，且对任何x0,1,有limf(xn)0.证明:nlimf(x)0.x2008年华南师范大学数学分析.(15分)设Un0,limunla,0a1,证明limu00.nn.（15分）设SR为有界集，证明必存在数列xnS,使limxnsupS.(15 分)设 f(x)x为有理数x,x为无理数（1）证明若x0,则f在x处不连续；（2）计算f（0）.4 .（15分）设n为自然数，求不定积分Inxncosxdx

11、的递推公式，并计算xcosxdx.5 .(20分)n&(1)设s(x)-sin-,x0,-,证明lims(x)s(1)，并求s(1).n12n22x1(2)证明函数项级数(1cosx)cosnx在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.6 .(15分)求函数zarctan(Y)在位于圆x2y22xx周切线方向的方向导数(切线倾斜角的范围是07 .(15分)设有n个实数为色，an满足a1230上一点(1,丑)处沿这圆2 21)n10,证明方程 2n 1a1cosxa2cos3xancos(2n1)x0在区间(0,万)中至少有一个根。8 .(20分)设f(x)dx收敛，证明函数g()f(x)co

12、s(*在(，)上一致连续。9 .(20分)设D(x,y)x2y2r2,L是D的边界曲线，L取逆时针方向为正向。n是L的外法线方向上的单位向量，F(P(x,y),Q(x,y)是定义在D上的连续可微1向重函数，计算极限：lim2"Fnds.r0rl2009年华南师范大学数学分析一、(20分)设limf(x),limg(x)A,这里a,AR用语言证明xaxa”limf(x)g(x)xa00 ,这里k R ,求函数、(15分)设数列xn无上界。试证明存在xn的子列xn满足limxnkkkkx,三、(20分)设f(x)由x2,F(x)1,xG(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G的单调

13、性。四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分:21、u(xy)z,求-;xz2、设函数f有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定白函数z=z(x,y)的全微分。五、(15分)求圆锥面z2x2y2在圆柱体x2y2x内的那一部分面积。六、(20分)计算曲线积分IXy2dxXy2dy，其中L是从点A(a,0)经过上Lxyxy22半椭圆与121(y0)到点(a,0)的弧段，这里a0,b00abn七、(20分)设正项级数an发散，anM.令&a。2) .an an1 收敛;n1Sn3) .亘发散。n1Snn1k1求证：1).芈dx；n1Sna1X八、(20分)设是区间I上

14、定义的函数族。若0,0,当X1,X2I且X1X2时，对所有f，都有f(X1)f(X2)，则称函数族在区间I上等度连续。设函数列fn(X)各项在a,b上连续，且fn(X)在a,b上一致收敛于函数f(X),证明：函数列fn(X)在a,b上等度连续。2010年华南师范大学数学分析n1 .已知y-x,求对y进行n阶求导得到的公式。1x2 .已知(1pnn)(p0),求p取不同值的敛散性。nC213 .已知f(x)x2x0f(t)dt20f(t)dt,求f(x)的值。4 .在an数列中，存在M>0时，aa?anM,证明an收敛。5 .已知函数f(x)在a,+8)上连续，g(x)在a,+oo)上一致

15、连续，Jimf(x)g(x)存在，证明f(x)在a,+°°)上一致连续。6 .f(x)在(-8,0)上有f(x3)f(x)，且limf(x)limf(x)f(1),xx0求证f(x)f(1),x(,0)7 .f(x)、g(x)在a,+8)上可微，当xa时，有f(x)g(x)求f(x)f(a)g(x)g(a).8 .f(x,y)在D内关于偏导数y连续，fx(x,y)在D上存在且有界，求证f(x,y)在D上连续。9 .已知一条封闭曲线L,n为它的外法向量，1是任意方向的向量，求证口cos(l,n)ds0.L孝由弁北上普2003年招收研究生入学上生试试艰考试科口:蠹学分析与高等代

16、数琏用皆业基础数学，应用数学，运筹控制一课程与教学论教学分析6题，高等代数5题,各占F分”共】福分一*（12分）求极限修域（占+3%+跖-1鼠包）二（上？分）设口“te：-1EhVLTMVW求枳分JJj-xdxdy三A分）证明殳彳心'3在也可上一致收敛（其中，»fl-1ATl-工。bc+gh在（0,+ao）上不一致收敛；并证明，函数双刃=善田7在伍f）上连缀4 .（12分）求第二组曲线积分金-缈梃*£/加其中.L.二=1,取逆时针方向.5 .6分）八0是风+8）上的连续函数.求正如果唔”和工亶工11）都存在（有限）那么./（!）在（nt-KX?）h-致连续.阿逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例.6 .C5分）设措0”工速的关于Vwk闻一致收敛,而且，对于每个阖定的V掩司，/口用）关于工在k+B）上单圜减少.求证E当工T+oo时T函数工工,整）和人%喇关于vW|cTdj一致地收敛于。.2004隼箱收*士5*&入学西，试科W：我班分析代WM*：'QfMlh上也用*»,计*:数坡J»SJ»峥后拄*论