数学物理方法常微分方程的本征值问题

1、常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题1一、一、Sturm Sturm Liouville Liouville 型方程型方程 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件或自然边界条件可以构成本征值问题，称为或自然边界条件可以构成本征值问题，称为S-LS-L型本征值问题。型本征值问题。称为本征值称为本征值 x 称为权函数称为权函数常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题2二、几种常见的二、几种常见的S-LS-L型本征值问题型本征值问题 1,0 ,1k xq xx 1 1、而而 0 ,00ablyy l 0

2、,2 ,2aby xy x两种情况下，求解两种情况下，求解S-LS-L型本征值问题型本征值问题 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题3 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 0000yyxlyy l 0 ,00ablyy l 1,0 ,1k xq xx 本征值本征值2nnl 本征函数本征函数sinnnyxl 1,2,3,n 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题4 0 ,2 ,2aby xy x dd0ddyk xq x yx yaxbxx 0022yyxy xy x 1,0 ,1k xq xx 本征函数本征函数sincosn

3、nnyAnxBnx本征值本征值2nn 0,1,2,3,n 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题5 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 2,1mk xx q xxxx 2222dddd00ddddyymymxyxyxyxyxxxxxx2 2、BesselBessel方程的本征值问题方程的本征值问题 22222dd0dd00yyxxxmyxxyMy R 有有限限常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题63 3、Legendre Legendre 方程的本征值问题方程的本征值问题 22222dd1210dd11yymxxl lyxxxyM 有有限限值值 222dd110dd1y

4、mxyl lyxxx 2221,1,11mk xxq xxl lx dd0ddyk xq x yx yaxbxx 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题7 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 22212ddee0dd,exxxyyxxxy 长长于于的的增增不不快快于于 22e,0 ,exxk xq xx 这个本征值问题来自量子力学中的谐振子问题这个本征值问题来自量子力学中的谐振子问题4 4、HermiteHermite 方程的本征值问题方程的本征值问题20yxyy常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题8 dd0ddyk xq x yx yaxbxx 12ddee0dd0,

5、exxxyxyxxyxy 长长有有限限 于于的的增增不不快快于于 e,0 ,exxk xxq xx 这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题5 5、LaguerreLaguerre 方程的本征值问题方程的本征值问题 10 xyx yy常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题9三、正交函数系三、正交函数系1 1、正交函数定义：如果两个函数、正交函数定义：如果两个函数 满足满足 12fxfx、 12d0bafx fxx ，则称它们在区间，则称它们在区间 上正交上正交 , a b *12d0bafx fxx 如果函数是复函数，则写为如果函数是复函数，则写为

6、2 2、归一化定义：、归一化定义： nyx由正交定义，对一本征函数系由正交定义，对一本征函数系当当 时，时， d0bnmayx yxx nm 22dbnnayxxN 当当 时，时，nm 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题10 122dbnnaNyxx 称为归一化因子。称为归一化因子。 22dd1bbnnnnaannyxyxyxxNxNN nnnyxxN 令令则有则有 1d0bnmnmanmxxxnm 称称 为正交归一函数系为正交归一函数系 nx 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题11 nnnxxxx 3 3、完备性条件、完备性条件4 4、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利

7、条件、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利条件 的任意函数的任意函数 可以用正交完备函数系展开成可以用正交完备函数系展开成 傅里叶级数，即：傅里叶级数，即： 1nnnfxCx fxnC 可用正交归一条件求得，即可用正交归一条件求得，即 11ddbbmnnmnnmmaannfxxxCxxxCC dbmmaCfxxx 常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题12狄里赫利条件：狄里赫利条件： 在在 上只有有限个第一类间上只有有限个第一类间 断点，且只有有限个极值点。断点，且只有有限个极值点。 fx ,a b四、四、S SL L型本征值问题的性质型本征值问题的性质 dd0ddyk xq x yx

8、yaxbxx 1 1、条件、条件 及其导数在及其导数在 中连续；中连续； xk x 、 , a b 在在 中连续，在区间端点连续或最多中连续，在区间端点连续或最多 有一阶极点；有一阶极点； q x , a b常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题13 中，中， , a b 0 ,0 ,0 xk xq x k x在区间端点处可能有一阶零点。在区间端点处可能有一阶零点。2 2、性质、性质 结论结论1 1：所有本征值都是实数，且非负，即：所有本征值都是实数，且非负，即0n 12n 结论结论2 2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列对应有无穷多个本征函数对

9、应有无穷多个本征函数12,nyyy称为本征函数系，同一本征值对应称为本征函数系，同一本征值对应的本征函数可能不止一个。的本征函数可能不止一个。常微分方程的本征值问题常微分方程的本征值问题14 结论结论3 3：对应于不同本征值的本征函数：对应于不同本征值的本征函数 ， 在区间在区间 上带权函数上带权函数 正交，即：正交，即： d0bnmmnayx yxxx x , a bnmyy、 nyx展开为绝对且一致收敛，即：展开为绝对且一致收敛，即： 2ddbnanbnayx fxxxCyxxx 1nnnfxC yx 广义傅里叶级数。广义傅里叶级数。 结论结论4 4：本征函数系在区间：本征函数系在区间 构成一个完备构成一个完备 系，即任意一个具有二阶连续导数的函数系，即任意一个具有二阶连续导数的函数 ， 只要它满足本征值问题中的边界条件，均可以用只要它满