方差显著性水平及检验

1、要点回顾要点回顾1. (1) 显著性水平显著性水平 . / , , ,0来作决定来作决定还是小于还是小于等于等于的观察值的绝对值大于的观察值的绝对值大于量量然后按照统计然后按照统计定定就可以确就可以确数数后后选定选定当样本容量固定时当样本容量固定时kknxZk , ,/000Hxknxz则我们拒绝则我们拒绝的差异是显著的的差异是显著的与与则称则称如果如果 , , ,/ ,000Hxknxz则我们接受则我们接受的差异是不显著的的差异是不显著的与与则称则称如果如果反之反之 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在显在显有无显著差异的判断是有无显著差异的判断是与与上述关于上述关于 x.称为显著性水

2、平称为显著性水平数数 (2). 检验统计量检验统计量. /0称为检验统计量称为检验统计量统计量统计量nXZ (3). 原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为: ,下下在显著性水平在显著性水平 . ,01”检验检验针对针对下下或称为“在显著性水平或称为“在显著性水平HH . , 10称为备择假设称为备择假设称为原假设或零假设称为原假设或零假设 HH . : , : 0100 HH检验假设检验假设(4). 拒绝域与临界点拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时, 我们拒绝原假我们拒绝原假设设H0, 则称区域则称区域C为为拒

3、绝域拒绝域, 拒绝域的边界点称为拒绝域的边界点称为临界点临界点.(5). 两类错误及记号两类错误及记号真实情况真实情况(未知未知)所所 作作 决决 策策接受接受 H0拒绝拒绝 H0H0 为真为真正确正确犯第犯第I类错误类错误H0 不真不真犯第犯第II类错误类错误正确正确 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第一类错误的概率若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大.犯第一类错误的概率为犯第一类错误的概率为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量除非增加样本容量. . : , : , , , , : :

4、 01000010100设检验设检验的假设检验称为双边假的假设检验称为双边假形如形如称为双边备择假设称为双边备择假设也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示备择假设备择假设中中和和在在 HHHHH(7). 双边备择假设与双边假设检验双边备择假设与双边假设检验(8). 右边检验与左边检验右边检验与左边检验 . : , : 0100称为右边检验称为右边检验的假设检验的假设检验形如形如 HH . : , : 0100称为左边检验称为左边检验的假设检验的假设检验形如形如 HH右边检验与左边检验统称为右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验.(6). 显著性检验显著性检验 只对只对犯第一类错误的概率

5、加以控制犯第一类错误的概率加以控制, 而不考而不考虑犯第二类错误的概率的检验虑犯第二类错误的概率的检验, 称为称为显著性检验显著性检验.2. 假设检验的一般步骤 ; ,).110HH假设假设及备择及备择提出原假设提出原假设根据实际问题的要求根据实际问题的要求 ; ).2n以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平 3). 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式; ;. )400求出拒绝域求出拒绝域为真拒绝为真拒绝按按 HHP . ,).50H受还是拒绝受还是拒绝根据样本观察值确定接根据样本观察值确定接取样取样 )( ,1. 32检验检验的检验的检验关于关于为已知为已

6、知Z nxzZ/0 检验统计量的观察值检验统计量的观察值检验检验0H1 H的拒绝域的拒绝域0 H0 0 0 0 0 0 zz zz 2/| zz )( ,).2(2检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t nsxtt/0 检检验验统统计计量量的的观观察察值值检检验验0H1 H的的拒拒绝绝域域0 H0 0 0 0 0 0 )1( ntt )1(|2/ ntt )1( ntt 3.方差的检验方差的检验 , , ),( 22均为未知均为未知设总体设总体 NX , : , : 20212020 HH(1) 要求检验假设要求检验假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn . 0为已

7、知常数为已知常数其中其中 )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n (2)单边检验问题的拒绝域单边检验问题的拒绝域 ) ( 设显著水平为设显著水平为 , : , : 20212020 HH).1()1( 22022 nsn 左边检验问题左边检验问题: , : , : 20212020 HH拒绝域为拒绝域为).1()1(212022 nsn 右边假设检验右边假设检验:7.3 7.3 两个正态总体均值或方差的两个正态总体均值或方差的比较比较1. 两总体均值两总体均值的比较的比较2. 两总体方差的比较两总体方差的比较3. 基于成对数据的假设检验（基于成对数

8、据的假设检验（t 检验）检验）4. 小结小结. . ,),(,),( , 22212121注意两总体的方差相等注意两总体的方差相等独立独立且设两样本且设两样本的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设 NYYYNXXXnn 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设. , , , 2212221均为未知均为未知方差方差是样本是样本分别是总体的样本均值分别是总体的样本均值又设又设 SSYX211210211210211210 : , : )3 : , : )2 : , : )1 HHHHHH求检

9、验问题求检验问题）来检验假设来检验假设取显著性水平为取显著性水平为3 . 1. 两总体均值两总体均值的比较的比较,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0为为真真时时当当H所以其拒绝域的形式为所以其拒绝域的形式为 : 统统计计量量作作为为检检验验统统计计量量引引入入 t）的无偏估计，）的无偏估计，（是是021 YXkt 附近；附近；的观察值应在的观察值应在的附近，即的附近，即的观察值应落在的观察值应落在因而因而00tYX 知，知，节定理节定理章章又有第又有第44 . 55).2(21 nnt2111)(nnSYXtw ,0为真时为真时当当

10、H对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，确定，确定k ,使使 , 00HHP拒绝拒绝为真为真 knnSYXPwH2111)(0).2( 212/ nntk 得得 即得拒绝域为即得拒绝域为 )2(11)(|212/21nntnnsyxtw 单边检验问题的拒绝域列在单边检验问题的拒绝域列在P169表表7.4 例例1 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行试验是在同一只平炉上进行的的. 每炼一炉钢时除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做其它条件都尽可能做到相同到

11、相同.先采用标准方法炼一炉先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法然后用建议的新方法炼一炉炼一炉, 以后交替进行以后交替进行, 各炼了各炼了10炉炉, 其得率分别为其得率分别为(1)标准方法标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设设这两个样本相互独立这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体且分别来自正态总体),( ),(2221 NN和和 ,221均均为为未未知

12、知 问建议的新操作方法能否提高得率问建议的新操作方法能否提高得率? )05.0( 取取解解 . : , : 211210 HH需要检验假设需要检验假设分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 05. 0 t查表可知查表可知101101 wsyxt因为因为295. 4 , 0H所以拒绝所以拒绝即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法

13、较原来的方法为优.).2(21 nntt ,7341. 1)18(05. 0 t查表查表7.4知其拒绝域为知其拒绝域为例例2有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有

14、无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需要检验假设需要检验假设, 81 n,925.19 x,216. 021 s, 72 n,000.20 y,397. 022 s,547. 0278)17()18( 22212 sssw且且,160. 2)13( 025. 0 t查表可知查表可知7181| wsyxt,160.

15、2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 2.两总体方差的比较两总体方差的比较,),( , 21121的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设 NXXXn , 222121均为未知均为未知又设又设 , : , : )12221122210 HH需要检验假设需要检验假设: ,),(,22221的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体 NYYYn ., ,2221SS其样本方差为其样本方差为且设两样本独立且设两样本独立 , : , : )22221122210 HH , : , : )32221122210 HH

16、. 2221作为检验统计量作为检验统计量采用采用SSF , 2221kss 故拒绝域的形式为故拒绝域的形式为 :的值由下式确定的值由下式确定此处此处 k , 00HHP拒绝拒绝为真为真 kSSP22212221 现在来检验假设现在来检验假设 , : , : )22221122210 HH , 0为真时为真时当当 H),()(22222121SESE , 1为真时为真时当当 H),()(22222121SESE , 2221有偏小的趋势有偏小的趋势观察值观察值SS)1 (,2221222122212221 因为因为kSSP, , 00 HHP拒绝拒绝为真为真要使要使. 222122212221

17、kSSP只需令只需令).1, 1(2122212221 nnFSS 根据根据第第5 5章章5.45.4定理定理4 4知知).1, 1(2112221 nnFssF 检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为 F 检验法检验法.).1, 1( 211 nnFk 即即另外两个检验的拒绝域在书上表另外两个检验的拒绝域在书上表7.5列出列出.例例3 (续例续例1）(1)标准方法标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.

18、0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设设这两个样本相互独立这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体且分别来自正态总体),( ),(222211 NN和和 ,222121均均为为未未知知 试对上述数据检验假设试对上述数据检验假设 . : , :2221122210 HH)01. 0 ( 取取解解,1021 nn 2221 ss)110, 110( 005. 0 F54. 6 2221 ss或或)110, 110( 005. 01 F)9, 9(1005. 0F ,153. 054. 61 2.225,3.325, 2221 ss因为因为,49. 1 2221 ss所

19、以所以,54. 649. 10.153 2221 ss , 0H故接受故接受认为两总体方差相等认为两总体方差相等.两总体方差相等也称两总体具有两总体方差相等也称两总体具有方差齐性方差齐性. 例例4 两台车床加工同一零件两台车床加工同一零件, 分别取分别取6件和件和9件测件测量直径量直径, 得得: 假定零件直径假定零件直径服从正态分布服从正态分布, 能否据此断定能否据此断定 0.357.0.345,22 yxss.22yx )05. 0( 解解本题为方差齐性检验本题为方差齐性检验:.:,:221220yxyxHH 22yxssF 取统计量取统计量,82. 4)8, 5(025. 0 F,9644

20、. 0357. 0345. 0 ,148. 0)8, 5(975. 0 F,82. 4148. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 认为认为例例5 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料, 测得平均检索测得平均检索时间及方差时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解,21. 1,67. 2,179. 3,097. 322 yxssyx假定假定检索时间服从正态分布检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资料有无明显差别问这两系统检索资料有无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 首先应检验方差的齐性首先应检验方差的齐性.:,: 221220yxyxHH 假

21、设假设,03. 4)9, 9(025. 0 F,248. 0)9, 9(975. 0 F 22yxssF 取统计量取统计量,12. 221. 167. 2 )05.0( ,03. 412. 2248. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 认为认为 , yx 再验证再验证.:,: 10yxyxHH 假设假设,11 21nnSYXtw 取统计量取统计量.2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt,101 n,102 n,101. 2)18(05. 0 t2111 nnSYXtw 因为因为10218)21. 167. 2(10179

22、. 2097. 3 436. 1 ,101. 2 , 0H故接受故接受认为两系统检索资料时间无明显差别认为两系统检索资料时间无明显差别.3.基于成对数据的检验( t 检验 ) 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种方法等的差异两种方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出推断然后分析观察数据作出推断. 这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.例例6 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量用来测量材料中某种金属的含量,

23、为为鉴定它们的测量结果有无显著差异鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了制备了9件试块件试块(它们的成它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对现在分别用这两台机器对每一试块测量一次每一试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下: 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?)01. 0( 解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据即对同一试块测出一对数据, 我们看我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的量、均匀性等因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将光谱仪Ix 对对9个试块的个试块的