数学建模：投资收益和风险的模型[1]

1、安徽建筑大学 数学建模课程 设计报告书院 系 数理学院 专 业 信息与计算科学 班 级 三班 学 号 姓 名 题 目 投资的收益与风险 指导教师 欧剑 一、 设计目的过数学建模课程设计了解数学建模的步骤、方法，学会撰写科技论文，通提高应用数学的意识、兴趣和能力。二、 设计时间20 -20 学年第二学期第 周三、 设计地点 理化楼数学建模实验室四、 设计内容针对某一生产、生活实际问题，建立数学模型，通过数学模型的求解，解决这一问题。按数学建模竞赛论文格式撰写一篇完整的解决实际问题的数学建模论文。五、 设计要求1灵活应用各种数学知识解决各种实际问题。2了解问题，明确目的。在建模前，要对实际问题的背

2、景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。3对问题进行简化和假设。在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当地简化和合理的假设。4在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学工具来刻划、描述各种量之间的关系，用表格、图形、公式等来确定数学结构。5要对模型进行分析，即用解方程、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明，得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性，必要时进行修改，调整参数，或者改换数学方法。6用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。投资收益和风险的模型一 问题的描述某公司有数

3、额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买的期望收益率（）、交易费率()、风险损失率()以及同期银行存款利率（=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受,影响，不受其他因素干扰 。现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目期望收益率风险损失率交易费率存银行300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52其中二 问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的

4、一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的的期望收益率为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。2.2 符号说明：购买第种资产的资金数额占资金总额的百分比； ：购买第种资产的资金数额； ：存银行的金额； ：交易费用； ：净收益； ：总体风险； ：第种投资的净收益率。 三 模型的分析与建立令交易费用 则净收益为总体风险为 约束条件为可以简化约束条件为同时将代入，得略去M,原问题化为双目

5、标决策问题: （3.1） 以下设，否则不对该资产投资。四 模型的求解4.1 固定使最小的模型固定使最小，将模型（3.1）化为， （4.1）此模型又可改写为令，表示第种投资的净收益率，则必大于,否则, 若, 则不对投资, 因为对该项目投资纯收益率不如存银行, 而风险损失率又大于存银行。将从小到大排序,设最大, 则易见对模型（4.1）的可行解必有.当时, 所有资金都存银行,; 当时, 所有资金用于购买 , ；当时,有如下结论7。结论：若0.03R，是模型（3.2.2）的最优解, 则7。而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即时，

6、总体风险最小8。证：设是满足的一组解，即。显然此时为总体风险。由于前5项投资总额M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。（比如说将的值增加为会使得，总体风险显然增加；反之，若减小的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。）因此,当时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去；2）将代入解出Q；3）由，求出最优解。所以，我们算得如下结果:（1）时，；（2）时，；（3）时， ， ，。事实上应用Lingo软件可算得如下结果:表1收益最小风险度投资的资金百分比 （）0.03000.0000 1.0000 0.00000.00000.00000.00000.000

7、00.04000.00020.9397 0.0104 0.0156 0.0048 0.0113 0.0166 0.05000.0005 0.8793 0.02070.0311 0.0096 0.0226 0.0332 0.06000.0007 0.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.0010 0.7587 0.0415 0.0622 0.0191 0.0453 0.0664 0.08000.00120.6984 0.0519 0.0778 0.0239 0.0566 0.0830 0.09000.0015 0.6380 0.0622 0.0933

8、 0.0287 0.0679 0.0996 0.10000.00170.5777 0.0726 0.1089 0.0335 0.0792 0.1162 0.11000.0020 0.5174 0.0830 0.1245 0.0383 0.0905 0.1328 0.12000.00220.4571 0.0933 0.1400 0.0431 0.1018 0.1494 0.13000.0025 0.3967 0.1037 0.1556 0.0479 0.1131 0.1660 0.14000.00270.3364 0.1141 0.1711 0.0527 0.1245 0.1825 0.1500

9、0.0030 0.2761 0.1245 0.1867 0.0574 0.1358 0.1991 0.16000.00320.2158 0.1348 0.2023 0.0622 0.1471 0.2157 0.17000.0035 0.1554 0.1452 0.2178 0.0670 0.1584 0.2323 0.18000.00370.0951 0.1556 0.2334 0.0718 0.1697 0.2489 0.19000.0040 0.0348 0.1660 0.2489 0.0766 0.1810 0.2655 0.20000.00460.0000 0.1897 0.2846

10、0.0876 0.1097 0.3036 0.21000.0062 0.00000.2589 0.3884 0.1195 0.00000.2132 0.22000.00930.0000 0.3858 0.4160 0.1781 0.00000.00000.23000.0131 0.00000.5471 0.1800 0.2525 0.00000.00000.24000.01700.00000.7084 0.00000.2722 0.00000.00000.25000.0209 0.0000 0.8701 0.00000.1160 0.00000.00000.26/1.010.0238 0.00

11、000.99010.00000.00000.00000.00004.2 固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，将模型（3.2.1）化为， （3.2.3）对于每一个Q，用模型（3.2.3） 都能求出R , 由净收益率, 直观上想到越大,应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。结论7：设是模型（3.2.3）的最优解, 若 , ，则。证明：反证法。假设，而。选取充分小的正数，使得，。令，当时，令，则，且，。则才是最优解，因此不是模型（3.2.3）的最优解。此处矛盾，则结论成立，证毕。由此结论, 我们可将从大到小排序, 使最大的k 应尽量满足, 若还有多余资金, 再投资次大的, 。对于不同的Q

12、,会有不同的投资方案, 我们可以算出Q的临界值, 从而确定各项目的投资值。因此，设 , 则可用下面的方法算出各临界值，。只有一种投资时, 。当有两种投资时, 将，代入，得。同理可得：，于是得最优解：当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当然，我们也可以换个角度来考虑上面这个模型。为了能够给不同风险承受能力的投资者提供某种风险水平下的最优投资组合的决策方案，我们必须确定最优收益值和最小风险度的值之间的对应关系。因此，我们将模型（3.2.3）改写成如下形式： ，为此编写MATLAB程序（见附录），从风险度开始，以每次增加0.001的风险度进行搜索5。根据附录中程序一，最优收益值和

13、最小风险度以及投资额分配之间的对应关系计算结果列表如下：风险度最优收益投资的资金百分比 （）00.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.26670.00500.20440.00000

14、.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.45830.52660

15、.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.27230.00000

16、.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.00000.02400

17、.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000从上表可以看出，风险越大，收益也越大，冒险的投资者可能会集中投资，而保守的投资着者则会尽量分散投资。但是，在风险度从增长到过程中，风险增加很少时，收益增加也很快，而风险度在之后，风险增加很大时而收益却增加的很缓慢。由于在风险度从之后，最优收益已经达到最大，不再增加，所以对于一般投资者来说，选择时的安排才为最优投资组合方案。4

18、.3.3 使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益风险最大原则, 可取模型， 由于，因而取时，=+。当然，也可取模型，同上，由于，因而取时，=0，从而可知, 全部钱存银行是最优解。对于此问题, 其他投资的收益与风险损失率都不影响该最优解, 故这种模型不够好。4.3.4 偏好系数模型由偏好系数法, 我们选取偏好系数,建立模型， 具体数据可应用参数规划法进行计算。权重r最小风险度投资的资金百分比 （）0,0.72000.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00000.7210,0.79200.00790.00000.33090.49630.15270.00000.

19、00000.7930,0.90700.00520.00000.21490.32230.09920.00000.34380.9090,0.97500.00410.00000.17190.25790.07940.18760.27510.9760,10.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000附录一模型一Lingo 语句min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x

20、3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1=y;0.016*x2=y;0.052*x3=y;0.022*x4=y;0.015*x5 R=0.03 while R Q=0 while (1.1-Q)1 % or Q1c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vl

21、b,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.)axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)模型三Lingo 语句， max=(1-0.2)* (0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5)-0.8*y);x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1=y;0.016*x2=y;0.052*x3=y;0.022*x4=y;0.015*x5 while r1;C= -0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205*(1-r) -0.165*(1-r) -0.19*(1-r) r;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0