拉普拉斯变换及反变换41072

1、第第1页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、拉氏变换及其特性一、拉氏变换及其特性1 1、 拉氏变换定义拉氏变换定义t tf0t tf 0edstF sL f tf tt如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为第第2页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院式中，s是复变数，js0ste sF sF tf tf tf sF（ 、 均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉氏变化，它是一个复变函数，通常称为的象函数，而称为 的原函数；L是表示进行拉氏变换的符号。第第3页页控制工程基础控制工程

2、基础黄河科技学院黄河科技学院)()(tfLsF)()(1sFLtf tf拉氏变换是这样一种变换，即在一定的拉氏变换是这样一种变换，即在一定的条件下，它能把一实数域中的实变函数条件下，它能把一实数域中的实变函数 sF变换为一个在复数域内与之等价的变换为一个在复数域内与之等价的复变函数复变函数 。第第4页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院1 1）、）、 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换000)(tkttf（k =const） ttt)(tr0000tRa0t)(t0ttt00)(tr（a） 阶跃函数（b） 斜坡函数（c） 抛物函数（d） 脉冲函数（e） 单位脉冲函数（f） 正弦

3、函数k)(tf)(tf)(tf1skdtketfLsFst0)()(单位阶跃函数，记作单位阶跃函数，记作1( t ) 0100)( 1tttstL1)( 1 （1 1）阶跃函数（位置函数）阶跃函数（位置函数）第第5页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（2 2）斜坡函数（又称速度函数）斜坡函数（又称速度函数）（k =const） 000)( 1)(tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a） 阶跃函数（b） 斜坡函数（c） 抛物函数（d） 脉冲函数（e） 单位脉冲函数（f） 正弦函数20)()(skdtktetfL

4、sFst单位斜坡函数单位斜坡函数000)( 1)(ttttttf21)(ssF第第6页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（3）抛物函数（又称加速度函数）抛物函数（又称加速度函数）（k =const） 02100)( 121)(22tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a） 阶跃函数（b） 斜坡函数（c） 抛物函数（d） 脉冲函数（e） 单位脉冲函数（f） 正弦函数30221)()(skdtekttfLsFst单位抛物函数单位抛物函数02100)( 121)(22ttttttf31)(ssF第第7页页控制工程基础

5、控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（4）单位脉冲函数）单位脉冲函数000)(ttt)(tft)(tf00)(tt01tete1t1)()()(0dtetdtettLstst重要性质重要性质 )0()()(fdttft001)()(dttdtt第第8页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（5）指数函数）指数函数)(tft)(tf00)(tt01tete1t)( 1)( 1)(tetetftt0sdteeeLsttt10指数增长函数指数增长函数sdteeeLsttt10指数衰减函数指数衰减函数 指数增长函数指数增长函数指数衰减函数指数衰减函数 第第9页页控制工程基础控制工程基础黄河

6、科技学院黄河科技学院)( 1sin)(tttf)(tft)(tf00)(tt01tete1t220)(21sinsdteeejtLsttjtj（6）正弦函数）正弦函数（7）余弦函数）余弦函数)( 1cos)(tttf220)(21cosssdteeetLsttjtj第第10页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院第第11页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院第第12页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院2 2、拉氏变换的运算法则、拉氏变换的运算法则)()(sFetfLs)()()()(sbGsaFtbgtafL（1 1）线性定理）线性定理（2 2）延迟定

7、理）延迟定理)( tftt)(tf0)( tt0第第13页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院)()()()(0)(0sFdtetfdtetfetfeLtssttt)()(sFtfeLt（3 3）位移定理）位移定理第第14页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（4 4）相似定理）相似定理)(1)(asFaatfL（5 5）微分定理）微分定理)0()()(fssFtfL第第15页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院微分定理推论微分定理推论)0()0()0()0()()()1()2(21)( nnnnnnfsffsfssFstfL0)0()0()0()1(

8、 nfff特别在零初始条件下特别在零初始条件下 )()()(sFstfLnn第第16页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（6 6）积分定理）积分定理000)(1)(1)(tttdttfssFsdttfL)(1)(0sFsdttfLt)(1)(00sFsdttfLntnt 当初始条件为零时，则当初始条件为零时，则第第17页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（7 7）初值定理）初值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)0(ssFfs（8 8）终值定理）终值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(0ssFfs第第18页页控制工程基础控制工程

9、基础黄河科技学院黄河科技学院 sFdsdttfL)(ttf（1010）象函数的积分性质象函数的积分性质 dssFttfLsttf)(（9 9）象函数的微分性质）象函数的微分性质的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换第第19页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院（1111）卷积定理）卷积定理dtgftgtf)()()(*)(tdtgf0)()()()()()()(*)(sFsGsGsFtgtfL第第20页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院二、二、 拉氏反变换及其计算方法拉氏反变换及其计算方法jcjcstdsesFjsFLtf)(21)()(1式中式中表示拉普拉斯反

10、变换的符号表示拉普拉斯反变换的符号1L1 1、拉氏反变换、拉氏反变换第第21页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院2 2、拉氏反变换的计算方法、拉氏反变换的计算方法第第22页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院 应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤一般步骤 ：（1 1）计算有理分式函数）计算有理分式函数F F（s s）的极点；）的极点；（2 2）根据极点把）根据极点把F F（s s）的分母多项式进行因）的分母多项式进行因式分解、并进一步把式分解、并进一步把F F（s s）展开成部分分式；）展开成部分分式；（3 3）对）对F F

11、（s s）的部分分式展开式两边同时进）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。行拉氏逆变换。第第23页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院1）当解出 为单根时，对 F(s) 作因式分解：ips ),.,2 , 1(ni nnnpskpskpskpspspssNsF.221121 ipsiipssFk)(其中第第24页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院例例651)(2ssssF0652 ss21s解：解：（1）F（s）的极点的极点32s（2）对）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开展开成部分分式成部分分式32) 3)(2

12、(1651)(212scscsssssssF1)3)(2(1)2(21sssssc2) 3)(2(1) 3(32sssssc第第25页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院3221651)(2ssssssF（3）进行拉氏反变换）进行拉氏反变换tteesLsLsFLtf3211123221)()(第第26页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：)()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)(1psrrpssFb 1)(11psrrpssFdsdb 1)(!11psrjjjrpss

13、Fdsdjb 1)()!1(11111psrrrpssFdsdrb其中 第第27页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院例例) 3()2(1)(3ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF1)3(123sssc2)3(122sssdsdc2) 3(1212221sssdsdc解：解：2) 3()2(1) 3(334sssssc第第28页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因式分解：nnpsapsapspsasasF 332121)()( 11)(2121pspspspssFasa第

14、第29页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院例例)52(1)(2sssssF52)52(1)(23212sscscscsssssF212252jssss解：解：两边同乘以两边同乘以32)21(21121cjcjj512c533c51)52(1021ssssssc得得乘共轭(-1-j2)第第30页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院3)2()2(2) 3()2(1)(4332213scscscscssssF32)2(1)2(222) 3()2(1)(323ssssssssFtteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(32)2(1)2(222)(tt

15、eettsLsLsLsLtf3221312112)2122(32)2(1)2(222)(第第31页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院52)52(1)(23212sscscscsssssF4) 1(44) 1() 1(4) 1(3212121sLssLssL)2sin(5)2sin22cos(tettett523151)52(1)(22sssssssssF21tan其中其中第第32页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院 tessLsLtft2sin555141351151211第第33页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院 用MATLAB展开部分分式

16、p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126设：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()( 在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126第第34页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成

17、的列向量、k为余项多项式行向量。第第35页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第第36页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院例例：求的部分分式展开。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den

18、)r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展开式为：115 . 02335 . 241)(sssssF第第37页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院例例：求的部分分式展开。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k =

19、1 -5展开式为：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第第38页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院num, den = residue(r, p, k)函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24503510961507010)(23423ssssssssF第第39页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院l 应用拉氏变换解

20、线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 第第40页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第第41页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院解解：对微分方程左边进行拉氏变换： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。第第42页页控制工程基础控制工程基础黄河科技学院黄河科技学院) 0() 0() 5()() 65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttx