数学建模线性方程组

1、一 问题重述和分析房地产价格问题一直是引起广泛争论的热点问题。关于目前中国的房地产价格，老百姓普遍认为太贵、天价，所以，当地产商华远集团总裁任志强在博鳌论坛上抛出“30年间，和工资收入相比，房子等于没有涨价”的所谓“房价没涨论”后，立即激起舆论围攻。有人号召全国的老百姓联合起来，不买任志强们的房子，让房地产商们的房子闲着、烂着、空置着，看他们能挺到什么时候？看他们还忽悠房价上涨不？高房价厌恶者反对一切看涨。 中国社科院日前日发布2009房地产蓝皮书认为，今年上半年房价总体下行，下半年市场有回暖可能。“回暖”观点一出，毫无疑问地遭到网友一致炮轰，认为其“言过其实”。只有倾听更多理性的声音，才能帮

2、助百姓理性地理解房价、最终准确地判断房价的走势。下文中，我们收集全国房地产的相关数据和长春市房地产的相关数据，分析确定影响房屋销售价格的主要因素，并建立全国房地产价格预测模型。利用本模型对长春市房价做了预测。二 模型假设与符号说明影响房价的因素很多，如人口数量、建房成本、GDP、储蓄存款、人均可支配收入、消费者需求因素、房地产的住宅总投资、房地产每年的竣工面积、银行利率、供需关系等因素有关。1） 假设房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入呈线性关系；2） 房屋建造成本用全国每年住宅的投资额与房地产竣工面积或者房地产总投资及每年开工面积来衡量；3） 全国经济发展用人均GDP来衡

3、量；4） 房价购买能力用人均储蓄存款、人均可支配收入来表示5） 消费者心理因素如对房价的期望忽略；消费者对房屋无偏好，如无学校、公园等；6） 假设银行利率每年保持稳定，房屋供需处于平衡状态；7） 忽略一些配套设施对建房成本的影响，忽略人为的炒作和政府调控。本文遇到的符号说明符号符号表示的意义符号符号表示的意义第一个自变量，表示第i年的人均可支配收入（元）,. 自变量 的系数参数第二个影响房价的自变量，表示第i年的人均GDP（元）.自变量，的系数参数第三个影响房价的自变量，表示第i年的房屋造价（元/平）自变量的系数参数第四个影响房价的自变量，表示第i年的人均储蓄额（元）自变量的系数参数为一年的人

4、均可支配收入（元）。以上求得的所有的平均值。为一年的人均GDP（元）以上求得的所有的平均值。为一年的房屋造价（元/平）以上求得的所有的平均值。为一年的人均储蓄额（元）以上求得的所有的平均值模型中的房价值因变量，表示第i年的均衡房价三 模型的建立及求解1. 模型建立由于房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入呈线性关系，而它们的线性的组合仍为线性，故我们选用多元线性方程来建立此模型。用最小二乘法对房价和影响房价的各个因素进行线性拟合，得到结果如下：1） 房价（y）与人均可支配的收入（）之间的关系回归方程: y=0.2126+560. 相关系数: r=0.154 正相关很强. 相关

5、指数: R2=0.9722 回归效果很好. 残差平方和: 106958.2） 房价（y）与建房成本（）之间的关系回归方程: y=1.472+196. 相关系数: r=0.541 正相关很强. 相关指数: R2=0.779 回归效果很好. 残差平方和: 183385.3） 房价（y）与人均GDP（）之间的关系回归方程: y=0.0064+768. 相关系数: r=0.149 正相关很强. 相关指数: R2=0.018 回归效果很好. 残差平方和: 48558.4) 房价（y）与人均人均储蓄存款（）之间的关系 回归方程: y=0.9139+978. 相关系数: r=0.9741 正相关很强. 相关

6、指数: R2=0.645 回归效果很好. 残差平方和: 195697.根据以上结果，我们建立以下模型，具体表达式为： = +利用各年数据， 通过解线性方程组，确定自变量的系数，即求，的值。2模型求解全国平均房价与各量的数据如下表所示年份19975160.36388.11235.03743.5179019985425.16765.11473.64280.8185419995888.87188.01495.74739.9185720006279.97828.01607.55075.8194820016907.18591.81544.45779.5201720027702.89367.81607.4

7、6765.9209220038472.210510.41634.48018.2219720049500.512299.52081.09197.42608200510493.614002.02033.210787.32937200611769.516042.22442.812292.93119200713785.818885.32970.913058.03645注：以上数据来自中国统计年鉴，国家统计局和中国人民银行网站全国平均房价与各量的关系如下图所示将以上数据分组，带入如下公式= +解得的结果如下图所示：i 的取值年份199720000.793836-0.2051551.20755-0.664

8、405199820013.852870.607445-3.25961-4.28758199920020.898125-0.1345430.0898133-0.548348200020030.04363140.2557880.378429-0.184529200120040.09717180.2774890.201285-0.23343920022005-0.01307770.658785-0.365051-0.501317200320060.1821794.33713-4.49986-4.68644200420070.703143-0.180224-0.633811-0.0583408从上表中

9、分析数据，和呈正相关。和的值呈负相关。对的处理，去掉其中偏差最大的数据和最小的那个值；对的处理，舍弃偏差最大的数值，之后取平均；对的处理，舍弃负值和偏差较大的值；对的处理，舍弃偏差较大的值和绝对值最小的值。从而解得： = 0.453014 = 0.182798 = 0.289857 = -0.426408于是，房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入的关系为： = (0.453014)+ (0.182798)+ (0.289857)- (0.426408)3.模型的修正利用上述所建模型对房价的求解与实际数据的对比，具体如下表所示：年份1997199819992000200120

10、0220032004200520062007模型解2267.352296.062394.072577.752682.812782.752813.833233.73303.093730.714990.44实际数据17901854185719482017209221972608293731193645偏差477.35442.06537.03629.75665.81690.75616.83625.7366.09611.711345.44 对偏差处理，去掉最大的和最小的取平均值，得常数b = 588.55 经过修正后的模型结果为： = (0.453014)+ (0.182798)+ (0.289857

11、)- (0.426408)+ 588.55四 模型结果的检验与分析1）模型结果的检验利用上述所建模型对房价的求解与实际数据的对比，具体如下表所示：年份19971998199920002001200220032004200520062007模型解1678.81707.511805.521989.22094.262194.22225.282645.152714.543142.164401.89实际数据17901854185719482017209221972608293731193645误差0.0620.0790.0280.0210.0380.0490.0120.01400760.0070.207

12、2）模型结果的分析 利用修正后的模型求解，比较接近真实值。产生误差的原因是房价还受其他很多因素影响，如银行利率、供需关系、人的心理、城市化、国家对房价的调控等，在建模过程中，忽略了这些因素影响。此外，数据波动不一定全部符合线性模型。五 利用已建立的模型对长春市房价讨论1. 影响长春市房价的各个变量的预测1）对长春市人均可支配收入的预测对长春市人均可支配收入的预测，采用最小二乘法对房价进行2次多项式逼近，进而预测以后各年房价。用1代替起始年份1990年,2代替1991，,用n代替（起始年份+ n-1）。具体操作如下：长春市人均可支配收入关于年份的拟合（1990年2008年）12345678910

13、y1268.3141517132029258033053939455047505110111213141516171819y5550633969637905890010065113581281115003拟合曲线为：y= 1523.+18.71+33.632长春市人均可支配收入关于年份的预测结果（元）年份2009201020112012人均可支配收入的预测15346.516743.618207.919739.52）长春市人均生产总值关于年份的预测对长春市人均生产总值的预测，采用最小二乘法对房价进行1次多项式逼近，进而预测以后各年房价。人均生产总值（元）关于年份的拟合年份199019911992

14、1993199419951996生产总值1652174524043388492554157265年份1997199819992000200120022003生产总值795990621072211760142741622018704拟合曲线为：y=1290.-2567257.2967033长春市人均生产总值关于年份的预测结果年份200420052006200720082009201020112012人均生产总值17924.719214.720504.721794.823084.824374.825664.826954.828244.83） 长春市人均储蓄余额关于年份的预测 人均储蓄的预测，采用最

15、小二乘法对房价进行1次多项式逼近，进而测以后各年房价。人均储蓄（元）关于年份的拟合年份1996199719981999200020012002人均储蓄4938.45712.66007.36971.67674.48653.610668.8拟合曲线为：y=883.-1759048.31785714长春市人均储蓄关于年份的预测结果年份2003200420052006200720082009201020112012预测人均储蓄10766.711650.312533.913417.51430115184.616068.216951.817835.4187194) 长春市建房成本关于年份的预测建房成本的预

16、测，采用最小二乘法对房价进行1次多项式逼近，进而预测以后各年房价。建房成本（元）关于年份的拟合2001200220032004200520062007y793.31058.11358.11369.71576.92124.43141.6拟合曲线为：y=335.-670874.长春市建房成本关于年份的预测结果年份20082009201020112012预测建房成本2974.063309.643645.223980.84316.395）长春市平均房价关于年份的预测对长春市平均房价的预测，采用最小二乘法对房价进行2次多项式逼近，进而预测以后各年房价。用1代替起始年份2001年,2代替2002年，,用8

17、代替2008年。具体操作如下：长春市平均房价关于年份的预测12345678y22402373214621712371260931013530拟合曲线为y= 2597.-306.1+52.32长春市平均房价关于年份的预测结果年份2009201020112012预测房价4125.164824.025628.76539.22利用上面所建模型和预测数据对长春房价进行预测求解，结果如下：利用所建模型和预测数据对长春房价预测结果年份2009201020112012模型解4927.025516.236135.886786.033 房价分析及建议通过对所建模型分析，对比平均房价关于年份的拟合情况。我们看到影响

18、房价的各个因素，如建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入等呈上升趋势，若没有政府调控，房价势必会不断上涨。从模型结果来看，2010年平均房价为5516元/平米，2011年为6135元/平米。不过在2010年国家连续出台控制房价政策，故房价应该不会上涨很高。2011年房价应该会在5000元/平米6000元/平米之间摆动。逼近房价与模型房价的比较图六 模型的优缺点分析与改进方向1） 本模型依赖于线性方程构建的想法，模型建立之后进行了修正，得到的结果比较符合实际。方案简洁明了，易于操作；2） 本模型建立过程中运用了多种方式进行评估，如：最小二乘法、mathematics软件求解等以保证结

19、果有高的精度；3） 本模型建立过程中忽略了众多因素对房价的影响，如供需关系、国家调控、人们的心理波动等，导致模型的结果与真实值之间存在一定误差；4） 本模型建立过程中考虑各个因素与房价呈线性关系，但实际上线性关系不一定是比较好的选择，还可以考虑2次、多次等关系，所建立的模型会更加复杂。5） 模型建立过程中，适当在加入一些参数可能会使模型更加精细，更符合实际情况。参考文献：【1】姜启源、谢金星、叶俊 数学模型（第三版） 高等教育出版社 2010年6月【2】李庆扬、王能超、易大义数值分析（第五版）清华大学出版社 2010年5月【3】王华欣 我国房地产价格及其影响因素分析 中国知网 2009年4月建

20、模分工情况学号姓名建模贡献龚 鹏全程参与，贡献相同，占33.3%向 鹏全程参与，贡献相同，占33.3%张旭栋全程参与，贡献相同，占33.3%附录一：长春市房地产价格报告随着经济的逐年发展，人均GDP、储蓄和人均可支配收入等在逐年增加，再加上建房成本的逐年上升，商品房的价格也突飞猛进，接连迈上新的台阶。对于大多数人来说，买房已经成为他们身上的一个沉重的负担，以致只能望房兴叹。在排除了一些因素对房地产价格的影响以后，我们对长春市近几年与房地产价格发展关系比较大的因素的数据进行了收集和处理，并用全国房价预测模型对长春市的房价发展趋势进行了预测。以下就是近些年来长春市人均GDP、人均储蓄、人均可支配收

21、入以及建房成本和房价的变化图：下图为长春市房地产的价格预测结果图：从预测的结果可以看出，长春市房地产价格的发展仍然处于较强的增长状态，而没有减弱的趋势，这直接导致了广大市民对房地产业持观望态度，也让人担心由于房地产业过热而产生泡沫，从而对其他行业产生影响。特别是在金融危机时期，国外大量的热钱正蠢蠢欲动，随时准备进入我国房地产行业，将泡沫越吹越大，如果到时候热钱大量抽出逃，房地产泡沫破灭，将对我房地产业造成致命打击。因此，国家重拳出击，接连出台多项政策，抑制房价的增长。比如，国十条的出台；加快公租房的建设，抑制投机需求；全面叫停第三套住房公积金贷款等等。房子问题如今成为人们最为关心的问题之一，也

22、是民生问题，长春市政府应该积响应国家对房地产的宏观调控，坚定不移的实施国家的各项政策，坚决打击各种投机，抑制房价增长过快的问题。除此之外，政府还应该正确地引导投资商对房地产进行投资，使房地产业健康快速的发展。附录二：全国房产数据（19972007）年份人均可支配收入（元）总GDP（亿元）储蓄（亿元）住宅投资总额（亿元）竣工面积（万平米）总人口（万人）19975160.378973.0346279.8153938051246512362619985425.184402.2853407.47208156471412612476119995888.889677.0559621.83263847941

23、764112578620006279.999214.5564332.43331198392060312674320016907.1109655.1773762.434216676027303.212762720027702.8120332.6986910.655227756032522.812845320038472.2135822.76103617.396776686112282812922720049500.5159878.34119555.3988369532147364129988200510493.6183084.80141050.99159406.2130756200611769.

24、5210871.0161587.3179673131448200713785.8249529.9172534203992.7132129全国年末人均储蓄值（元）年份199019911992199319941995199619971998人均储蓄（元）622.7798.21003.41282.81795.52449.03147.43743.542808年份199920002001200220032004200520062007人均储蓄（元）4739.95075.85779.56765.98018.29197.410787.312292.913058.0全国人均GDP(元)年份1990199119

25、92199319941995199619971998人均GDP（元）1632.81880.62297.82981.34021.55019.35815.66388.16765.1年份199920002001200220032004200520062007人均GDP（元）7188.07828.08591.89367.810510.412299.514002.016042.218885.3全国平均建房成本（元）年份199719981999200020012002建房成本（元）12351473.6149571607.51544.41607.4年份20032004200520062007建房成本（元）1

26、634.42081.02033.22442.82970.9全国住宅平均售价（元）年份199719981999200020012002售价179018541857194820172092年份20032004200520062007售价21972608293731193645数据来源：中国统计年鉴，国家统计局附录三：长春市房地产数据长春市历年平均水平主要指标统计(1990-2003)年份人均生产总值(元)人均消费水平(元)职工平均工资(元)城市居民人均可支配收入(元)年平均人口1990165288219071268.363220291991174590121071415640229119922404108724411713644184819933388135730062029648385919944925174742712580654268319955415208550133305662395519967265240763703939672034619977959