函数的单调性和奇偶性

1、1.3函数的单调性与奇偶性教学设计【教学目标】1 .理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增(减)函数的证明和判另学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2 .理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大(小)值及其几何意义；3 .理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性【导入新课】112,1 .通过对函数y=2x、y=-3x、y=及y=x2的观察提出有关函数单调性的问题.x2 .阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念3 .实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：以y轴为

2、折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；(2)若点(x,f(x)在函数图象上，则相应的点(一x,f(x)也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系

3、中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；(2)若点(x,f(x)在函数图象上，则相应的点(一x,f(x)也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数新授课阶段一、函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量Xi,X2,当Xi<X2时，都有f(Xi)<f(X2),那么就说f(x)在区间

4、D上是增函数；减函数：设函数y=f(X)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量Xi,X2,当Xi<X2时，都有f(Xi)>f(X2),那么就说f(X)在区间D上是减函数.例1如图是定义在闭区间卜5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(X)的单调区间，及在每一单调区间上，y=f(X)是增函数还是减函数解：函数y=f(x)的单调区间有匚5,-2)匚2,1)1,3)3,5】,其中y=f(x)在区间1-5,2),1,3)上是减函数，在区间1-2,1,3,51上是增函数.注意：i.单调区间的书写2.各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在

5、某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么,对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢?例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数证明：设”,X2是R上的任意两个实数，且“<X2,则Ax=为-X2<0,y=f(%)-f(x2)=(3x12)-(3x22)=3(x1-x2)=3x:二0.所以，f(x)=3x+2在R上是增函数.1，一例3证明函数f(x)=一在(0,也)上是减函数.x证明：设x1,x2是(0,收)上的任意两个实数，且x1<x2,则&x=X1-x2<0y=f(%)-fM)=-=x2X1.X1X2X1X2由X1,X2乏(0,代)，得X

6、1X2a0,且X2-X1=_&x>0.于是.：y,0.1所以，f(x)=在(0,F上是减函数.x利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值；(2)计算Ax、Ay；(3)对比符号；(4)结论.二、奇函数、偶函数的概念：1 .偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.2 .奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注息：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一

7、个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(二)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.例4(1)下面四个结论中，正确命题的个数是(A)偶函数的图象一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)=0；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xCR).A.1B.2C.3D.41【提不】不对，如函数f(x)=-2是偶函数，但其图象与y轴没有交点；不对，因为奇x函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0xC(一a,a)，答案为A.(2)已知函数f(x)=a

8、x2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为a-1,2a,贝U(B. a = 1 , b= 0C. a =1 , b= 0D. a=3, b=0【提示】由 f (x) =ax2+bx+3a+b为偶函数，得 b=0.又定义域为a1,2a,1(a -1) +2a =0，.- a =.故答案为 A.3例5判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)=(x1)p- > (2) f (x) =。1 x2 十 Jx2 1 ； ,1 - x(3)2f(x)相,2x x (x ： 0);(4) f(x)=q 2-xx (x . 0)解:(1)由 匕色之0,得定义域为-1,1),关于原点不对称，f(x)为非奇非偶

9、函数.1 -x1 -x2 -02(2) W = x =1= x=±1 , x2 -1 _0f(x)=0f(x)既是奇函数又是偶函数22由Oil，定义域为(-1，0)U(0，1)-(xgdh一2 2、一、lg1一(x)lg(1-x)f(-x)1±2=一_一=f(x),f(x)为偶函数.(-x)x(4)当x<0时，x>0,则f(x)=(x)2x=(x2+x)=f(x),当x>0时,22-x<0,贝Uf(-x)=(-x)-x=-(-x+x)=-f(x),综上所述，对任意的xW(-0°,y),者B有f(x)=f(x),f(x)为奇函数.例6若奇函数

10、f(x)是定义在(_1,1)上的增函数，试解关于a的不等式：2f(a-2)f(a-4)<0.解：由已知得f(a2)<f(a24),因f(x)是奇函数，故f(a24)=f(4a2),于是f(a2)<f(4a2).又f(x)是定义在(一1,1)上的增函数，从而a-2；：4-a-3:a；：2即不等式的解集是<一1<a-2<1=«1<a<3=J3<a<2,厂<a2-4<1-75<a石<a<75(3,2).例7已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当2x&g

11、t;0时，f(x)<0,又f(l)=_.3(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在3,6上的最大值与最小值.(1)证明：令x=y=0,可得f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0),从而，f(0)=0.令y=-x,可得f(x)+f(x)=f(xx)=f(0)=0,即f(x)=f(x),故f(x)为奇函数.(2)证明：设x1，x2(ER,且xi>x2,则xix2A0,于是f(x1x2)<0.从而f(x)f(xAf(x2x十2x4fQx=)f(x2x于f(x)f2(x)fjx2.臊以，0f(x)为减函数.(3)解：由(2)知，所求函数的

12、最大值为f(电，最小值为f(6).f(7)=-f(3)=Yf(2)+f(1)=-2f(1)+f(1)=3f(1)=2.,f(6)=f(-6)=-f(3)+f(3)二口.于是，f(x)在-3,6上的最大值为2,最小值为-4.课堂小结1 .单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法2 .求函数最值的常用方法有:(1)配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.(2)换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值(3)数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值3 .判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时

13、,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质作业见同步练习部分拓展提升1 .下列四个函数：y=x,，y=x2+x；y=(x+1)2;y=x+2,其x-11-x中在(-0,0)上为减函数的是()(A)(B)(C)、(D)、2 .函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若xiw(a,b),x2w(c,d),且x1<x2那么()A.f(x)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.无法确定3.已知函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m-

14、1)>f(2m-1),实数m的取值范围为()313A.m>0b.0<m<C.-1<m<3D.-=：m<-2224.下列命题中，真命题是()一一1一一一A.函数y=-是奇函数，且在定义域内为减函数30B.函数y=x(x-1)是奇函数，且在定义域内为增函数_一_2_C.函数y=x是偶函数，且在(-3,0)上为减函数-2D,函数y=ax+c(ac#0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数5.若中(x),g(x)都是奇函数，f(x)=a邛(x)*bg(x)+2在(0,+o)上有最大值5,则f(x)在(°°,0)上有()A.最小值5B.最大值5

15、C.最小值1D.最大值36设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数，则a的范围为()八1.111A-a之一B.aMC.a>D.a<222227 .函数y=x+bx+c(x=0,+0c)是单倜函数的充要条件是()A.b之0b.b0c.b>0d.b<08 .已知f(x)在区间(一己")上是减函数，a,ZR且a+b0,则下列表达正确的是()A.f(a)+f(b)«-f(a)+f(b)B,f(a)+f(b)«f(a)+f(b)C. f(a) + f(b) Jf(a) + f(b)D. f(a)十 f(b)至 f(a)+f(b)9.画出下列函

16、数图象并写出函数的单调区间(1)y=x2+2|x|+1(2)y=|x2+2x+3|10.根据函数单调性的定义，证明函数= -X3 +1在(-g,+g)上是减函数.11.设f (x)是定义在R上的函数，对m、nW R 恒有 f(m + n)= f (m) f(n),且当 x>0时，0：f(x)：1.(1)求证：f (0) =1 ；(2)证明：xw R时恒有f (x) >0；(3)求证：f (x)在R上是减函数;(4)若 f (x) f (2 - x) > 1 ,求 x 的范围.参考答案1.A2.D3.B，1，一，4 .C【提示】A中，y=-在定义域内不具有单调性；B中，函数的定

17、义域不关于原点对称；2D中，当a<0时，y=ax+c(ac#0)在(0,2)上为减函数，答案为C.5 .C【提示】*(x)、g(x)为奇函数，f(x)2=a邛(x)+bg(x)为奇函数.又f(x)有最大值5,2在(0,+8)上有最大值3.-.f(x)-2在(，0)上有最小值3,f(x)在(-00,0)上有最小值1.答案为C.6.D【提示】2a-1<0时该函数是R上的减函数.7. A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象.8.D【提示】a+bE0可转化为aE -b和b E -a在利用函数单调性可得.ziz 2 一-x2 2x19.解：(1) y =2-x -2x12(x _0

18、)-(x-1)2 2 (x_ 0)即 y = 12(x ： 0)-(x 1)2 (x ： 0)如图所示，单调增区间为（3,1和0,1,单调减区间为一1,0和1,依）.(2)当x2+2x+3之0,得-1<x<3,函数y=x2+2x+3=(x1)2+4-x2+2x+3<0,#x<-1或x>3,函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4,-(x-1)24(-1<x<3)即y2f.(x-1)-4(x:-1或x3)如图所示，单调增区间为1,1并口3,十厘,单调减区间为（七1和1,3.10.证明：设为,- Xi”,则Xi)(X22 X1X2 x12),因为x1<X2,所以x2x1>0,且在x1与X2中至少有一个不为0,不妨设X2*0,那2.2_/x22.32么"X1X2为一（为了）丁2>0,所以件Ag，故f（x）在（，尸）上为减函数.1，1一.一.，1、一、.11.解：(1)取m=0,n=一则f(+0)=f(-)f(0),因为f(-)>0所以f(0)=1.2222(2)设x<0则x>0,由条件可知f(-x)>0,又因为1=f(0)=f(xx)=f(