难点27求空间的角

1、E、F 分别是 BC、A D的难点 27 求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上， 较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 .难点磁场( )如图， l为 60°的二面角， 等腰直角三角形 MPN 的直角顶点 P 在 l上，M,N,且 MP与所成的角等于 NP与所成的角 .(1) 求证： MN 分别与 、 所成角相等；(2) 求 MN 与 所成角 .案例探究例 1在棱长为 a 的正方体 中点 .(1) 求证：四边形 BEDF 是菱形；(2) 求直线 AC与DE 所成的角；(3) 求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角；(4)

2、求面 BEDF 与面 ABCD 所成的角 .命题意图： 本题主要考查异面直线所成的角、 线面角及二面角的一般求法， 综合性较强， 属级题目 .知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 . 错解分析： 对于第 (1)问，若仅由 BE=ED=DF=FB就断定 BEDF 是菱形是错误的， 因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、 E、D 、F 四点共面 .技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法 .5(1) 证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB =a,下证 B、 E、D、F 四点共面，取

3、 AD 中点 G，连结 AG、EG，由 EG AB AB知， BEGA是平 行四边形 .B EAG,又 AFDG,AGDF 为平行四边形AGFD，B、E、D、F 四点共面故四边形 BEDF 是菱形 .(2) 解：如图所示，在平面 ABCD 内，过 C 作 CPDE ，交直线 AD 于 P，则 ACP(或补角)为异面直线 AC与 DE所成的角 .在 ACP中，易得 AC= 3a，CP=DE= 5 a,AP= 13a22由余弦定理得 cosA CP= 1515故 A C 与 DE 所成角为 arccos 15 .15(3) 解： ADE= ADF, AD 在平面 BEDF 内的射影在 EDF 的平

4、分线上 .如下图 所示 .又 BEDF为菱形， DB为 EDF的平分线， 故直线 AD 与平面 BEDF 所成的角为 ADB 在 RtBAD 中，AD= 2a，AB= 2 a,BD= 2a则 cosADB33故 AD 与平面 B EDF 所成的角是 arccos(4) 解：如图，连结 EF、BD，交于 O点，显然 O为 BD的中点，从而 O为正方形 ABCD A BCD 的中心 .作 OH 平面 ABCD ，则 H 为正方形 ABCD 的中心， 再作 HM DE，垂足为 M，连结 OM，则 OMDE，AC)90abAC BD1AD AB)AB AA1 AD AA1 AB ADAD2 AB2 A

5、B AD故OMH 为二面角 B DEA 的平面角在 Rt DOE 中，则由面积关系得在 Rt OHM 中，OE= 2 a,OD= 3 a,斜边 DE= 5 a,2 2 2OM=OD OE30 aDE 10OH 30 sinOMH =OM 6故面 B EDF 与面 ABCD 所成的角为 arcsin 30 .6 例 2如下图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方 形，侧棱 AA1长为 b,且AA1与AB、AD 的夹角都是 120°.求： (1)AC1的长；(2)直线 BD1与AC 所成的角的余弦值 . 命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立

6、体几何问题，属级题目 知识依托：向量的加、减及向量的数量积 .错解分析：注意< AA1, AB >=< AA1 , AD >=120°而不是 60° ,< AB,AD >=90技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用(AA1 AB AD )( AA1 AB AD)2 2 2 2 2由已知得 :| AA1 |2 b2,|AB|2 |AD |2 a21 ab, AB AD 0,2|BD1|解: (1) | AC1 |2 AC1 AC1 (AA1 AC )( AA1|AA1 |2 |AB |2 |AD |2 2AA1 AB2AA1 A

7、D 2AB AD(2)依题意得 ,| AC | 2a,AC AB AD BD1 AD BA AA1 AD AB|AA1 |2|AD |2 |AB |2 2AA1 AD 2AB AD 2AA1 AB 2a2 b2AA1,ABAA1, AD120 , AB,ADAA1 AB b a cos12021ab,AA1 ADb a cos120|AC1 |2 2a2 b2 2ab,| AC1 | 2a2 b2 2ab.(AB AD)( AA1AB)( AA1 AD AB)2|BD1|2BD1 BD1 (AA1 ADcos BD1,ACBD1 AC|BD1 | AC |4a2 2b2BD1与 AC 所成角的

8、余弦值为b4a2 2b2锦囊妙计 空间角的计算步骤：一作、二证、三算1. 异面直线所成的角范围： 0°< 90°方法：平移法；补形法 .2. 直线与平面所成的角范围： 0° 90°方法：关键是作垂线，找射影 .3. 二面角 方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 . 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算歼灭难点训练一、选择题1.( )在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M为 DD1的中点， O为底面 ABCD的中 心，P为棱 A1B1上任意一点，则直线 OP与直线 AM所成的角是 ( )A. B. C.6 4 32.( )设

9、 ABC 和 DBC 所在两平面互相垂直，且 CBD=120°,则AD 与平面 BCD所成的角为 ( )A.30 °B.45°C.60°二、填空题D.2AB=BC=BD=a,CBA=D.753.( )已知 AOB =90° ,过 O 点引 AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、OB 分 别成 45°、 60°，则以 OC 为棱的二面角 AOCB的余弦值等于 .4. ( )正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2 3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 .三、解答题5. ( )已知四边形 ABCD 为直角梯形， AD

10、 BC， ABC=90°,PA平面 AC， 且 PA=AD=AB=1,BC=2(1) 求 PC 的长；(2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小；6. ( )设 ABC 和DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD， ABC=DBC =120°求： (1)直线 AD与平面 BCD 所成角的大小；(2) 异面直线 AD 与 BC 所成的角；(3) 二面角 A BDC的大小 .7. ( )一副三角板拼成一个四边形ABCD ，如图，然后将它沿 BC 折成直二面角.(1) 求证：平面 ABD 平面 ACD ；(2) 求 AD 与 BC 所成的角；(3) 求二面角

11、 A BDC 的大小 .8. ( )设 D是 ABC的 BC边上一点， 把ACD 沿 AD折起，使 C点所处的新 位置 C在平面 ABD 上的射影 H 恰好在 AB 上 .(1)求证：直线 CD 与平面 ABD 和平面 AHC所成的两个角之和不可能超过90°；(2)若 BAC=90°，二面角 CADH为60°，求 BAD的正切值.参考答案难点磁场(1)证明：作 NA 于 A，MB 于 B,连接 AP、PB、 BN、AM，再作 AC l 于 C，BD l 于 D ，连接 NC、 MD.NA,MB,MPB、NPA分别是 MP 与所成角及 NP与所成角，MNB， NMA

12、 分别是 MN 与,所成角， MPB= NPA.在 RtMPB 与Rt NPA中， PM=PN，MPB =NPA， MPB NPA， MB=NA. 在 RtMNB 与 Rt NMA 中，MB=NA，MN 是公共边， MNB NMA， MNB= NMA ，即(1)结论成立 .(2)解：设 MNB =,MN = 2 a,则 PB=PN=a,MB=NA= 2 asin，NB= 2 acosMB,BDl,MDl,MDB 是二面角 l的平面角， MDB =60°，同理 NCA =60° ,3 6 MB 2 BD=AC=MBasin,CN=DM =6 asin,3 3 6sin 60

13、3MB，MPPN， BPPN BPN=90,DPB =CNP, BPD PNC,PCBDPN PB即 a2 CN 2 aDBBN 2 a2a2 (2 6a sin )236sin23 ( 2acos )a2整理得， 16sin4 16sin2+3=0 解得 sin2 = 1 或 3 ,sin = 1 或 3 ，当4 4 2 2 合理，舍去 .1 sin = 2 ,MN 与所成角为 30°.歼灭难点训练一、 1.解析： (特殊位置法)将 P 点取为sin = 3 时，22CN= 32 6asin= 2 a> PN 不A1，作 OEAD 于 E，连结 A1E，则 A1E 为 OA1

14、的射影，又 AMA1E，AMOA1，即 AM 与OP成90°角.答案： D2.解析：作 AOCB 的延长线，连 OD ，则 OD 即为 AD 在平面 BCD 上的射影，3AO=OD= 3 a,ADO=45°.2答案： B二、3.解析：交 OB 于 B ，在 OC上取一点 C，使OC=1，过 C分别作 CAOC交OA于 A，CB OC余弦定理，得cosACB= 33答案：4.解析：设一个侧面面积为 S1，底面面积为 S，则这个侧面在底面上射影的面积为S，3由题设得 S1 2 ，S3 答案： 60° 三、 5.(1) 解：设侧面与底面所成二面角为 ,则 cos= 13

15、 SS 1 ,=60S1 3S1 2因为 PA平面 AC， AB BC , PB BC,即 PBC=90 ° ,由勾股定理得PB= PA2 AB22.PC= PB2 PC 26.AC=1，OA= 2 ，BC= 3 ， OB=2，Rt AOB 中，AB2=6，ABC 中，由(2)解：如图，过点 C 作 CE BD 交 AD 的延长线于 E，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的 角为 PCE 或它的补角 . CE=BD= 2 ，且 PE= PA2 AE2 102 2 2 由余弦定理得 cosPCE = PC CE PE 2PC CE PC与 BD所成角的余弦值为3.6(3)证明：设1

16、GF= BC=1=AD ，2又 AD 平面从而四边形 ADFG 为平行四边形，PB、PC 中点分别为 G、F，连结 FG、 AG、DF ，则 GFBCAD，且PAB， ADAG，即 ADFG 为矩形， DF FG.在 PCD 中，PD= 2，CD= 2，F为 BC中点， DFPC从而 DF平面 PBC ，故平面 PDC 平面 PBC ，即二面角 BPCD 为直二面角 .6. 解： (1)如图，在平面 ABC 内，过 A 作 AHBC，垂足为 H，则 AH平面 DBC ， ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 .由题设知 AHB AHD，则 DHBH， AH =DH ， ADH =4

17、5(2)BCDH ，且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影， BCAD，故 AD 与 BC 所成的角为 90°.(3) 过 H 作 HR BD，垂足为 R，连结 AR，则由三垂线定理知， ARBD ，故 ARH 为 3面角 ABDC的平面角的补角 .设 BC=a,则由题设知， AH=DH= a,BH2a ,在 HDB23AH中， HR=a， tanARH=24HR故二面角 ABD C 大小为 arctan2.7. (1)证明：取 BC 中点 E，连结 AE， AB=AC， AEBC 平面 ABC平面 BCD ， AE平面 BCD， BCCD ，由三垂线定理知 ABCD.又 AB

18、 AC， AB平面 BCD， AB 平面 ABD.平面 ABD 平面 ACD.(2)解：在面 BCD 内，过 D 作 DF BC ，过 E 作 EF DF，交 DF 于 F， 知A FDF ， ADF为AD与BC所成的角 .26设 AB=m，则 BC= 2 m， CE=DF=m,CD =EF =m23由三垂线定理tanADF DFAF AE2 EF 221, ADF arctan 21DF 3 3即 AD 与 BC 所成的角为(3)解： AE面 BCD ， AGE为二面角 ABD C 的平面角21 arctan3过 E 作 EGBD 于 G，连结 AG，由三垂线定理知 AG BD，22EBG=30°，BE= 22m,EG= 42 m2AE又 AE=m, tanAGE=2, AGE=arctan2