立体几何解题方法技巧

1、专题六立体几何解题方法技巧一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：提主要内容重点内容要位置两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直两条异面直线相互垂直、直线关线与平面斜交、 直线与平面垂直、 两个平面斜交、与平面平行、直线与平面垂立两个平面相互垂直直、两个平面相互垂直系体几两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到两条异面直线的距离、 点到平距何平面的距离、两个平面的距离面的距离离角两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、两条异面直线所成的角、直线度二面角和平面所成的角、二面角二、主要解题方法：（一）位置关系1、两条异面直线

2、相互垂直证明方法： 1 证明两条异面直线所成角为90o； 2 证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法：1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平面垂直证明方法： 1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2 证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直证明方法： 1 证明这两个平面所成二面角的平面角为90o； 2 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；3 证明两个平面的

3、法向量相互垂直。（二）求距离求距离的重点在点到平面的距离， 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法： 1 如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB的长度，可以利用22AB(AM MN NB)来帮助解决，但是前提条件是我们要知道AM , MN , NB的模和每两个向量所成的角。 d| AB·n|利用公式（其中 A、B2| n |分别为两条异面直线上的一点，n 为这两条异面直线的法向量）2、点到平面的距离求法： 1 “

4、一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。2 等体积法。3 向量法，利用公式 d| AB·n|n 这个平面的法向量）（其中 A 为已知点， B 为这个平面内的任意一点，| n |（三）求角1、两条异面直线所成的角求法： 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0, ，向量所成的角范围是 0, ，如果求出的是钝角，要2注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法： 1 “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。2 向量法，先求直线的方向量于平面的法向

5、量所成的角 ，那么所要求的角为或223、平面与平面所成的角求法： 1 “一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。2通过射影面积来求cosS射影然后找这个三角形在另外一个平面的（在其中一个平面内找出一个三角形，S原射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos ，注意到我们要求的角为 或 ）； 3 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面角为 或 。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系， 找出各点的坐标， 那么剩下的问

6、题基本上就可以解决了， 如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“ 是我们所要求的角”、“线段AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出 cos x，则这两条异面直线所成的角为 a rccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方

7、向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，若求出的角为锐角，22就用，若求出的钝角，就用。225、求平面与平面所成角的时，若用第2 、 3 种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝 角还是锐 角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。【专题训练】1、已知三棱锥PABC中 PB底面 ABC，BCA90 ，PB=BC=CA=a， E是 PC的中点，点F 在 PA上，且 3PF=FA.（ 1）求证：平面 PACPBC；（ 2）求平面 BEF与底面 ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.2、如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形 ,PA底面 ABCD，PA=AD=

8、2，点 M、N分别在棱 PD、PC上，且 PC平面 AMN.（ 1）求证： AMPD；（ 2）求二面角 P AM N的大小；（ 3）求直线 CD与平面 AMN所成角的大小 .3、如图，平面ABCD平面 ABEF， ABCD是正方形， ABEF是矩形，且 AF1AD a, G 是2EF 的中点，（ 1）求证平面 AGC平面 BGC；（ 2）求 GB与平面 AGC所成角的正弦值 .（ 3）求二面角 B AC G的大小 .4、如图，在正方体ABCDA1 B1 C1D1 中， E 是棱 A1 D1 的中 点， H 为平面 EDB内一点， HC 1 2m ,2m , m (m 0) 。（ 1）证明 HC

9、1 平面 EDB ；（ 2）求 BC1 与平面 EDB 所成的角；（ 3）若正方体的棱长为 a ，求三棱锥 A EDB 的体积。在 Rt BCM 中 , HO5 a ，在 RtEHO 中,.EH1a102tan EOHEH5HO即平面 BEF与底面 ABC所成二面角的大小为arctan5若利用面积射影法，指出HDB 是 EFB 在底面 ABC上的射影，并计算出其面积S射影1 a 2 7 分计算出 S EFB6a21616S射影1cos6S EFB6即平面 BEF与底面 ABC所成二面角的大小为arccos2、（ 1）证明： ABCD是正方形， CDAD，PA底面ABCD， PACD.CD平面P

10、ADAM平面 PAD， CDAM.PC平面AMN， PCAM.AM平面PCD.AMPD.（ 2）解： AM平面PCD（已证） .AMPM，AMNM. PMN为二 面角 P-AM-N 的平面角 .PN平面AMN， PNNM.在直角 PCD中， CD=2，PD=2 2 ， PC=23 . PA=AD，AMPD，M 为 PD的中点， PM=1 PD= 22由 RtPMNRtPCD，得 MN CD PM .PCcos( PMN )MNCD23 .PMN arccos 3 .PMPC2 333即二面角 P AM N 的大小为 arccos3 .33、（ 1）证明：正方形ABCDCBAB面 ABCD面 ABEF且 交于 AB，CB面 ABEFAG， GB面 ABEF，CBAG，CBBG又 AD=2a， AF= a ， ABEF是矩形， G是 EF的中点，AG=BG= 2a222CBG 而 AG面， AB=2a， AB =AG+BG， AGBG CGBG=BAG平面AGC，故平面 AGC平面BGC（ 2）解：如图，由（）知面 AGC面 BGC，且交于 GC，在平面 BGC内作 BHGC，垂足为 H，则 BH平面 AGC， BGH是 GB与平面 AGC所成的角在 RtCBG中 BHBC BGBC BG2 3 aCG