δ函数与微分方程的建模

1、第第 六章六章 函数与微分方程的建模函数与微分方程的建模 微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量（自变量、未根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。知函数、必要的参数等）并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律（物理的、几找出这些量所满足的基本规律（

2、物理的、几何的、化学的或生物学的等等）。何的、化学的或生物学的等等）。3. 运用这些规律列出方程和定解条件。运用这些规律列出方程和定解条件。 列方程中常见的方法有：列方程中常见的方法有： 1. 按规律直接列方程（如牛顿第二定律、放射按规律直接列方程（如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等）。性物质的放射性规律等）。 2. 微元分析法与任意区域上取积分的方法。微元分析法与任意区域上取积分的方法。 3. 模拟近似法（在一定的假设下，给出实际模拟近似法（在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程）。微分方程）。 在实际的

3、微分方程建模过程中，往往是上述方在实际的微分方程建模过程中，往往是上述方法的综合应用。法的综合应用。第一节第一节 传染病的流行与宣传运动传染病的流行与宣传运动的关系的数学描述的关系的数学描述 开展预防传染病（例如艾滋病等）的流行的开展预防传染病（例如艾滋病等）的流行的宣传运动对防止传染病的蔓延起多大作用？这个宣传运动对防止传染病的蔓延起多大作用？这个宣传运动要持续多长时间？要具有多大的强度？宣传运动要持续多长时间？要具有多大的强度？ 这些问题的讨论将导致含有间断的非齐次项这些问题的讨论将导致含有间断的非齐次项或非齐次项含有或非齐次项含有函数的一阶线性常微分方程。函数的一阶线性常微分方程。 我们

4、从最简单的情形我们从最简单的情形不开展宣传运动的不开展宣传运动的情形开始。情形开始。 最简单的模型最简单的模型不开展宣传运动的情形不开展宣传运动的情形 设总人数为设总人数为N是不变的，是不变的，t时刻得病人数为时刻得病人数为x(t)，它传染给正常人的传染率为它传染给正常人的传染率为r。 显然，从显然，从t到到t+t时间内平均传染率为时间内平均传染率为.)()()(txNttxttx t时刻的传染率为时刻的传染率为()( )lim.( )tx ttx tt Nx t0 从而微分方程为从而微分方程为.dxrNx dt1 求解得求解得)()(rteNxNtx 011令令 得得tNtxt )(lim这

5、表明：最终每个人都要染上疾病。这表明：最终每个人都要染上疾病。我们得到最简单的数学模型：我们得到最简单的数学模型： 00 xxxNrdtdx)()(可分离变量可分离变量 持续宣传的作用持续宣传的作用 为了预防传染病的流行，宣传有如在人们耳边为了预防传染病的流行，宣传有如在人们耳边敲起警钟敲起警钟“要当心！要当心！”因而是很重要的。因而是很重要的。 假设：宣传的开展将使得传染上疾病的人数假设：宣传的开展将使得传染上疾病的人数x(t)减少，减少的速度与总人数减少，减少的速度与总人数N成正比，这个比例常成正比，这个比例常数称为宣传强度。数称为宣传强度。 若从若从t=t00开始，开展一场持续的宣传运动

6、，宣开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为传强度为a，则所得的数学模型为，则所得的数学模型为()( )dxr Nxdtxx 00其中其中 即即Heaviside函数。函数。 （单位阶梯函数）（单位阶梯函数） 00001ttttttH,)(aN ()()00H ttt解法解法1 分段求解分段求解当当 时，时，00tt )()(rteNxNtx 011当当 时，时，tt 0解一阶线性非齐次方程的初值问题：解一阶线性非齐次方程的初值问题：()( )()rtdxr NxaNdtxx tNeN 00011得得()( )()r t trtxaNx tNeeNr 00111两段表达式合起来，得两段表达式合

7、起来，得()( )()()r t trtxaNx tNeH tteNr 000111解法解法2 用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解 0dtetfsLst)()( 的的Laplace变换变换)(tf( )( )iwtF wf t edt 的的Fourier变换变换)(tf令令 的的Laplace变换为变换为 ，对方程两边求拉氏，对方程两边求拉氏变换并利用初值得变换并利用初值得 ( )x t( )X ssterssraNrssNrsxsX011110 )(求逆变换得求逆变换得()( )()()r t trtxaNx tNeH tteNr 000111令令 得得tlim( )()tax tNNr1 这

8、表明：持续的宣传是起作用的，最终会使发这表明：持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少（病率减少（0ar）。）。 进一步地，如果我们从一系列时刻进一步地，如果我们从一系列时刻t=t1,t2,tm开始，分别进行强度为开始，分别进行强度为a1,a2,am的宣传运动，则得的宣传运动，则得到如下的数学模型：到如下的数学模型：()( )mjjjNa H ttdxr Nxdtxx 010( )()aNH tdxr Nxdtxtx 000()( )()()r t trtxaNx tNeH tteNr 000111()( )()()jmr t trtjjjxNx tNea H tteNr 01111 同样可用

9、分段求解法求解上述初值问题，但计算同样可用分段求解法求解上述初值问题，但计算比较繁琐。若用拉氏变换法求解，则是十分方便的。比较繁琐。若用拉氏变换法求解，则是十分方便的。令令 得得tlim( )()mjtjx tNar 111解得解得.,raamjjj 100 其中其中 顺时宣传情形的数学模型顺时宣传情形的数学模型 如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等等，即在等，即在t=t1,t2,tm等等m个时刻进行个时刻进行m次宣传，宣传强次宣传，宣传强度分别为度分别为

10、a1,a2,am，则数学模型变成则数学模型变成()( )mjjjNattdxr Nxdtxx 010 这里我们用这里我们用 来数学的近似描述时间极来数学的近似描述时间极为短暂的宣传。这时，模型中含有顺时点源项。为短暂的宣传。这时，模型中含有顺时点源项。)(jjtta ()( )mjjjNa H ttdxr Nxdtxx 010用拉氏变换求解这类方程是方便的。用拉氏变换求解这类方程是方便的。求解得求解得)()()(jttrmjjjrtrtettHaNeNextx 101令令 得得tNtxt )(lim 这表明：短暂的宣传（即使是多次的短暂宣这表明：短暂的宣传（即使是多次的短暂宣传）是不起作用的，

11、最终还是所有的人都传染上传）是不起作用的，最终还是所有的人都传染上疾病。疾病。 思考：实际情况，即使短暂的宣传也往往会思考：实际情况，即使短暂的宣传也往往会在人们的头脑中留下一定时间延续的印象，应该在人们的头脑中留下一定时间延续的印象，应该怎样描述呢？请大家自己作为练习来建模。怎样描述呢？请大家自己作为练习来建模。第二节第二节 附录附录函数及其性质函数及其性质一、一、函数的物理模型函数的物理模型 对于连续分布的量，一般用密度函数来描述。对于连续分布的量，一般用密度函数来描述。现设有一条无穷长的杆，沿杆建立了一维坐标系，现设有一条无穷长的杆，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为点的坐标为x，杆的分布

12、密度为，杆的分布密度为(x)。(-,x段上杆段上杆的质量为的质量为m(x)，则它们的关系是，则它们的关系是)()(),()(xmdxxxdxxdmx 对于集中分布的量，如何来描述它的密度？对于集中分布的量，如何来描述它的密度？ 仍以无穷长的杆为例。设无穷长杆的质量为仍以无穷长的杆为例。设无穷长杆的质量为1，质量集中于点质量集中于点x0，则，则(-,x段杆的质量为段杆的质量为 0001 01 000 xxxHxxHxxxxxm,)(),(,)(其中其中 若仍形式地套用连续变化时的若仍形式地套用连续变化时的(x)来描述它的来描述它的密度，则应该有密度，则应该有,( ),xxxxx 000( )(

13、)()xx dxm xH xx 0且且特别有特别有( )x dx 1 显然，这种显然，这种(x)已经不能是我们了解的函数已经不能是我们了解的函数了，必须扩充函数概念。了，必须扩充函数概念。引进脉冲函数引进脉冲函数 在别处，在别处， 0 2100 xxxx)( 它代表了无穷长杆的某种质量分布。相应地，它代表了无穷长杆的某种质量分布。相应地， (-,x段上杆的质量为段上杆的质量为( )( )()()xmxx dx xxxx xxx xx Hxx 000000021特别有总质量特别有总质量1 dxxm)()( 同时又有同时又有( )( ),.dmxxxxxxdx 00 无穷长杆单位质量的集中分布可以

14、看成上述无穷长杆单位质量的集中分布可以看成上述脉冲分布当脉冲分布当 时的极限情形：时的极限情形： 0 lim()lim( )mx dx 001( )limlim( )( )dmxxxdx 00)()(limxxxxxx 000 0 lim( )lim( )( )()xmxx dxm xH xx 000二、二、函数的引入与函数的引入与函数的性质函数的性质引进脉冲函数引进脉冲函数 ,)(在别处在别处xxxxxx 0 21000 则显然有则显然有10 dxxx)( lim()xx dx 001另外任取一另外任取一x0处连续的函数处连续的函数f(x)，则有，则有 00210 xxdxxfdxxfxx)

15、()()(积分中值定理积分中值定理 0021xxdxf)(),(),( 00 xxf令令0，则有，则有lim() ( )()xxf x dxf x 000定义定义函数函数 000000 xxxxxxxx,)(lim)( 显然其运算性质显然其运算性质()xx dx 01任取一任取一x0处连续的函数处连续的函数f(x)有有() ( )()xxf x dxf x 00()()xxx dxH xx 00()()dH xxxxdx 00定义定义函数的导数函数的导数对任意对任意f(x)，f(x)在在x=x0处有连续导数，处有连续导数，)()()(00 xfdxxfxx 注：注： 这个定义和把这个定义和把函

16、数看作普通函数由分部函数看作普通函数由分部积分法运算的结果是相同的。因为积分法运算的结果是相同的。因为类似地，定义类似地，定义函数的函数的n阶导数阶导数( )( )() ( )()()nnnxxf x dxfx 001() ( )() ( )|()( )xxf x dxxxf xxxfx dx 000()fx 0三、三、 函数的积分变换函数的积分变换00 xiexxF )(特别地，特别地，x0=0时时 ( )Fx 1 ()sxLxxe 00特别地，特别地，x0=0时时 ( )Lx 1注：注： 函数具有通常函数的富氏变换与拉氏变换函数具有通常函数的富氏变换与拉氏变换的性质。的性质。第三节第三节

17、房室系统的数学模型房室系统的数学模型及其求解及其求解一、问题的提出一、问题的提出 在研究药物在人体的分布过程中，可近似的把在研究药物在人体的分布过程中，可近似的把人体看成由有限个部分组成的，每个部分称为一个人体看成由有限个部分组成的，每个部分称为一个房室，它具有以下特点：房室，它具有以下特点： 每个房室有固定的容积，每一时刻药物浓度是每个房室有固定的容积，每一时刻药物浓度是均匀分布的；均匀分布的； 各房室间及各房室与外部环境间均可进行药物各房室间及各房室与外部环境间均可进行药物交换，而这种交换服从质量守恒定律。交换，而这种交换服从质量守恒定律。 还有许多方面的问题，如污染问题，传染病的还有许多

18、方面的问题，如污染问题，传染病的传播问题，生态问题等，都可化为这种由有限个部传播问题，生态问题等，都可化为这种由有限个部分组成的系统，而每个部分均可看成是满足以下性分组成的系统，而每个部分均可看成是满足以下性质的容器，称之为房室：质的容器，称之为房室： 有固定的容量，内含每个时刻都均匀分布着的有固定的容量，内含每个时刻都均匀分布着的单一物质（或能量）；单一物质（或能量）； 各个部分（房室）间以及各部分与外环境间均各个部分（房室）间以及各部分与外环境间均可进行物质（或能量）交换，并服从物质（或能量）可进行物质（或能量）交换，并服从物质（或能量）守恒定律。守恒定律。 这样的系统称为这样的系统称为房

19、室系统房室系统。若系统由。若系统由n个房室个房室组成，我们称之为组成，我们称之为n房室系统房室系统。问题：问题：如何确定如何确定n房室系统中物质的质量分布规律？房室系统中物质的质量分布规律？二、二、n房室系统的机理及数学描述房室系统的机理及数学描述房室标号：房室标号：),(nii21 周围环境标号：周围环境标号：0t时刻各房室的物质质量：时刻各房室的物质质量：( )(, , )ix t in 1 2 物质在系统中的分布规律主要是依据各房物质在系统中的分布规律主要是依据各房室间及各房室与周围环境之间的物质流动来决室间及各房室与周围环境之间的物质流动来决定的。设有一个定的。设有一个n房室系统，房室

20、系统， 从开始至从开始至t时刻由第时刻由第i房室流到第房室流到第j房室的物质质房室的物质质量量mji(t) 只与只与i房室的质量房室的质量xi(t)有关，而与其他房室有关，而与其他房室的质量的质量xk(t) (ki)无关。环境对无关。环境对j房室的输入质量只房室的输入质量只与环境有关，而与各房室无关，故为常数。与环境有关，而与各房室无关，故为常数。基本假定基本假定 对每一房室均有可能和环境及其他任一房室对每一房室均有可能和环境及其他任一房室互有物质流动；互有物质流动； t,t+t时间间隔内，从时间间隔内，从i房室流到房室流到j 房室的平房室的平均流量与均流量与xi(t)成正比，比例系数为成正比

21、，比例系数为kji，称为由，称为由i房室房室流到流到j 房室的速率系数；房室的速率系数； t,t+t时间间隔内，从时间间隔内，从i房室流入外环境的平房室流入外环境的平均流量与均流量与xi(t)成正比，比例系数为成正比，比例系数为k0i，称为由，称为由i房室房室流入外环境的速率系数（或称排泄速率系数）；流入外环境的速率系数（或称排泄速率系数）； t,t+t时间间隔内，从外环境流到时间间隔内，从外环境流到j房室的平房室的平均流量为常数均流量为常数fj0，称为环境对，称为环境对j房室的输入流率。房室的输入流率。xi(t)xj(t)外环境外环境kjikijk0ik0jfi0fj0基本定律基本定律 质量

22、守恒律质量守恒律从从t到到t+t时刻，第时刻，第i房室的质量的增量房室的质量的增量)()(txttxxiii 应等于其余各房室和环境流入应等于其余各房室和环境流入i房室的物质质量之和房室的物质质量之和再减去第再减去第i房室流入环境和其余各房室的质量之和。房室流入环境和其余各房室的质量之和。从从t到到t+t时间内，时间内，第第j房室流入第房室流入第i房室的物质质量近似为房室的物质质量近似为)(txtkjij 环境流入第环境流入第i房室的物质质量近似为房室的物质质量近似为itf 0流入第流入第i房室的总质量近似为房室的总质量近似为( )nijjijj itk x tf 01从从t到到t+t时间内，

23、第时间内，第i房室流入到其他房室与环境的房室流入到其他房室与环境的物质质量近似为物质质量近似为( )( )njiiiijj itk x tk x t 01从而有从而有()( )( )( )( )niiijjjiiiiijj ix ttx ttk x tk x tk x tf 001两边除以两边除以t，令，令t0，则有，则有( )( )( ), ,niijjjiiiiijj idxk x tk x tk x tfdtin 0011 2 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 00 xxtftAxdtdx)()()(其中其中inijjjiiiijijnnijnnnkkaijkaaAfftfxxxtxtxtx

24、0101000101 ),(,)()(,)()()( nijjjiiiiiijiiijaaniajinjianixfijnjnik100210210210021100|),(),(),(,),;,(且且上述各量满足上述各量满足三、线性常系数房室模型的求解三、线性常系数房室模型的求解 00 xxtftAxdtdx)()()(当微分方程组当微分方程组中系数均是常数时，这是一个线性常系数方程组的中系数均是常数时，这是一个线性常系数方程组的初值问题，它有两类求解问题。初值问题，它有两类求解问题。正问题正问题 若常系数若常系数aij均是已知的，由微分方程的基本理均是已知的，由微分方程的基本理论可知可用论

25、可知可用拉氏变换拉氏变换来求解这个初值问题。来求解这个初值问题。反问题反问题 在实际问题中，往往常系数在实际问题中，往往常系数aij是未知的，需要是未知的，需要我们借助于测量数据以及某些数学方法估算出来。这我们借助于测量数据以及某些数学方法估算出来。这种求系统模型中未知参数的问题称为种求系统模型中未知参数的问题称为房室系统的辨识房室系统的辨识问题问题，在数学上称为常微分方程的，在数学上称为常微分方程的反问题反问题，它是相对，它是相对于通常已知系数去求解于通常已知系数去求解xi(t)的正问题而言的。的正问题而言的。 求解反问题的基本步骤：求解反问题的基本步骤：系统的可辨识性判断系统的可辨识性判断反问题解的存在唯一性反问题解的存在唯一性求出初值问题含未知参数的理论解求出初值问题含未知参数的理论解求最优拟合参数（最小二乘法）求最优拟合参数（最小二乘法）微分方程组中系数的确定微分方程组中系数的确定求出初值问题的解求出初值问题的解四、应用举例四、应用举例活细胞质膜脂区流动性的分析活细胞质膜脂区流动性的分析 用荧光偏振技术测量活细胞脂区流动性（即脂用荧光偏振技术测量活细胞脂区流动性（即脂质量的动态变化过程）时，将完整的活细