建筑力学教学资料学习情境十三　静定结构的内力分析

1、建筑力学建筑力学 目目 录录学习情境一静力学基本知识学习情境一静力学基本知识学习情境二平面汇交力系学习情境二平面汇交力系学习情境三力矩与平面力偶系学习情境三力矩与平面力偶系学习情境四平面一般力系学习情境四平面一般力系学习情境五材料力学基本知识学习情境五材料力学基本知识学习情境六轴向拉伸与压缩学习情境六轴向拉伸与压缩学习情境七平面图形的几何性质学习情境七平面图形的几何性质学习情境八剪切与扭转学习情境八剪切与扭转学习情境九梁的弯曲学习情境九梁的弯曲目目 录录学习情境十学习情境十 组合变形组合变形学习情境十一压杆稳定学习情境十一压杆稳定学习情境十二平面体系的几何组成分析学习情境十二平面体系的几何组成

2、分析学习情境十三静定结构的内力分析学习情境十三静定结构的内力分析学习情境十四静定结构的位移计算学习情境十四静定结构的位移计算学习情境十五超静定结构的计算学习情境十五超静定结构的计算学习情境十六影响线及其应用学习情境十六影响线及其应用建筑力学建筑力学学习单元学习单元1静定梁学习单元学习单元2静定平面刚架 学习单元学习单元3静定平面桁架 学习单元学习单元4三铰拱学习单元学习单元5静定组合结构学习单元学习单元6静定结构的特性静定梁一、单跨静定梁一、单跨静定梁 （一）梁内任一截面上的内力（一）梁内任一截面上的内力 由材料力学可知， 在一般荷载作用下， 梁内任一截面上通常有三种内力， 即轴力 、 剪力

3、和弯矩 ， 在对杆件作内力分析时， 一般的做法是先求出结构的支座反力， 然后再求杆件中任一截面的内力。 （二）内力图的绘制（二）内力图的绘制 计算出梁控制截面上的内力后， 应根据叠加法和各截面上内力的变化规律绘制内力图。 一般弯矩图绘制在梁的受拉侧， 并不标正负号； 轴力和剪力图绘制在杆轴的任一侧， 但需要标明正负号。 （三）单跨斜梁的内力计算与内力图的绘制（三）单跨斜梁的内力计算与内力图的绘制 在建筑工程中， 常遇到杆轴为倾斜的斜梁， 如图 13-1 所示的楼梯梁。 斜梁通常承受两种形式的均布荷载： ）沿水平方向 分布的荷载 （ 楼梯斜梁承受的人群荷载就是沿水平方向 均匀分布的荷载） 。 ）

4、沿斜梁轴线均匀分布的荷载 （ 等截面斜梁的自重就是沿梁轴线均匀分布的荷载）。图13-1二、多跨静定梁二、多跨静定梁 （一）多跨静定梁的几何组成（一）多跨静定梁的几何组成 多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰连接而成， 并用来跨越几个相连跨度的静定梁。 图13-2 所示为在公路或城市桥梁中常采用的多跨静定梁结构形式之一， 其计算简图如图 13-2 所示。 在房屋建筑结构中的木檩条， 也是多跨静定梁的结构形式。 连接单跨梁的一些中间铰， 在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口 结合 （ 图13-2） ， 而在木结构中常采用斜搭接并用螺栓连接。图13-2 （二）多跨静定梁的内力计算（二）多跨静定梁

5、的内力计算 由层次图可见， 作用于基本部分上的 荷载， 并不影 响 附属 部分， 而作用于附属 部分上的荷载， 会以 支座反力 的 形式影响 基本部分， 因 此在多跨静定梁的内 力 计算时， 应先计算高层次的 附属 部分， 后计算低层次的 附属 部分， 然 后将附属 部分的支座反力反向作用于基本部分，计算其内力 ，最后将各单跨梁的内力图连成一体，即为多跨静定梁的内力图。 （三）多跨静定梁的受力特征（三）多跨静定梁的受力特征 图 13-3、 是多跨静定梁及其在均布荷载 的作用下的弯矩图， 图 13-4、 是一相同支座间距、 相同荷载作用下的系列简支梁及其弯矩图。 比较两个弯矩图可以看出， 系列简

6、支梁的最大弯矩大于多跨静定梁的最大弯矩， 多跨静定梁的弯矩分布比较均匀， 中间支座处有负弯矩， 由于支座负弯矩的存在减少了跨中的正弯矩。图13-3图13-4静定平面刚架一、刚架与平面刚架一、刚架与平面刚架 （一）刚架的概念及特点（一）刚架的概念及特点 由若干根杆件通过刚节点连接的结构就是刚架。 刚架在工程中应用较广泛， 主要是因为它具有以下三方面的优点： 第一， 刚架整体刚度大， 在荷载作用下， 变形较小；第二， 刚架在受力后， 刚节点所连的各杆件间的角度保持不变， 即节点对各杆端的转动有约束作用， 因此刚节点可以承受和传递弯矩， 刚架中各杆内力分布较均匀， 且比一般铰节点的梁柱体系小， 故可

7、以节省材料； 第三， 由于刚架中杆件数量较少， 内部空间较大， 所以刚架结构便于利用。 （二）平面刚架的概念及形式（二）平面刚架的概念及形式 若组成刚架的直杆在同一平面内， 并且荷载的作用线也在这一平面内， 称为平面刚架。 根据支座的情况，刚架可分为静定刚架和超静定刚架。在工程中，静定刚架应用不多，大多数为超静定刚架，如房屋建筑结构中的多层多跨刚架（习惯上称为框架结构） ， 但静定刚架的内力计算是计算超静定刚架内力的基础， 所以必须熟练掌握。 静定平面刚架通常可分为悬臂刚架、 简支刚架、 三铰刚架和组合刚架等形式，分别如图13-5、所示。图13-5二、静定平面刚架的内力计算二、静定平面刚架的内

8、力计算 （一）支座反力的计算（一）支座反力的计算 简单刚架有 个支座反力。 求支座反力时要根据支座的性质定出 支座反力未知量的个数。 然后假定反力方向， 由平衡方程确定其数值。 求支座反力时要尽量写出这样的方程： 方程中只含所求的未知量，而另外两个反力不出现。 若另外两个反力相交， 则取其交点为矩心， 写力矩方程； 若另 外两个反力平行， 则写投影方程 （ 投影轴垂直于另外两个力） 。 （二）刚架杆截面内力的计算（二）刚架杆截面内力的计算 1. 刚架内力正负号的规定 刚架的内力有弯矩、 剪力和轴力。 弯矩一般不作正负号规定， 但弯矩图要画在杆件受拉纤维的一侧。 剪力与轴力的正负号规定与前相同，

9、 即剪力绕截面顺时针旋转为正， 轴力以拉力为正。 2.刚节点处的杆端截面及杆端截面内力的表示 由于刚架在刚节点处有不同方向 的杆端截面，如图13-6所示， 节点 有 和 两个杆端截面。杆端截面的内力用两个下标表示： 第一个下标为截面所在端的标号， 第二个下标为杆远端的标号。 如杆端截面 、 的弯矩分别用 、 表示， 剪力和轴力分别用 、 和 、 表示。 3.杆端内力的计算 求刚架杆截面内力的方法与求梁内力的方法一样， 用截面法。 静定刚架的内力计算同梁的内力计算一样， 用截面法截取隔离体， 然后由平衡条件求解。 通常是先由整体或某些部分的平衡条件， 求得各支座反力和各铰接处的约束图13-6力，

10、 然后逐杆求出其杆端内力 （ 或分段求其内力） ， 最后绘制内力图。 （三）静定刚架内力图的绘制（三）静定刚架内力图的绘制 静定刚架内力图包括弯矩图、 剪力图和轴力图。 刚架的内力图是由 各杆的内力图组合而成的， 而各杆的内力图， 需先求出 杆端截面的内力值， 然后按照绘制梁内力图的方法绘制。静定平面桁架一、桁架的概念及特点一、桁架的概念及特点 桁架是由若干根直杆在杆端用铰连接而成的结构。 若组成桁架的各杆不在同一平面内， 则称为空间桁架； 若组成桁架的各杆在同一平面内， 则称为平面桁架。 例如， 工程中广泛采用的屋架、 桁架桥、 高压输电塔等均为桁架结构。 在实际结构中， 桁架的受力情况较为

11、复杂， 为简化计算， 同时又不与实际结构产生较大的误差， 桁架的计算简图常常采用下列假定： ）连接杆件的各节点是无任何摩擦的理想铰。 ）各杆件的轴线都是直线， 都在同一平面内， 并且都通过铰的中心。 ）荷载和支座反力都作用在节点上， 并位于桁架平面内。二、静定平面桁架的分类二、静定平面桁架的分类 杆轴线、 荷载作用线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。 按照桁架的几何组成方式， 静定平面桁架可分为三类。 （一）简单桁架（一）简单桁架如图13-7 所示， 从一个基本铰接三角形开始， 逐次增加二元体， 最后用三杆与基础相连而成或从基础开始逐次增加二元体而形成的桁架， 称为简单桁架。 （二）联合桁架（

12、二）联合桁架 如图13-8所示， 几个简单桁架按照两刚片规则 或三刚片 规则 组成的桁架， 称为联合桁架。图13-7 （三）（三） 复杂桁架复杂桁架 如图 13-9 所示， 不属于简单桁架及联合桁架的桁架， 称为复杂桁架。图13-8图13-9三、桁架的内力计算三、桁架的内力计算 桁架的内力计算方法有节点法、 截面法与联合法。 计算桁架内力的基本方法仍然是先取隔离体， 然后根据平衡方程求解。 当所取隔离体仅包含一个节点时， 这种方法叫节点法； 当所取隔离体包含两个或两个以上节点时， 这种方法叫截面法。 节点法与截面法联合应用的方法叫联合法。 （一）节点法计算桁架杆件内力（一）节点法计算桁架杆件内

13、力 节点法是以桁架节点为研究对象 （ 也称隔离体） ， 由 节点平衡条件求杆件内力的方法。 每一个平面桁架的节点受平面汇交力系的作用， 可以并且只能列两个独立的平衡方程。 因此， 在所取节点上， 未知内力的个数不能超过两个。 在求解时， 应先截取只有两个未知力的节点， 依次逐点计算， 即可求得所有杆件的内力。 计算时通常先假设未知杆件内力为拉力 （ 拉力的指向 是离开节点） ， 若计算结果为正即为拉力； 反之， 表示轴力为压力。 （二）截面法计算桁架杆件内力（二）截面法计算桁架杆件内力 截面法就是假想用一个截面把桁架分成两部分， 取其中一部分为隔离体。 隔离体受平面一般力系的作用， 由三个独立

14、的平衡方程可求得所切各杆的未知轴力。 通常， 截面所切断的杆件个数不应超过三个。 有时被截杆件虽然超过三个， 但某些杆件的轴力仍能由此隔离体求出。 如图13-10 所示的截面， 虽然截了四根杆， 但除了第一根杆外， 均交于点 ， 由 可求出 。 （三）联合法计算桁架杆件内力（三）联合法计算桁架杆件内力 对于一些简单桁架， 单独使用节点法或截面法求解各杆内力是可行的， 但是对于一些复杂桁架和图 13-10联合桁架， 将节 点 法 和 截面法联合起来使用 则 更方便。 图13-10四、几种桁架受力性能的比较四、几种桁架受力性能的比较 （一）平行弦桁架（一）平行弦桁架 平行弦桁架的内力分布不均 匀，

15、 如 图13-11所示。弦杆的轴力由两端向中间递增， 腹杆的轴力则由两端向中间递减。 因此， 为节省材料， 各节点间的杆件应该采用与其轴力相应的不同的截面， 但这样将会增加各节点拼接的困难。 （二）三角形桁架（二）三角形桁架 三角形桁架的内力分布也不均匀， 如图13-12所示， 弦杆的轴力由 两端向 中间递减， 腹杆的轴力则由两端向中间递增图13-11图13-12 （三）（三） 梯形桁架梯形桁架 梯形桁架的受力性能介于平行弦 桁架和三角形桁架之间，弦杆的轴力变化不大，腹杆的轴力由两端向中间递减， 如图13-13所示。 梯形桁架的构造较简单， 施工也 较方便， 常用于钢结构厂房的屋盖。 （四）抛

16、物线形桁架（四）抛物线形桁架 抛物线形桁架的内力分布比较均匀， 如图13-14所 示，上、 下 弦 杆 的 轴 力几乎相 等腹杆的轴力等于零。 抛物线形桁架的受力 性能较好， 但这种桁架的上弦杆在每一节点处均需转折， 节点构 造复杂， 施工复杂。 因此只有在大跨度结构中才会被采用， 如 的屋架和 的桥梁。图13-13图13-14 （五）折线形桁架（五）折线形桁架 折线 形桁架是抛物 线形桁架的 改进型， 其受力性能与抛物线形桁架相类似。 如 图13-15所 示，而制作、 施工比抛物线 形 桁架方便得多， 它是目前钢筋混凝土屋架中经常采用的一种形式， 在中等跨度 （ ） 的厂房屋架中使用得最多。

17、图13-15三铰拱一、拱的概念及特点一、拱的概念及特点 拱是由曲杆组成的在竖向 荷载作用下支座处产生水平推力的结构。 水平推力是指拱两个支座处指向拱内部的水平反力。 在竖向 荷载作用下有无水平推力是拱式结构和梁式结构的主要区别。 在拱结构中， 由 于水平推力的存在， 拱横截面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小得多，并且可使拱横截面上的内力以轴向压力为主。二、三铰拱支座反力的计算二、三铰拱支座反力的计算 三铰拱为静定结构， 其全部反力和内力可以由平衡方程算出。 计算三铰拱支座反力的方法与三铰刚架支座反力的计算方法相同。 如图13-16 所示， 三铰拱有 四 个支座反力 、 、 、 。 同时有

18、四个平衡方程： 三个整体平衡方程和 半个拱（ 或 ） 的一个平衡方程。 图 13-16为跨度和荷载与三铰拱相同的简支梁， 称为三铰拱的 “代梁”。 分别取三铰拱和 “ 代梁” 的 整 体为研究对象， 由平衡方程得 ， 得 。 同理， 由 ， 得 。 即： 三铰拱的竖向支座反力与代梁的竖向支座反力相同。 由拱整体平衡方程 ， 得 （ 为水平推力） 。 由 曲杆的平衡方程 。 考虑铰 左边所有外力对 点力矩的代数和为零， 即： 由于代梁相应截面的弯矩为所以图13-16三、三铰拱的内力计算三、三铰拱的内力计算 三铰拱截面的内力有弯矩、 剪力和轴力。 内力正负号规定如下： 弯矩以使拱曲杆内边受拉为正，

19、 剪力以使拱小段顺时针方向转动为正， 轴力以拉力为正。 为了方便表达， 采用 坐标系。 在图13-17 中任取一截面 ，其坐标为 （ ， ） ， 拱轴在此处的切线与水平线的倾角 为 。 取 左边部分为隔离体， 其受力 分析如图 13-17 所示。 图13-17 为相应的代梁的受力图。图13-17 1.弯矩 的计算 对 截面形心列力矩方程。 由 得 因为所以 上式表明， 三铰拱的弯矩小于代梁的弯矩。 2.剪力 的计算 列 方向 （ 方向） 的投影方程。 由 得 因为得 3.轴力 的计算 列 方向 （ 截面法线方向） 的投影方程。 由 得 因为得 4.曲杆中弯矩与剪力间的微分关系 截面弯矩的表达式

20、为：对 取导得而因此两端乘以 得四、三铰拱的合理拱轴四、三铰拱的合理拱轴 工程中， 为了充分利用砖石等脆性材料的特性 （ 即抗压强度高而抗拉强度低） ，往往在给定荷载下， 通过调整拱轴曲线， 尽量使得截面上的弯矩减小， 甚至使得截面处弯矩值为零， 而只产生轴向压力， 这时压应力沿截面均匀分布， 此时的材料使用最为经济。 这种在固定荷载作用下， 使拱各截面的弯矩等于零 （ 即拱处于无弯矩状态） 的拱轴线称为合理拱轴。静定组合结构一、组合结构的概念一、组合结构的概念 在工程实际中， 经常会遇到一种结构， 这种结构中一部分杆件只受轴力作用， 属于链杆， 而另一部分杆件除受轴力作用外还承受弯矩和剪力作用， 属于