考点导数定积分

1、温馨提示:此题库为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word文档返回原板块。考点6导数、定积分x1. （2010 海南高考理科T3）曲线y二-在点-1,-1处的切线方程为（）(A) y =2x -1(B) y =2x -1(C y - -2x - 3( D) y-2x_2【命题立意】【思路点拨】【规范解答】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程2(-1 2)22,选A.因为y =（；）2，所以，在点 -1,-1处的切线斜率k二y所以，切线方程为 y1 = 2（x1），即y =2x1，故

2、选A.2. （2010 山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量 x （单位：万件）1 3的函数关系式为y x ，81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）3（A） 13万件（B） 11万件（C） 9万件（D） 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】 选C. y-x2 81,令/ =0得x =9或x（舍去），当x ： 9时y' 0 ；当x 9时y' ： 0 ,故当x =9时函数有极大值，也是最大值，故选C.3. （2010 山东

3、高考理科7）由曲线y= x2 ,y= X围成的封闭图形面积为（）/、 1117（A）（B） -（C） -（D）124312【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.23【思路点拨】先求出曲线y=x ,y= x的交点坐标，再利用定积分求面积 【规范解答】选A.由题意得：曲线y= x2 ,y= x3的交点坐标为（0,0） , （1,1），故所求封闭图形的面积为1231110( x -x )dx= 1-1=,故选 A.3 41244. (2010 辽宁高考理科10)已知点P在曲线y= 上，：为曲线在点P处的切线的倾斜角，

4、则:ex +1的取值范围是()3 ：3：(A)0,)(B),)(C)(,(D)，二)4 4 22 44【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率【思路点拨】 先求导数的值域，即tan 的范围，再根据正切函数的性质求 :的范围.【规范解答】选D.(+2+1(A) -21 n2(B) 2ln2(C) In 2(D)ln 2【命题立意】考查积分的概念和基本运算【思路点拨】【规范解答】1记住丄的原函数x41dx选 D . 2 x =(lnx+c)4=(l n4+c)-(l n2+c)=l n2.2【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数6. (2010 江苏高考

5、8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标当且仅当即“耐 J川成立。eX/0则-l<tan<z< 03又cr亡0,<a< Jt,故选D4为 ak+1,其中 N*，若 a1=16，则 a1+a3+a5的值是【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容【思路点拨】 先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,a k2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y = 0，即可求得切线与 x轴交点的横坐标【规范解答】由y=x2(x>0)得，y =2x ,ak当y =0时，解

6、得x =2y - a/ 二 2ak(x aj所以函数y=x2（x>0）在点（ak,ad处的切线方程为:所以 ak 4 =玉，a1 a3 a5 =16 4 1=21.2【答案】217. （2010 江苏高考T14）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S（梯形的周长）2 ,则S的最小值是 梯形的面积【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，禾U用函数的观点解决【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为2则：s=（3 _x）二_41 （

7、x+1） £（1_x）矗2 2方法一：利用导数的方法求最小值2S(x)迅罟，S (x)(2x-6) (1-x2) -(3-x)2 (-2x)(1-x2)21S(x)二 0,0 : x ： 1,x 二31 1x （0,时，S（x）：0,递减；当 x ,1）时，S （x）0,递增;331 32 J3故当x 时，S取最小值是33方法二：利用函数的方法求最小值21 1 14t24令 3-x =t,t (2,3), -(一，)，则：S-t3 273-t+6t-8 胎_8 十62 I t2 t131故当厂厂匕时，S取最小值是32、33【答案】32、3【方法技巧】 函数的最值是函数最重要的性质之一

8、，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数 的综合解答题中考查高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、 导数法和基本不等式法8. (2010 陕西高考理科T1 3)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x,y ),则点M取自阴影部分的概率为.【命题立意】 本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题【思路点拨】 由积分求出阴影部分的面积即可求解123 1【规范解答】 阴影部分的面积为 S阴影=f03x2dx =1.所以点M取自阴影部分的概率为P S影11S长方形3江1 31【答案】丄39. (2010 海南高考理科T13)设y=f(x)为区间0,1上的

9、连续函数，且恒有Ow f(x)< 1,可以用随机1模拟方法近似计算积分o f (x)dx ,先产生两组(每组 N个)区间0,1上的均匀随机数 n，x2, ,xN和yi,y2, ,yN,由此得到N个点(Xj,yJ(i=1,2, , ,N),再数出其中满足yifXi(i=1,2, , ,N)的点数1N1，那么由随机模拟方法可得积分f (x)dx的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解【规范解答】 由题意可知，x, y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足 yi w f (xi)

10、的点1(Xi,yj落在y=f(x)、y=0以及x =1、x = 0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知f(x)dx的近似值为叫.【答案】NiNk 210. ( 2010 北京高考理科T1 8)已知函数 f ( X)=ln(1+ x)- x+ x ( k > 0).2(i)当k=2时，求曲线y = f ( x)在点(1 , f (i)处的切线方程；求f ( x)的单调区间.【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.【思路点拨】(1)求出f'(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程；(2)由k讨论f'(X)的正负，

11、从而确定单调区间.2 1【规范解答】(1 )当 k=2 时，f(x)=l n(x)-xx2，f '(x)1 2x1 + x3由于 f(1)=l n2，f'(1) = 3，2所以曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3y-In2(x-1)2 ，即 3x-2y 2ln 2-3=0.(2)f'(xr丄_1kx = x(kx k)，x.(_1,；). 1+x1+x当 k =0时，f'(x).1+x所以，在区间(-1,0)上，f'(x)0 ；在区间(0,七)上，f'(x)：0.故f(x)的单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0,1-k

12、x2=0，kx(x4)当 0”1 时，由 f'(x)="，得 “°,1-k1-k所以，在区间(-1,0)和(，V)上，f'(x)0 ；在区间(0,) 上, f'(x)：o,kk1 _ k1-k故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(，：)，单调递减区间是(0,).kk当k =1时,f'(x)故f(x)的单调递增区间是(-1, v).kx1'）1 _k当 k 1 时，f '（x）k 0，得人=一 一 （_1,O） , x2 = 0.1 +xk1_k1_k所以在区间（-1,）和（0, ：）上，f'（x） 0 ；在区间（，

13、0）上，f'（x）：0kk1_k1_ k故f （x）的单调递增区间是（一1,）和（0,7），单调递减区间是（,0）kk【方法技巧】（1） y = f（x）过（x°, f（X。） 的切线方程为 y -f （x0）= f '（x0）（x -x0）.（2） 求单调区间时要在定义域内讨论f '（x）的正负.11. （2010 安徽高考文科20）设函数 f x 二 si nx-cosx，x 一 0 ： x ： 2 二，求函数f x的单调区间与极值.【命题立意】 本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转

14、化能力【思路点拨】 对函数f （x）求导，分析导数f（X）的符号情况，从而确定f（x）的单调区间和极值【规范解解】由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2兀，知f "(x) =1 + J2Sin (x+上)4或直二令- 0,从 nEin（jc+） 、得H二福4 2当谀化时，心 f（Q变化情况如下表Ix（0卫）31（3兀）兀一f1 , 2丿3兀2(3)1 2兀12 ,丿f (x)+0-0+f(x)z极大值Z极小值Z因此,由上表知f（x）的单调递增区间是（0）与（，）,单调递减区间是3兀3兀极小值为f（ ）=，极大值为f（二）=二* 2.2 2【方法技巧】利用导数

15、研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法,简单易行，具体操作流程如下:(2) 求方程f'(x)=O的全部实根；(3) 列表，检查f'(x)在方程f'(x) =0的根左、右的值的符号；(4) 判断单调区间和极值.12. (2010 北京高考文科T1 8)设函数 f(x)x3 bx2 cx d(a(a0)0)，且方程 f(x)_9x=03的两个根分别为1 , 4.(1)当a=3且曲线y = f (x)过原点时，求f (x)的解析式；(2)若f (x)在无极值点，求a的取值范围.【命题立意】 本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识【思路点拨】 由f

16、'(x) -9x =0的两个根及y二f (x)过原点，可解出b,c,d ；(2) f '(x)是开口向上的二次函数，f (x)无极值点，则f'(x)_0恒成立.【规范解答】 由 f (x) =a x3 - bx2 cx d 得 f (x)二 ax2 2bx c3 J因为f (x)-9x二ax2 2bx c-9x =0的两个根分别为1,4，所以，(*)2*+c-6=O,(°当a =3时，(*)式为(8&+忙十12 = 0,解得 b - -3,c = 12 ,又因为曲线y=f(x)过原点，所以d =0,故 f (x)二 x3 -3x2 12x.(2)由于

17、a>0,所以 f (x ax3 bx2 cx d 在(-+)内无极值点等价于 f (x) = ax2 2bx c_ 03在(-m, +s)内恒成立.由(*)式得 2b =9 -5a, c = 4a .又丄=(2b)2 -4ac = 9(a T)(a-9)_La 0ii解得a 1,913=9(a -1)(a-9)兰 0即a的取值范围为1,9 1【方法技巧】(1 )当f'(X)在X0的左侧为正，右侧为负时，Xo为极大值点；当f '(X)在Xo的左侧为负，右侧为正时，Xo为极小值点.(2)二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决.y = ax2+bx + c ,耳、恒大于

18、0，则>0(a#0)A <02 a ： 0y =aX bX c (a0)恒小于 0，贝V(a=0)占 £ 013. (2010 安徽高考理科17)设a为实数，函数f xi； = eX-2x 2a,xR .(1) 求f x的单调区间与极值；求证：当 a In 2 -1 且 x 0 时，ex x2-2ax 1.【命题立意】 本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力【思路点拨】(1)先分析f (x)的导数f(x)的符号情况，从而确定 f (x)的单调区间和极值；x2(2)设g(x)二e

19、-x ，2ax-1，把问题转化为：求证：当a I n2-1且x 0时，g(x) 0 .【规范解答】(1) f (x) = e2x 2a , . f (x) =ex -2令 f (x) =0，得 x =1 n2 ,X(-°°,ln 2 )In 2(1 n2,Ff (x)0+f(x)z极小值Z-f (x)在-：,l n2上单调递减，在 In 2：上单调递增；当x=l n2时，f(x)取得极小值为22I n2 + 2a.(2)设 g(x)二 exx2 2ax1 , - g (x)二 ex2x 2a 二 f (x)由( 1 )问可知,g (x) _ 2 - 2In 2 2a 恒成立

20、，当a I n2-1时，则g(x) 0恒成立，所以g(x)在R上单调递增,所以当 x 0 时，g(x) g(0)=0.即当 a . ln 2 _1 且 x . 0 时，ex x22ax 1.【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行;2、证明不等式问题，如证£(x) . f2(x)，通常令g(x) = fi(x)_ f2(x)，转化为证明：g(x) 0.314. ( 2010 天津高考文科20)已知函数f (x) =ax3X2 T(xR)，其中a>0.2(1) 若a=1，求曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(2) 若在区

21、间 -丄，1上，f (x) >0恒成立，求a的取值范围II 2 2【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值.【规范解答】(1 )当 a=1 时，f (x) =x3-3x2 1 f (2) =3; f' (x)= 3x2-3x, f ' (2)=6. 2所以曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为 y-3=6 ( x-2 )，即y=6x-9.2 1(2) f' (x)= 3ax - 3x = 3x(ax -1).令

22、 f' (x)=0，解得 x=0 或 x= a以下分两种情况讨论：1 1(1) 若0 ：a乞2,贝V，当x变化时，f' (x) , f (x)的变化情况如下表:a 2x(1 ).,0I 2丿0(1)10，-1 2丿f ' (x)+0-f(x)Z极大值Z0,0.15 ax,1-IL 2 2if(2)°°,f (x) >0等价于2 即 81|5 + aW)°,解不等式组得-5<a<5.因此0 ： a乞2 .1 1(2) 若a>2,则0.当x变化时，f' (x),f (x)的变化情况如下表:a 2x2町01 a0

23、1 )1 2 2丿f ' (x)+0-0+f(x)Z极大值Z极小值Z1 f(-3)>°, ,f (x) >0等价于 2 即 f(1)>0, .a口>0,811- 2>0. .2a解不等式组得 :a ： 5或a 2 .因此2<a<5.2 2综合(1 )和(2),可知a的取值范围为0<a<5.1 a15. (2010 山东高考文科21)已知函数f (x) = In x - ax1(a三R).x(1) 当a二1时，求曲线y = f(x)在点(2, f (2)处的切线方程；1(2) 当a时，讨论f (x)的单调性.【命题立意】 本

24、题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力 思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线y二f(x)在点(2, f (2)处的切线的斜率;.考查分类讨论(2)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性，同时应注意分类标准的选择【规范解答】(1)当 a - -1 时，f(x) =1 n x x 2 -1,(0,；x),所以 X；=x 尸x因此，2 =1,即曲线y = f(x)在点(2 , f(2)处的切线斜率为1.又 f (2) =ln 22,所以曲线y = f(x)在点(2 ,f(2)处的切线方程为y -(1 n 2 2) =x - 2,即

25、 xy In 2 =0.(2)因为 f (x) = In x -ax2.1 -a. 1. a T ax - x 1 - a1,所以 f'(x) a xxxx22 -g(x) =ax _x _a, x (0,：),(1) 当 a =0时，g(x) =-x 1,x三0, ：,所以当(0,1时，g x >0,此时x : 0，函数f x单调递减;当x三1, 时，g x <0,此时x 0，函数f x单调递增(2)当 a = 0 时，由 f x;=0 ,2 1即 ax -x 1 -a = 0，解得为=1,X21.a1 当a时，=x2 , g x _0恒成立，此时 f x _0， 函数f

26、(x)在(0，+s)上单调递减11 当 0 ：a 时，110，2 ax"0,1时，g X，0,此时x : 0,函数f x单调递减，x 1,1-1时，g x <0,此时x 0,函数f x单调递增，I a丿x 1 -1, ： i时，g x i 0，此时x : 0，函数f x单调递减, .a1当a ：0时，由于1 ：0,axrO,1时，g x 0,此时x : 0,函数f x单调递减，x三1, v 时，g x <0,此时x 0,函数f x单调递增综上所述：当a乞0时，函数f x在0,1上单调递减；函数f x在1, :上单调递增,1当a 时,函数f x在0,亠上单调递减，11,-1

27、.a上单调递增;当0 ：a 时，函数f x在0,1上单调递减；函数函数f (x 在 '1 -1，咼上单调递减 la'丿【方法技巧】1、分类讨论的原因(1) 某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2) 数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；(3) 含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；(4) 在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能2、分类讨论的原则(1) 要有明确的分类标准；(2) 对讨论对象分类时

28、要不重复、不遗漏；(3) 当讨论的对象不止一种时，应分层次进行3、分类讨论的一般步骤(1) 明确讨论对象，确定对象的范围；(2) 确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(3) 逐段逐类讨论，获得阶段性结果；(4) 归纳总结，得出结论.16. (2010 陕西高考文科21)已知函数 f(x) =-j''X,g(x) =al nx,a R.(1) 若曲线y二f (x)与曲线y =g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；(2) 设函数h(x) = f (x) - g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值- (a)的解析式；(3) 对(2)中的:(a

29、)，证明：当 a，(0,=)时，(a)叮.【命题立意】 本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力【思路点拨】 曲线y = f (x)与y =g(x)在交点处有相同的切线 =交点坐标=a的值及该切线的方程；=h(x)=利用导数法求h(x)的最小值' (a)的解析式=利用单调性证明(3).【规范解答】(1)f(x)=2g(x)Txm1a e, x2 x 二 a In x,由已知得：1 a 解得|!=2 x x'-两条曲线交点的坐标为

30、e,e ),切线的斜率为k = f "(e2)=丄2e所以切线的方程为 y e(xe2),即x2eye2 =0.2e(2)由已知条件知 h(x)h$X_alnx,(x . 0).1h(x)=2.xx -2a2x当a>0时，令h(x) =0,解得x =4a2,所以当 0 < x< 4 a2 时，h(x)：0, h(x)在(0，4a2 )上递减；2 2当 x>4a 时，h(x) 0， h(x)在(4a ,=)上递增.所以x=4a2是h(x)在(0, + R )上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点2 2.最小值： (a)二 h(4a )=2a-a

31、ln(4a )=2a(1-ln(2a).当aw 0时，h (x 2a 0,h(x)在(0, +s)递增，无最 小值.2x故- "=呦 2X1 ln(2j ) >0(3)由(2)知(a) =-2ln 2a,(a 0).1 由(a)二-2ln(2a)0,得0 : a ;21 由 (a)二-2ln(2a) <0,得a211所以(a)在(0,丄)上是增函数，在(丄，=)上是减函数，2 21所以(a)的最大值为(2),又(2)=2 2(1Tn(2 弓)=1.所以当 a (0,=)时，：(a) <1.17. (2010 陕西高考理科2 1)已知函数f (x)=.匸,g(x)二a

32、lnx,aR.(1) 若曲线y二f (x)与曲线y =g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程;(2) 设函数h(x) = f (x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值:(a)的解析式；(3) 对(2)中的- (a)和任意的a 0,b0，证明：申兰 ®(a)+A(b)二申(迪)22'a+b 八【命题立意】 本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力【思路点拨】 曲线y = f (x)与y = g(

33、x)在交点处有相同的切线 =交点坐标二.a的值及该切线的方程; 由h(x)=利用导数法求h(x)的最小值- (a)的解析式=利用基本不等式证明(3).1a【规范解答】(1) f (x)：-，g(x) (x 0),2jxx由已知得：1 a.两条曲线交点的坐标为(e,e)，切线的斜率为k = f "(e2)=2e所以切线的方程为 y-e二2e1一(x_e2),即x_2ey e2 = 0.(2)由已知条件知 h(x)=、x_al nx,(x 0).1 a x - 2ah(x)dx x 2x当a>0时，令h (x) = 0 ,解得X = 4a2,所以当 0 < x< 4 a

34、2 时，h(x)：0, h(x)在(0，4a2 )上递减；当 x>4a2时，h (x)0， h(x)在(4a2,二)上递增.所以x=4a2是h(x)在(0, + s )上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.最小值(a)二 h(4a2) =2a-aln(4a2) =2a(1-1 n(2a).当aw 0时，h (x) = x 2a . 0, h(x)在(0, +s)递增，无最小值.2x(3)由(2)知(a)二-2ln 2a,(a 0).对任意的a 0, b 0,:()=-2 In (a b) _ -21 n(2 丽=- ln(4 ab),：(a)(b)2-2In(2a)

35、-2In(2 b)2二- In(4ab),(竿)_2In(笨)_ -2In( n(4ab),a ba b2、ab综上可得：护(a+b)/F(a)+即(b) v(2ab)2 '2'a b【方法技巧】不等式的证明方法1证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤， 技巧和语言特点.2 在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反

36、之亦可从明 显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.18. (2010 湖南高考理科 T 4)已知函数f(x)=x2 bx c(b,c R),对任意的X R，恒有f'(x)乞f (x).(1)证明：当 X _0 时，f (xi (x c)2 ；(2)若对满足题设条件的任意b, C,不等式f(c) - f (b)岂M (c2 -b2)恒成立，求M的最小值【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识.考查了等价转化的思想.【思

37、路点拨】(1)在对任意的xR，恒有f'(x)乞f(x)下可以得到b,c的关系，目标是证明当x_0时,2f(X)乞(X c),其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系( 2)恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元【规范解答】(1)易知f' (x)=2x+b.由题设，对任意的b2R,2x x2 bx c,即x2 (b - 2)x c - b 丄 0恒成立，所以(b-2) 2-4(c-b) < 0,从而 c> 一 1.4于是 c > 1,且 c > |b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.故

38、当 x > 0 时，有(x+c) -f(x)=(2c-b)x+c(c-1)> 0.即当 x > 0 时，f(x)乞(X c)2.由(1)知,c> |b| 时，有f(c) - f(b)c2 -b2c2b2 beb2c2 - b2c 2bb c令tf,则_仁1,=2一丄.cb+c 1 +t而函数g(t) =2 一丄(一1 ：t :：: 1)的值域是(-：1 t2因此，当c |b|时，M的取值集合为3,：)22 2当 c=|b| 时，由(1)知,b=± 2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0, c -b =0,3从而f(c)-f(b) w 0, M无最小

39、值.综上所述，M的最小值为上.2【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利 用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化 为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.19. ( 2010 辽宁高考文科21) 已知函数f(x)=(a+1)Inx+ax 2+1.(1) 讨论函数f (x)的单调性；(2) 设 aw -2，证明：对任意 X1,

40、X2 (0,+ g)，|f(X1)-f(X2)| > 4|x仁 X2|.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力.【思路点拨】(1)求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，(2)转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x, 通过g(x)的单调性证明.【规范解答】(D/OW定义城为 CO, +m) , f = 2aJC=1lalXJCX当于3g故/g在(m+皿)上单调递增；a<-rt，fCOvOL故/(©在(0,+oo)上单调递减；贝J当工割加)上单调递减。今)上单调递増，(-2)不妨设耳二丐

41、由于口兰-X所以在(0, +m)上单调递减。 所帧对-/(七申4|耳-七|等价幵©-/(对"-4七 即：/C对十4七二/00 + 4耳FffCQ =/W十4写则* 亠 2ax +4jc+a+lg =,于是畑兰m仝如XX从而飜菲(0, + ®)上单调递减，所如®即 /W » 4耳卜4冷所以对任意五巧七(0,4«)fg -只巧)亡4|耳一兀| *【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.20. (2010 辽宁高考理科21)已知函数f(

42、x)=(a+1)l nx + ax2+1(1) 讨论函数f(x)的单调性；I jHfxi) jfCis) I >： 41 J； jcj |(2) 设a ： -1.如果对任意x1, x2 (0, ：),，求a的取值范围.【命题立意】 本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以 及运算能力【思路点拨】(1)求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，(2)转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围.【规范解答】/U)的定义域为(0, +m) , /U) = + 2or =XX当也土0B九十功0故£3在CO-*&

43、#174;)上单调增加； 当应兰一1时，产3 <8故只涎 (a+oo)上单调减少；当舒3" 解得"孚)时皿laXE单调减少。严)时，尸(©<。放/(”在(aJUU 当加)上令上单调增加，在工)不妨i殳孔之心而口c-1,由(I)夕叽©£ 1 0. +«>.)上单调減少*从而%八圧(a知加兀o -忑)陰41兀一对等价于5?"牝 0+«0*/<巧)*4巧 Z/(J0*4* -1令g<© =只” *4斗则赛'g = +込十4x式等价于宕(对在° * ao)上单调减少

44、，即从而必”二M故甜取值范围为08厂2 【方法技巧】1、 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏.2、 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等.3、 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题21. (2010 天津高考理科T 2 1)已知函数f (x) =xe(x R)(1) 求函数f (x)的单调区间和极值；(2) 已知函数 y=g(x)的图象与函数 y = f(x)的图象关于直线 x=1对称，证明当 x 1时, f(x) = g(x).(3) 如果 x,式x2，且 f (x,) = f (x2)，证

45、明 +x2 >2【命题立意】 本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.【思路点拨】利用导数及函数的性质解题.【规范解答】(1) f' (x)=(1-x)ef，令 f'(x)=0,解得 x=1,当x变化时，f ' (x) , f(x)的变化情况如下表x(-00,1)1(1,Tf'(X)+0-f(x)z极大值z所以f(x)在(_：,1)内是增函数，在(1,：)内是减函数1函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=-e(2) 由题意可知 g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2

46、-x)ex°令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x)二 xe(x -2)ex°于是 F'(x) -(x -1)2 -1)e»当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2 -1 0,又e0,所以F' (x)>0,从而函数F (x)在1,+)是增函数.又 F(1)= e-1 -e-1 =0,所以 x>1 时，有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).(3) 若(X -1)爲 一1=©,曲(1) 及fx 11) =fx 2,则xx =»2 =1.与 护屜矛盾。若<(冶1)1)(冷

47、1今90由由(J及及财i)f(xf(x),2得得x 2与与x蒐矛盾盾。根据得(x T)(x2 T) ： 0,不妨设为1,x21.由(2)可知，f(x 2) >g(x2),又 g(x2) =f(2-x 2)，所以 f(x 2)>f(2-x 2),从而 f(x 1)>f(2-x 2).因为 x21 ,所以2 -x2 1, 又由(1)可知函数f(x)在区间(-8, 1)内是增函数，所以x1>x2,即x1+x2>2.22. (2010 江苏高考T 20 )设f (x)是定义在区间(1：)上的函数，其导函数为f '(x).如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)

48、对任意的x (1,：)都有h(x) >0,使得f'(x) =h(x)(x已知函数g(x)具有性质P(2)，给定为必 (1,：),为：X2,设m为实数， - ax 1)，则称函数f (x) 具有性质P(a).b +2(1)设函数f (x) =|nx (x -1)，其中b为实数.x+1(1) 求证：函数f(x)具有性质P(b) ； (ii) 求函数f (x)的单调区间.:=mxi (1 m)X2，: = (1 - m)ximx2，且用 > 1, :. 1 ,若I gCO - g( )1<1 g(xj - g(x2)|，求 m 的取值范围.【命题立意】 本题主要考查函数的概

49、念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨 论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力【思路点拨】(1)求出f'(x)，并将其表示为f'(x)二h(x)(x2 - ax 1)的形式，注意h(x) 0.利用(1)的结论求解.【规范解答】(1) (i) f'(x)121 2(x2 -bx 1)，x (x+1)2x(x+1)2 x 1 时,h(x)=1x(x 1)2函数f(x)具有性质P(b).bb2(ii)(方法一)设 申(x) =x2bx+1 =(x-？)2+1 - 4，申(x)与 f '(x)的符号相同b2当 1 o-2 ：b ：2 时，(

50、x) 0 , f'(x) 0，故此时 f(x)在区间(1：)上递增;4当b =2时，对于x 1，有f'(x) - 0 ,所以此时f (x)在区间(1, ：)上递增;当b ： -2时，:(x)图像开口向上，对称轴KX = 一1，而(0) =1，所以当2x>1时*(x)#(Cx)=0, ff '似)沦0，所以此时f (x)在区间(1,：)上递增;当b 2时，(x)图像开口向上，对称轴Kx = §1 ,方程'(X)= 0的两根为:b - b2 - 42而2 22b ；b2 -4(0,1)b + Jb2 4b + Jb2 4当x (1,)时，(x)0 ,

51、 f '(x)0，故此时f (x)在区间(1,)上递减；同理得:f (x)在区间一厂，；)上递增综上所述，当b乞2时,f (x)在区间(1,：)上递增;当b 2时,f (x)在(孑+曲4)上递减；f (x)在厂+阳-4,耘)上递增.(方法二)当 b 2时，对于 x 1 , ：(x) =x2 _bx 1 _x2 _2x 1 =(x _1)2 . 0所以f'(x) .0,故此时f(x)在区间(1,匸：)上递增；当b 2时，(x)图像开口向上，对称轴x=b1，方程(x)=0的两根为：4,- 4，2而 b；b2_4 .1,bb2-4b 严(0,1)，当 x (1,-b 4)时,2b .

52、，. : b24(x) <0，f'(x) <0，故此时f(x)在区间(1,b ' 2)上递减；同理得:f (x)在区间综上所述，当b乞2时,f (x)在区间(1,：)上递增;当b 2时,f (x)在仆b_4)上递减；f (x)在b +'b -4 ,吗上递增.(方法一)由题意，得：g'(x)二 h(x)(x2-2x 1) = h(x)(x-1)2又h(x)对任意的x (1,二)都有h(x) >0,所以对任意的x (1, ：)都有g (x)0，g(x)在(1,：)上递增.又-为- (2m 1)( x2).1当 m , m = 1 时，：；一 I ，

53、且二= (m - 1)x(1m)x2, ：x2 二(1m) (m1)x2， 2-* (oj-而田-=- 1)“可-花尸 <0,u 戸或& <a若：为：X2 ：，则g(：) ： g(x) ： gX) ： g( J , 七(疔)艺U0卜 1 兰(耳)艺(，(不合题意)艮卩解得J7) < 1 1那匚h当m = L时肚三0. gg®-gK肌呂)一班心)，符合题意.工二3、且肚一可=用(旺一召),0壬=一用忑一兀y)*同理有仆0 5 5,目卩卩解得崩珂 + (1 - ffliJXj <22综合以上讨论，得所求 m的取值范围是(0, 1).(方法二)由题设知，g(x)的导函数g'(x) =h(x)(x2 - 2x 1)，其中函数h(x) 0对于任意的x(1,=)都成立.所以，当x .1时，g'(x)二h(x)(x-1)2 0，从而g(x)在区间(1：)上单调递增 当 m (0,1)时，有：=mN (1 -m)x2 mxi (1 -m)% = x，：=mxi(1 -m)x2:mx2(1-m)x2=x2，得二 e(x1,x2)，同理可得：(x1, x2)，所以由