考点专题二_平面向量与复数

1、考点专题二平面向量与复数(2)【考情分析】从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1 2题，所占分值比例约为 4.8%,难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1 2题，所占分值比例约为 4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考容此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识复数在高考试卷中的考查形式比较单一【知识梳理】重难点1. 复数的相等：两个复数 乙 a bi(a,b R), z2 c di(c,d R)，当且仅当a c且b d时，ziZ2.特别地，当且仅当 a b 0时，a bi 0.2. 复数的模：复数Zia

2、bi (a, b R)的模记作z或a bi，有 z la bib2.3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做共轭复数.复数Z的共轭复数记作 乙Z、 Z互为共轭复数.如果Z a bi,Z a bi(a,b R)，则有z R的充要条件是z z; z是纯虚数的充要条 件是z z且z 0.4. 复平面在平面直角坐标系中，可以用点Z(a,b)表示复数Z1 a bi(a,b R)，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称x、y轴分别为实轴和虚轴，并且复数集C和复平面所有的点构成的集合建立对应关系5. 实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判

3、别式 b2 4ac 0时，实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a,b,c R且a 0)在复数集中有一对互相共轭的虚数根 b V4ac b2 .xi.2a 2a易错点1. 在进行复数计算时，要灵活利用i和（1 . 3i）的性质，会适当变形，创造条件,2 2从而转化为关于i和的计算问题，并注意以下结论的灵活运用:(1 i)2 2i :1 i 1 i4n4n 1. .4n 24ni ,i ； i 1,ii, i1,ii 1 i3 i(n Z)；2.在进行复数的运算时,2 0.不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z C时不总是成立的：（zm）nmnm nz (m, n为分

4、数)：z zn(z 1);2 2z1z20z1z20， z2【基础练习】1.若复数（1bi）（3 i）是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b 2. 设z （2 i）2（i为虚数单位），则复数z的模为.【答案】5（2013）3.已知复数z的共轭复数z 1 2i（i为虚数单位），则z在复平面对应的点位于（A.第一象限 B .第二象限.第三象限D第四象限【解析】z的共轭复数z 1 2i，则2i ,对应点的坐标为(1,2),故答案为D. (2013理）4.已知集合M1,2,zi ,i为虚数单位,N 3,4 , M N，则复数zA 2iB.2iC. 4iD.4i解析：因为M1,2,zi , N 3,4

5、，由N 4，得 4 M，所以zi4，所以z 4i .答案：C【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算 |，则5.若向量，满足|【答案】90°（ 2001上春）.试题难度：较小.（2013理）所成角的大小为.6.已知z C，且z 2 2i(A) 2.(B) 3.7.“2 a 2 ”是“实系数1,i为虚数单位，则(C) 4.兀二次方程x2ax 12 2i的最小值是（(D) 5. (2009 上春)0有虚根”的（A）必要不充分条件.（C）充要条件.（B）充分不必要条件.（D）既不充分也不必要条件.解：由实系数一元二次方程 x2 ax 1 0有虚根，可得 a2 4 0,即可得a （ 2,2）

6、 , （ 2,2） 2,2 , 2 a 2 ”是“实系数一元二次方程2x ax 1 0有虚根”的必要不充分条件，故应选A.（ 2009上文）8.设Zi、Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）【答案】D （2013理）A 若 Zi Z20,则 ZiZ2B.若 ZiZ2，则 ZiZ222C.若 ZiZ2，则 ZiZi Z2Z2 D.若 Zi Z2，贝y ZiZ2【解析】设Zi abi, Z2 c di,若 | 乙 Z21 0,则 | 乙Z21（a c） （b d）i ,a c,b d，所以z1z2，故A项正确；若zz2，贝Ua c,b d，所以z,z2，故B项正确；若|Zi| Z21，则a2b2c

7、2 d2，所以乙.乙z2.z2，故C项正确；2 2 2 2当 | Zi| |Z2 | 时，可取Zi1, Z2i，显然Zi1, Z21，即ZiZ2 ,假命题.【例题精讲】例1.已知复数Zi满足（Zi 2）（1 i） 1 i （i为虚数单位），复数Z2的虚部为2 , Zi Z2是 实数，求 z2. （2011 上）解：（乙2)(1i) 1iZi2 i设z2a2i,aR,则 ZiZ2(2 i)(a 2i)(2a 2) (4 a)i ,Z1Z2R ,Z24 2i例2.已知Z是复数，z 2i、-均为实数（i为虚数单位），且复数（z ai）在复平面上2 i对应的点在第一象限，数a的取值围.（2005上春）

8、设z xyi(x、y R),Z2ix(y2）i，由题意得y 2.Zx 2i1(x2i)(2i)2 i2 i11(2x52)5(x4)i由题意得x 4 .Z4 2i.(z2ai)2(12 4a a2)8(a2)i ,根据条件,可知12 4aa20解得2a 6,实数a的取值围是（2, 6）8(a2) 0A.1B.-1C.0D.i解法1：由b21，得b 1或b1.又a 1,由集合中元素的互异性知b1.由c2b，即 c21，得ci或ci .(1)当i a1,b1,c i 时,S 1, 1,i,d，因为集合S具有性质“'对任意x、 yS，必有xyS ”，所以ac iS,bc i S，故dib c

9、d1.(2 )当a1,b1,ci时，S 1,1, i,d ，因为集合S具有性质“对任意x、yS，必有xyS ”，所以aciS, bci S，故 d ib cd1.a1,a 1a 1a1a1b2解法2:*1，b 1或b 1或b1或b1 ，又因为集合中的兀素具有c2bc 1c1cicia1a1互异性，且对任意x，y S，必有xyS，所以b1或b1，所以b c d1ii例3.已知复数Zbi ( a 、 bR ） （ i是虚数单位）是方程x2 4x 50的根.复数 w u 3i (u满足w z2. 5，求U的取值围.（2009上文）解：原方程的根为X1,22 i,例4.则当a,b R ,2 i,|w

10、z| |(u 3i)(2 i)|对于复数a,b,c, d，若集合ab22c1,1时,b c d等于,(u 2)2 42 5,2 u 6.a,b,c,d具有性质“对任意x，y S，必有xy S ”,）（2010 理）考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点， 考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型.（2） 解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的 c、d的不同取值，进而 求出b c d ；解法2直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法1优于 解法2（3）主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与 方程

11、思想、分类与整合思想、化归与转化思想.（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同， 往年较少出现复数与集合的交汇题型， 在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗， 所以在复习中一定要掌握好基本知识.（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提 高“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、 新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题.所以“新定义问题” 将是高考创新题中一种命题趋势.【能力强化】1.在复平面，复数（2 i）2对应的点位于（）（2013理）【答案】DA.第一象限B.第二象限C.

12、 第三象限D.第四象限【解析】由题知z=g= 口(3岀=33 4i (3 4i )(3 4i)513. z 2 mi, m R ,若一1-对应点在第二象限，则i的取值围为4.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为点对应的复数为.2 i、0，则第四个顶5.已知z为复数，则z z 2的一个充要条件是 z满足. （ 2003上春）【答案】6.设集合My y cos2 x sin2 x, x R , N1 _xx - V2,i为虚数单位,x R ,则 iM N为【答案】0,1（2011 理）7.（2013理第5题）满足a,b1,0,1,2 ，且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数

13、对（a, b）的个数为（ ）A. 14 B . 13C . 1210【答案】B2若复数z满足（3 4i）z 4 3i错误！未找到引用源。，则z的虚部为（ ）（2013全国新课标I理）4 4A.4B .C . 4D .5 5【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题4 4-i，故z的虚部为一，故选D.5 52【解析】方程ax 2x b 0有实数解，分析讨论当a 0时，很显然为垂直于 x轴的直线方程，有解.此时 b可以取4个值.故有4种有 序数对(2,1 ),(2,2).满足题意的 （a,b） 的取值为(1,0),( 1,1),( 1,1),(1,2),(1,1),(1,0)

14、,(1,1),(2, 1),(2,0 ),共 9 个.8.在复数围解方程z23 i (z z)i2 i（i为虚数单位）(2005 上)解：原方程化简为z2(z z)i 1 i ,设 z=x+yi(x、y R)h代入上述方程得x 2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1 且 2x=-1,1解得x=- 且y=±,3522当a 0时，需要4 4ab 0 ,即ab 1.显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2 ）,原方程的解是z=- ±3 i.2 22x 19. 已知实数p满足不等式 竺0 ,试判断方程z2 2z 5 p2 0x 2有无实根，并给出证明（ 2004上春）解：由 罷 0，解得2 x 2 ,2 p 方程z2 2z 5 p2 0的判别式 4（ p2 4）.2 p 2 , p2 4 ,0，由此得方程z2 2z 5