高等结构分析课件chapter03应力理论

1、2014/3/221应力理论外力、内力与应力公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程第三章 应力理论Theory of stresses2014/3/222外力、内力与应力外 力n 体 力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。n 面 力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水等。外力、内力与应力外 力2014/3/223外力、内力与应力Ø 定 义 式DP面力：DPX = limDS®0 DSX = lim DPi iDS®0 DSDS外力、内力与应力

2、6; 定 义 式体力： f = lim DFDV ®0 DVf = lim DF11DFDV ®0 DVfi = limif = lim DF2DV ®0 DV2DV ®0 DVf = lim DF33DV ®0 DVDVDF2014/3/224外力、内力与应力应 力Ø 应力矢量Ssnn外力、内力与应力内 力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。2014/3/225外力、内

3、力与应力应力的定义外力、内力与应力应力矢量：Ssnn若取DS 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取DS 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，真应力, 也称应力。s= lim DF(n )DS®0 DS2014/3/226外力、内力与应力ü 作用在同一点不同法向面的应力矢量各不相同， 反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方 向相同，则应力矢量也相同。外力、内力与应力应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而且和面元法线方向 n 有关。2014/3/227外力、内力与应力zoy正六面体: 外法线与坐标轴

4、同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的法向矢量为niei， ei是沿坐标轴的矢量； 另三个外法线与坐标轴 x 反向的面元称为。外力、内力与应力应力矢量和量的数学物理量纲都相同。区别在于：应 作用在物体内界面上的未知内力， 而面 作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面 值。s= lim DFi i (n )DS®0 DSX = lim DPi iDS®0 DS2014/3/228外力、内力与应力szzszyssxxzxsyx sssyzsxzxysxzyysyyssz syzxyyxsxxsszxyzyoszzx应力分量的正负号规定外力、

5、内力与应力s (n )syznsyyzsyxoyx2014/3/229外力、内力与应力x3s33s32s31s23es13s222s12s11s21ex23e1x1外力、内力与应力szzszyszxsyzsxzsyysxysyxzsxxoyx应力分量的个数2014/3/2210外力、内力与应力s (1) = s11e1 + s12e2 + s13e3 = s1 j e js (2) = s 21e1 + s 22e2 + s 23e3 = s 2 j e js (3) = s 31e1 + s 32e2 + s 33e3 = s 3 j e j共出现九个应力分量：és11s12s13

6、 ù(s ) = êsssúijê 212223 úêës 31s 32s 33 úû外力、内力与应力把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：s (1) = s11e1 + s12e2 + s13e3 = s1 j e js (2) = s 21e1 + s 22e2 + s 23e3 = s 2 j e js (3) = s 31e1 + s 32e2 + s 33e3 = s 3 j e jx3s33即：s22x2x1s (i ) = s ij e js32s31s23e2e3s13ss12

7、1s21e12014/3/2211外力、内力与应力x3s33s32s31s23es13s222s12s11s21ee1x23x1方向规定：正面上与坐标轴同向或上与坐标轴反向为正。亦即 “受拉为正，受压为负”。外力、内力与应力és11s12s13 ù(s ) = êsssúijê 212223 úêës 31s 32s 33 úû第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。当ij时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪

8、应力。2014/3/2212公式斜截面上的应力x3四面体OABC，由三个负n面和一个法向矢量为n =n1e1 +n 2e2 +n 3e3 =n i eix2的斜截面组成，其中x1为n方向的弦。n i = cos(n , ei ) = n × ei应力理论外力、内力与应力公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程2014/3/2213公式公式x3ns(n ) s(n )3s (n ) 2x2s(n)1x1公式斜截面上的应力x3ss (n ) = ?11s21 s12s22sx13s223ss31x321s332014/3/2214公式四面体的体积为：x3s(

9、n ) V = 1 d h d Ss(n )33ndh为顶点 O 到斜面s (n )2的垂直距离x2s(n)1x1公式DABC的面积为dS, 则三个的面积分别为d S1 = DOBC =n1 d S = (n ge1 ) d S d S2 = DOCA =n 2 d S = (n ge2 ) d S d S3 = DOAB =n 3 d S = (n ge3 ) d S斜截面的面元矢量为：d S n = d S1e1 + d S2e2 + d S3e32014/3/2215公式s (n ) = n g(e1s1 j e j + e2s 2 j e j + e3s 3 j e j )= n g(

10、s ij ei e j )根据商判则，知s ij eie j 必是一个量，于是定义应力s = s ijei e j公式x 3四面体上作用力的平衡条件是：s(n ) s(n )3-s (1) d S1 - s (2) d S2 - s (3) d S3s (n )2x2+sd S + f (1 d h d S ) = 0s(n )3x(n)11第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：s (n ) = (n ge1 )s (1) + (n ge2 )s (2) + (n ge3 )s (3)= n g(e1s (1) + e2s ( 2) + e3s (3) )2014/3/2

11、216公式把斜面应力沿坐标轴方向分解：s (n ) = s (n )1e1 + s (n )2e2 + s (n )3e3 = s (n ) j e j则公式的分量表为s (n )1 =n1s11 +n 2s 21 +n 3s 31s=n s+n s+n s即s=ns (n )21 122 223 32(n ) jiijs (n )3 =n1s13 +n 2s 23 +n 3s 33s (n ) = n gs公式这就是著名的公式，又称斜面应力公式。s (n ) = n g(s ijei e j ) = n gs2014/3/2217公式Ø 公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的方向n

12、=sns即sscos (s, e ) = (n )1 ;cos (s, e ) = (n )2 (n )1s(n )2snncos (s, e ) = s (n )3(n )3sns (n )公式Ø 公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的大小sn = s=s 2+ s 2+ s 2(n )(n )1(n ) 2(n ) 3= (ss)1/ 2 = (n s n s )1/ 2(n ) i(n ) ikki lli2014/3/2218公式Ø 公式应用给定应力边界条件若斜面是物体的边界面，则公式可用应力场的力边界条件：写成指标符号其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为X

13、 ,Y , Zp j =n is ijX = s xl +t xy m +t zx n Y = t yxl + s ym +t zyn Z = t xzl +t yzm + s zn公式Ø 公式应用计算斜截面上的应力斜面正应力s n = s (n ) gn = n gs gn = s ijn in j斜面剪应力t = s (n ) - s nt =s 2 - s 2nn2014/3/2219应力转换公式应力分量转换公式新、老两个笛卡尔坐标系 xm¢ 和 xi坐标间转换为：xm¢ )0em¢ = bm¢i eibm¢i = cos(xm

14、¢, xi )应力理论外力、内力与应力公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程2014/3/2220应力转换公式将s (m¢) 对新坐标轴 xn¢分解可以得到新坐标系中的应力分量：s (m¢) = em¢ gss m¢n¢ = s (m¢) gen¢s m¢n¢ = em¢ gs gen¢em¢ = bm¢i eis = s e ee¢ = bekl k lnn¢j js m¢n

15、2; = bm¢i bn¢js ij应力转换公式考虑垂直于新轴 xm¢ 的正截面，其法向矢量即为em¢ 。利用公式，该截面上的应力为s (m¢) = em¢ gs ;s (m¢) j = bm¢is ijs (m¢) j 是新正截面上的应力s (m¢)对老坐标轴 xj 分解的结果。2014/3/2221应力理论外力、内力与应力公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程应力转换公式s m¢n¢ = bm¢i bn¢js ij上式就

16、是应力分量转换公式，转轴公式。bm¢i x1x2x3x1¢l1m1n1x2¢l 2m2n2x3¢l 3m3n32014/3/2222主应力 & 应力不变量概 念 切应力为零的微分面称为主微分平面，主平面。 主平面的法线称为应轴，或者称为应方向。 主平面上的正应力称为主应力。主应力 & 应力不变量x3s11s (n ) = snns21 s12s22sx13s223ss31x321s332014/3/2223主应力 & 应力不变量对斜面BCD运用公式，可得：pnx = s xl +t yxm +t zxn pny = t xyl +

17、 s ym +t zyn pnz = t xzl +t yz m + s zn由剪应力互等定理可得：n l +t ym +t xzn pny = t xyl + s ym +t yzn pnz = t xzl +t yz m + s zn主应力 & 应力不变量主应力和应力不变量假设主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力 pns ，亦即n方向截面上剪应力为零。则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为pnx = s l pny = s m pnz = s n2014/3/2224主应力 & 应力不变量(s x - s )l +t xym +t xzn =

18、0t xyl + (s y - s )m +t yzn = 0t xzl +t yz m + (s z - s ) n = 0由于l 2 + m2 + n2 = 1 ，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：s x - st xyt xzt xys y - st yz= 0t xzt yzs z - s主应力 & 应力不变量nl +t ym +t xznp nx = s lpny = t xyl + s ym +t yzn(1)pny = s m(2 )pnz = t xzl +t yz m + s znpnz = s n由(1)和(2)式得：(s x -

19、s )l +t xym +t xzn = 0t xyl + (s y - s )m +t yz n = 0t xzl +t yz m + (s z - s ) n = 02014/3/2225主应力 & 应力不变量stststI =xxy +yyz +zzx2tststsxyyyzzzxx= s s + s s + s s -t 2 -t 2 -t 2xyyzzxxyyzzx= 1 (s s- s s ) = 1 (I 2 - s s )2iijjij ij21ij ijs xt xyt zxI3 = t xys yt yz = eijks1is 2 js 3kt zxt yzs z=

20、 s s s + 2t t t- s t 2 - s t 2 - s t 2x y zxy yz zxx yzy zxz xy主应力 & 应力不变量展开行列式得到应力状态s x - st xyt xzts - st= 0的特征方程：xyyyzt xzt yzs z - ss 3 - I s 2 + I s - I= 0123式中I1 = s x + s y + s z = s11 + s 22 + s 33 = sii2014/3/2226主应力 & 应力不变量s 3 - I s 2 + I s - I= 0123求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：s1，s2，s3，即为

21、该点的三个主应力。2014/3/2227主应力 & 应力不变量s 3 - I s 2 + I s - I = 0123ü I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应力的第一、第二和第三不变量。它们是相互的。ü 通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主应力s1、第二主应力s2和第三主应力s3 ，且s1 ³ s 2 ³ s 3主应力 & 应力不变量若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于s1，s2和s3的三个主方向：(l1 , m1 , n1 ), (l2 , m2 , n2 ), (l3 , m3 , n3 )(s x -

22、s )l +t xym +t xzn = 0t xyl + (s y - s )m +t yzn = 0t xzl +t yzm + (s z - s )n = 0l2 + m2 + n2 = 12014/3/2228主应力 & 应力不变量Ø 极值性主应力s1和s3是一点正应力的最大值和最小值。在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表：s n = (n gs )gn = s ijnin j= s n 2 + s n 2 + s n 2 1 12 23 3=s- (s - s )n 2 - (s - s )n 2 £ s11222331=(s -s )n 2 + (s -

23、s )n 2 + s³ s13123233主应力 & 应力不变量主应力的性质s 3 - I s 2 + I s - I = 0123Ø 不变性由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。s1, s 2 , s 3n1,n 2 ,n 3Ø 实数性即特征方程的根永远是实数。2014/3/2229主应力 & 应力不变量Ø 主应力坐标系在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向， 沿每点主方向的直线称为该点的主轴。处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线。以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系。在主坐标系中，应

24、力可以简化成对角型és100 ù(s ) = ê 0s0 úijê2úêë 00s 3 úû主应力 & 应力不变量Ø 正交性 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向； 特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。2014/3/2230主应力 & 应力不变量例：已知受力物体中某点的应力分量为（：MPa）s x = 100,s y =

25、 160,s z = -140,t xy = -40,t yz = 120,t zx = 0试求主应力分量及主弦。解：此点的应力状态的矩阵形式为：é100-400ùëés ij ûù = ê-40160120 úêúêë 0120-140úû主应力 & 应力不变量Ø 主应力坐标系在主坐标系中，主不变量表示为I1 = s1 + s 2 + s 3I2 = s1s 2 + s 2s 3 + s 3s1I3 = s1s 2s 32014/3/2

26、231主应力 & 应力不变量s3 -120s2 -36400s +3456000 = 0求解此特征方程，得三个主应力分别为ìs1 = 214.6ïs= 88.2í2ïs= -182.8î3主应力 & 应力不变量s 3 - I s 2 + I s - I= 0123首先，求出应力不变量为I1 = s x + s y + s z = 120I = s s + s s + s s -t 2 -t 2 -t 2 = -364002 x yy zz xxyyzzxI = s s s + 2t t t - s t 2 - s t 2 - s

27、 t 2 = -34560003 x y zxy yz zxx yzy zxz xy于是，特征方程为s 3 -120s 2 - 36400s + 3456000 = 02014/3/2232主应力 & 应力不变量ìl1 = 0.314ïm = -0.900í 1ïn = -0.305î 1ì-57.3l1 - 20m1 = 0ï-20l - 27.3m + 60n = 0í111ïl 2 + m2 + n2 = 1î 111主应力 & 应力不变量(s x - s )l +t xy

28、m +t xzn = 0t xyl + (s y - s )m +t yz n = 0t xzl +t yzm + (s z - s )n = 0l2 + m2 + n2 = 1将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式， 并利用式 l 2 + m2 + n2 = 1 ，联立求解即可得到三个主方向的弦。例如为求s1的弦， l1、m1、n1，将s1214.6代入上式的前两式得2014/3/2233主应力 & 应力不变量应力偏量将应力分解成球形和偏斜s = s 0 I + s ¢其中球形应力：s I = s 0ee 0ij i jés 000 ùs 0 = s

29、 d = ê 0s0 ús 1 sij0 ijê0ú03 kkêë 00s 0 úû主应力 & 应力不变量同样可得其余两组弦为：(0.948, 0.282, 0.146);(-0.048, 0.337, -0.940)主应力：主向：n1 = 0.314e1 - 0.900e2 - 0.305e3n 2 = 0.948e1 + 0.282e2 +0.146e3n 2 = -0.048e1 + 0.337e2 - 0.940e3s1 = 214.6, s 2 = 88.2,s 3 = -182.82014/3/

30、2234应力理论外力、内力与应力公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程主应力 & 应力不变量应力偏量s ¢ = s i¢j ei e js k¢k = 0és11 - s 0s12s13ùs ¢ = s - s d = êss- ssúijij0 ijê2122023úêës31s 32s 33 - s 0 úû2014/3/2235最大剪应力&八面体剪应力最大剪应力在主应力坐标系中：sn = n gs =

31、s1n1 e1 + s 2n 2 e2 + s 3n 3 e3s 2 = (n gs )g(n gs ) = s 2n 2 + s 2n 2 + s 2n 2 = s 2n 2n1 12 23 3i is = s n 2 + s n 2 + s n 2 = s n 2n1 12 23 3i it 2 = s 2 - s 2 = s 2n 2 - (s n 2 )2nni ii i约束条件：f =n 2 +n 2 +n 2 -1 = 0123最大剪应力&八面体剪应力最大剪应力x3s1s ns2otx2x1s32014/3/2236最大剪应力&八面体剪应力n éë

32、;s 2 - 2s (s n 2 + s n 2 + s n 2 ) + l ùû = 01111 12 23 3n éës 2 - 2s (s n 2 + s n 2 + s n 2 ) + l ùû = 02221 12 23 3n éës 2 - 2s (s n 2 + s n 2 + s n 2 ) + l ùû = 03331 12 23 3n 2 +n 2 +n 2 -1 = 0123可解出三个法线方向ni ，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。t 2

33、= s 2 - s 2 = s 2n 2 - (s n 2 )nniii i最大剪应力&八面体剪应力引进日乘子l，求泛函 F (n i , l) = t + l f 的极值。2相应极值条件为¶F = ¶t 2 + l ¶f =¶n¶n¶n0iii¶F = f = 0¶l于是，可得如下方程组2014/3/2237最大剪应力&八面体剪应力正八面体x3n = 1 (e - e + e ) 3123ox2x1n =± 1 ; n =± 1 ; n =± 11132333n =3

34、 (e1 + e2 - e3 )最大剪应力&八面体剪应力剪应力的三个极值：方向：与对应的两个主应力夹角为 45O。t= 1 (s - s )(1)223t= 1 (s - s )(2)213t= 1 (s - s )(3)2122014/3/2238最大剪应力&八面体剪应力八面体剪应力八面体正应力s0为由t 2 = s 2 - s 2 = s 2n 2 - (s n 2 )2nni ii in =± 1 ; n =± 1 ; n = ± 1132333可得八面体剪应力t0 为t = 1 (s - s )2 + (s - s )2 + (s - s

35、)203122331= 2 t 2 + t 2 + t 23(1)( 2)(3)s = s n 2 = 1 (s + s + s ) = 1 I0i i31233 1最大剪应力&八面体剪应力八面体剪应力x3s1n = 1 (e + e + e ) 3123x2s2ox1s3n =± 1 ; n =± 1 ; n =± 11323332014/3/2239平衡微分方程笛卡尔坐标系中的平衡微分方程考虑物体中A(x,y,z)点，其应力状态用直角坐标表示如下(如图标注)s x = s x (x, y, z) , s y = s y (x, y, z) , s z

36、= s z (x, y, z)t xy = t xy (x, y, z) , t yz = t yz (x, y, z) ,t zx = t zx (x, y, z)而 一点B(x+dx,y+dy,z+dz)的应力状态也用直角坐标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近展开，保留一级微量连同应计入的增量可得：应力理论外力、内力与应力公式与应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程2014/3/2240s+ ¶s yz dysyz¶yyx¶ss+yy dyyys¶yyysyzs+ ¶s yx dyzyx¶yo

37、xy平衡微分方程笛卡尔坐标系中的平衡微分方程应力场：s ij = s ij ( x, y, z)s= s x ( x, y, z) , s yy = s yy ( x, y, z) ,s zz = s zz ( x, y, z), s xy = s xy ( x, y, z) ,s yz = s yz ( x, y, z) , s zx = s zx ( x, y, z)2014/3/2241s xxs xys+ ¶s xz dxs xzxz¶xs+ ¶s xy dxzxy¶xosxys+ ¶s zz dzzz¶zs+ ¶s

38、 zx dz¶szx¶zs+zy dzzy¶zzoxy2014/3/2242s+ ¶s zz dzzz¶zs xxs+ ¶s zx dzs f¶s¶szx¶zxyzs s+ + zy ydz zdyszy yz ¶z¶yyx¶s¶ss fs+yy dyssxz yyy¶yxyzy +xz dxs¶yzxfx¶s¶ss+ sx+y dxyx dyzxy¶yxx¶yosxyfzf yfxzoxy2014/3/2

39、243æ¶s xxö- sd y d zèx+æs+ ¶s yx d y öd x d z - sd x d zçyx¶y÷yxèø+æs+ ¶s zx d z öd x d y - sd x d yçzx¶z÷zxèøs + ¶ s zx d zs xxzx¶ z+ fx d x d y d z = 0s yxf xs + ¶s yx dyyx¶yzsox

40、ys+ ¶s zx dzs xxzx¶zsyxfxs+ ¶s yx dyyx¶yzsoxy2014/3/2244平衡微分方程其中X,Y,Z表示体积力(与坐标轴同向为正)zBs xs ytZt xyyxtA XYt xzyztt zxzys zOyx图示正六面体代表通过A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)两个点的一个微体，A,B点各有三个正交面。s+ ¶s zx dzs xxzx¶zsyxf xs + ¶s yx dyyx¶yzsoxy¶s + ¶s zx + f= 0¶

41、x¶y¶zx2014/3/2245平衡微分方程zs + ¶s z d zt + ¶t zy d zt + ¶t zx d z¶z¶zt + ¶t yz d yzzyzx ¶zyz ¶ys + ¶s y d yy ¶yt + ¶t xz d xxz¶xt + ¶t yx d yyx ¶ys¶t t + xy d xOxy ¶xyx平衡微分方程在前微面上 s¶t¶t xzx¶x在右微面上 t

42、+ ¶t yx d y , s + ¶s y d y , t + ¶t yz d yyx¶yy¶yyz¶y在上微面上 t + ¶t zx d z , t + ¶t zy d z , s + ¶s z d zzx¶zzy¶zz¶z见下页图标注2014/3/2246平衡微分方程化简后得此式即为x方向的平衡方程式¶tæs + ¶s x d x öd y d z - s d y d z + æt+ ¶t yx d y 

43、46;d x d zç x¶x÷xç yx¶y÷èøèø-td x d z + æt+ ¶t zx d z öd x d y -t d x d y + X d x d y d z = 0yxç zx¶z÷zxèø平衡微分方程考虑微单元体的力的平衡条件，在x方向的合力为零。zt + ¶t zx d zzx¶zs xt yx Zå X = 0X Y¶tt t + yx d yzx

44、yx¶ysOyxæs + ¶s x d x öd y d z - s d y d z + æt + ¶t yx d y öd x d zç x¶x÷xç yx¶y÷èøèø-t d x d z + æt + ¶t zx d z öd x d y -t d x d y + X d x d y d z = 0yxç zx¶z÷zxèø2014/3/22

45、47平衡微分方程应力的平衡微分方程(平衡方程)如下：用指标符号可缩写成s ji, j + fi = 0¶s + ¶s zx + f = 0¶x¶y¶zx¶s xy + ¶s yy + ¶s zy + f = 0¶x¶y¶zy¶s xz + ¶s yz + ¶s zz + f = 0¶x¶y¶zz平衡微分方程同理，得到 y 方向和 z 方向的平衡方程式分别为¶s xy + ¶s yy + ¶s zy

46、 + f= 0¶x¶y¶zy¶s xz + ¶s yz + ¶s zz + f= 0¶x¶y¶zz2014/3/2248¶s剪应力互等定理s zz +zz dz¶zs xxs+ ¶s zx dzs f¶s¶szx¶zxyzs s+ + zy ydz zdyszy yz ¶z¶yyx¶s¶ss fs+yy dyssxz yyy¶yxyzy +xz dxs¶yzxfx¶s¶

47、;ss+ sx+y dxyx dyzxy¶yxx¶yosxy平衡微分方程对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，平衡方程导出微分方程¶s+ ¶s+= r= r ¶2u zxfxax x ¶x¶y¶z¶t 2¶s¶s¶s¶2uxy +yy +zy + f = ra = ry¶x¶y¶zyy¶t 2¶s xz + ¶s yz + ¶s zz + f = r= r ¶ u2az¶x&

48、#182;y¶zzz¶t2s+= r ¶2ufiji, ji¶t 2其中，r为材料密度，ui为位移分量，t为时间。2014/3/22491 sd x d y d z + 1 æs+ ¶s xy d x öd x d y d z2xy2 çxy¶x÷èø- 1 sd x d y d z - 1 æs+ ¶s yx d y öd x d y d z = 02yx2 çyx¶y÷èø¶ s y

49、xss yx +d ysxy¶yyx s+ ¶ s xy d xzxy¶ xoxy剪应力互等定理¶s yxss yx +dysxy¶yyxs+ ¶s xy dxzxy¶xoxy2014/3/2250平衡微分方程剪应力互等定理 z微正六面体，对通过形心P且沿z轴方t xyt yx向的轴取矩，由力矩平y衡条件得x化简注：凡作用线通过P点或方向与z轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零。(t xy d y d z )d x - (t yx d z d x)d y = 0t xy = t yx剪应力互等定理ss+ ¶s

50、yx dyyxsxy¶yyxs+ ¶s xy dxzxy¶xoxys yz = s zys xz = s zxs xy = s yx2014/3/2251平衡微分方程应力的平衡微分方程(平衡方程)如下：用指标符号表示为：s+ f = 0ji, ji用实体符号表示为：Ñgs + f = 0¶s + ¶s zx + f = 0¶x¶y¶zx¶s xy + ¶s yy + ¶s zy + f = 0¶x¶y¶zy¶s xz + ¶s

51、 yz + ¶s zz + f = 0¶x¶y¶zz平衡微分方程同理对沿x和y方向的形心轴取矩可得于是导得称为剪应力互等定理，或称应力的对称性。t xy = t yxt yz = t zyt zx = t xzt yz = t zy ; t zx = t xz2014/3/2252平衡微分方程平衡微分方程另外一种推导n平衡条件：sò s (n ) dS +ò f dV = 0fdSSVò Sn gs dS +òV f dVS=òV Ñgs dV +òV f dV=òV (&#

52、209;gs + f ) dV = 0即：Ñgs + f = 0平衡微分方程平衡微分方程另外一种推导ns. nfdSS2014/3/2253平衡微分方程圆柱坐标系中的应力s ijx3rdqì1 « rdzi = ï2 « qíïî3 « zdrzox2x1qr平衡微分方程圆柱坐标系中的平衡方程工程实践中常常要分析圆柱、圆筒等物体的受力及变形问题，在这些情况下采用柱坐标系比较方便，为此以下将给出柱坐标系下平衡方程的相应形式。2014/3/2254平衡微分方程dr (r + 1 dr)dq2rdq dzrdq

53、(r+dr)dq drdzx3(r + dr)dq dzzox2drdzx1qrdV = (r + 1 dr)dq drdz2平衡微分方程圆柱坐标系中的应力s ijés rr ,s rq ,s rz ùês,s,súx3rdqêq rqqq z údzêës zr ,s zq ,s zz úûdrz或és ,t,tùox2rrqrzêt,s ,tú x1qrê q rqq z úêët zr ,t zq ,s z &

54、#250;û2014/3/2255平衡微分方程将单元体向roz平面投影rdqdrdz平衡微分方程在柱坐标系中用r、q、zz确定一点的位置(如图rdqdr所示), 在所取的扇形微rr dqdz单元体上作用正应力分量sr、sq 、s z，剪应力zO分量tzr、tqr、tqz等。qryx2014/3/2256平衡微分方程æs + ¶s r d r ö(r + d r )dq d z - s r dq d z + æt + ¶t zr d z öd r æ r + d r ödqç r¶r÷rç zr¶z÷ç2 ÷èøèøèø-t d r æ r + d r ödq + æt+ ¶tq r dq öd r d z cos dq -td r d z cos dqzr