椭圆性质的证明

1、椭圆性质的证明与证明：性质1、椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明:2 2题目:已知F1,F2为椭圆冷 （a b 0）的焦点，P为椭圆上一点。a b求证：点P处的切线PT必平分.PF1F2在P处的外角.在解答此题之后, 我们还得到一个重要的定理.证法 1 设 F,-c,0）, F2（c,0）, P（xo,y。）.2 2对椭圆方程冷匕-1两边求导得,a b又k1 *F1二走b2xo2a yok2 =kpF2 =由到角公式知b2cx（）-a2b2 _ b2（cx（）-a2）c2x° 乂一 a2cy° cy° （cx - a2）b2cyo同理tan三1 =1 +

2、k1k.2y。 . b x022& - kx0c a y0b72= y° b x cy°1 一 - 2X° c a y°v 1, 2 （0,二）,二 1=2 ,又.1"4 ,/.2=4证法 2 设 F1（-c,0） , F2（c,0） , Pgy。），如图 1,过 F1、F2作切线 PT的垂线，垂足分别为M N.切线PT的方程为 竽嚳=1，则点r、f2到PT的距离为 a byx。 i _ 1F,M,1厂2 7'Xl+匹；a4 b4F1MCXo 1 2 1 a-CXo a2ex。-1|cx。_a22a.PMF1 s ：pnf2.1

3、 "2,又 T . 1 =/42"4.两种证法都是由.1- 2导出，如图，设PD为法线(即PD切线PT),则PD平分/ F1PF2，故得如下重要定理.定理在椭圆上任意一点P的法线，平分该点两条焦半径的夹角.(到角公式)把直线L1依逆时针方向旋转到与 L2重合时所转的角，叫做 L1到 L2 的角，简称到角.tan 0 =(k2- k1”(1+k1 k2)性质2 椭圆焦点三角形定义及面积公式推导(1) 定义：如图1,椭圆上一点与椭圆的两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2 称之为椭圆焦点三角形.(2) 面积公式推导解：在中，设NF1PF2" , PF=r1 , PF

4、2=d，由余弦定理得PF12 +PF222F1F2I2IPF1MPF2COS :=2订2 cos ：二 2b -虽即 r1r22b21 cos:-21.1 2b.2 si nr2.二S pf frir2 sinsi n： -b=b tan .1 222 1 cos：1 cos ：2=0 ,求.mf1f2例1 焦点为Fi, F2的椭圆 y1上有一点M若Mf Mf24924的面积.解： Mf1 忒=0 ,二 MFi _ MF2,S-MF1Fb2tan§ = 24tan9 =24 .2 2例2.在椭圆的 务占=1(a b 0)中，Fi,F2是它的两个焦点，B是短轴的a b一个端点，M是椭圆

5、上异于顶点的点，求证：.F1BF2 F1MF2.证明：如图2,设M的纵坐标为yo,FiCmf2 ?1 1- S bfiF2 =；FiF2 b 1 F1F2 yo =S fi2 F1BF22 f1mf2二 b2 tan 12 b2 tan 122 2即， F1BF2 AF1MF2即 tantan2 21 i又1 F1BF2，1 f1mf2都是锐角，11故rbf2 f1mf22 2从而有.rbf2f1mf2 .性质3、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导.(1)定义：如图3,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点Fi,F2构成的三角形PF1F2称之为双曲线焦点三角形.(2)面积公式推导：PF? = $，由

6、余弦定理得解：在 PF1F2 中，设 NF1PF« , PF1cos :-=2PF1 +2 PFi PF2 r1r2 cos ：二叩2 -2b2即 r1r22b21 - cos:-PF2-|时22 b21 1弓1r2s 心匕 cos:前b2图bdot .1 - cos ：2例3、已知双曲线16x 22 2 -9y2 =144，设斤丁2是双曲线得两个焦点.点P在双曲线上,PF1PF2 =32，求/ F1PF2 的大小.2 2解：双曲线的标准方程为 -y 1，9161- S PF1F2 = 2 PF1PF2 sin. RPF?二1 32sin F1PF16sin F1PF2,从而有 16

7、si n RPF2 =16cotNRPF2 二 16sin NRPF221 -cosF1PF2 'cos /RPF2 二 0 ,二 F1PF2 =90 .例a1th：椭圆丁十 +tan2 竺 1 +-3与双曲线£ 一八1的公共焦点为F1,F2 , P是两曲线的一个交点，求cos F1PF2的值.解：在椭圆和双曲线中异算 PF1F2面积aa*.PFiF2 2tan 二 S PF1F2 =1 cot 2，2 1 tan -2 22 a11 -ta n21 -22 1 cos 二2 2 x2a2性质4:若Po(xo,yo)在椭圆与=1 Vb o)有公共的焦点F1,F2和公共点 P,那么厶PF1F2的面积 b2S 二 b2 tan F1PF2，又 $ 二 b22 cot 已旺，从而 s2 二 g2 b?2，即 S 二 0 b2 .2 22 2 笃爲=1上，则过R的椭圆的切线方程是 a bx)x y°y 彳-2厂 _ 1 .a b证明：设 P(xo,yo).2 2对椭圆方程冷2=1两边求导得,2x斗0b2a bb2