有理数的乘方例题与讲解

1、有理数的乘方基础知识，基本技能1. 乘方的意义(1) 乘方的定义求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幕.如图，a叫做底 数，n叫做指数，an读作：a的n次幕(a的n次方). 11 >IIB IB A a . Il IIm anX>_ 防一描数 篇一底数乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幕是乘方运算的结果；乘方的底数是 相同因数，指数是相同因数的个数.(2) 乘方的意义an表示n个a相乘.即 an= a 44 a 4 43a .n个a女口： (-2)3= (-2)X (-2) X (-2)表示 3 个(-2)相乘.释疑点(一a)n与一an的区别 (-a)n表示n个a

2、相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方； an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数.女口： ( 3)3底数是3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(3)相乘.(33)3= ( 3)X ( 3) X ( 3)= 27.33底数是3,指数是3,读作3的3次方的相反数.-33 = (3X 3X 3)= 27.(3) 乘方的书写 一个数可以看成这个数本身的一次方.如5就是51，通常指数1省略不写. 负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应写小一点.如(一1)2不能写成一12，22不能写成22【例1】 填空：(1)式子(1.2)10

3、表示其中底数是，指数是.(2) 11丄写成乘方的形式是读作.1 7 4 4 42 4 4 4 4712013个 7解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数1 的个数；(2)把n个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中一7 是底数，相同因数的个数2 013写成指数.答案：(1)10 个一1.2 相乘 一1.2101 1 1(2) 7 2 013负7的2 013次幕 或负7的2 013次方2. 乘方运算的符号法则乘方运算的符号法则乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算.如：33 = 3X 3X 3 =27. 正数的任何次幕都是正数； 负数的奇次

4、幕是负数； 负数的偶次幕是正数； 0的奇次幕、偶次幕都是0.任何一个有理数的偶次幕都是非负数，即 a2n> 0(n为正整数)；若用n表示正 整数，则2n表示偶数，而用(2n+1)表示奇数，则(1)2n= 1, (- 1)2n+1 = 1.【例2】下列说法不正确的是().A . ( 2)2 013 是负数B . 4200是正数C. 0的任何次幕(指数不为0)都等于它本身D . 1的38次幕等于它的相反数解析：4200表示4的200次方的相反数，是负数，故 B错误.答案：B基本方法，基本能力3. 有理数乘方的运算乘方运算的方法如下：与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运

5、算，其 运算的方法是： 确定幕的符号； 进行乘法的运算.析规律对于乘方的理解 乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幕是乘方运算的结果. 因为an表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将 乘方转化成乘法运算.4. 绝对值与乘方非负性的综合运用(1) 平方、立方及平方的非负性在an中，若n=2,则为a2,读作a的2次幕，也读作a的平方；当n = 3时， a3可读作a的3次方，也可读作a的立方.平方、立方是乘方中最常见的. 根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0也就是任何一个有理数的平方都是非负数. 平方等于它本身的数：0,1

6、；立方等于它本身的数：0,1， 1.(2) 绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|> 0.(3) 非负数的性质性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.比如：若 |a|+ b2= 0,则 a= 0,且 b= 0.【例3】计算：4(1)( 2)4； (2) 34； (3) 5 3；拿；72；(6)( 1)2 014分析：根据乘方的意义和符号法则求解.(1)( 2)4表示4个(-2)相乘；442534表示34的相反数；5 3表示3个5相乘；1§ 2表示2个3相乘； 72表示4除以7的2次方的相反数；(6)( 1)2 014表示2 014个(1)相乘.解：(

7、1)( 2)4 = ( 2)X ( 2)X ( 2)X ( 2)= 16；一34= (3X 3X 3X 3)= 81；(3) 4 3-4x 4x 4型；(3) 5 5 5 5- 125；25.9 ；2 255-132= 3 X 3444(5)产-7X? = 49；(6)( - 1)2 叫 11442 4 4 431 = 12014个 1【例41】 下列说法正确的有().负数的平方是负数；正数的平方是正数；平方是它本身的数是0和1；1的立方等于它本身；一1的平方等于它的倒数；任何一个有理数的平方都 是非负数.A . 3个B. 4个C. 5个D . 2个解析：X乘方是特殊的乘法运算，两数相乘，同号

8、得正，异号 得负，故，都为正数VV0的平方等于0,1的平方等于1V1的立方是1X1的平方是1, 1的倒数是一1,所以不相等V0的平方是0,正数和负数的平方都是正数答案：B【例4 2】若x, y为有理数，且(5 x)4 + |y+ 5|= 0,则：2 013的值为().A . 1B . 1C. 2D . 2解析：因为(5 x)4和|y+ 5|都是非负数，且(5 x)4+y+ 5| = 0,所以由非负数 的性质得(5 x)4 = 0, |y+ 5|= 0, 即卩 5 x= 0, y+ 5= 0.解得 x= 5, y= 5.x_5_所以 J 2 013=. 2 013= ( 1)2 013= 1.故

9、选 B.y 5答案：B思维拓展，创新应用5. 有理数乘方规律探究及应用(1)有理数乘方规律探究观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连 续奇数等知识，探究其中的规律.根据其规律，按要求进行计算或解答.(2)乘方的应用生活中乘方的应用主要是裂变和对折. 裂变：将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六像这样以倍增 的速度发生变化就是裂变.裂变规律：裂变一次即原来的数量乘 21,裂变两次乘22,裂变三次乘23, 裂变n次乘2n. 对折:一张纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面 积比例之间有一定的关系，具体情况如下表：次数123n层数248r 2n折痕数13

10、72n- 1单面占111r丄的比例2482n【例5- 1】 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 (只有 数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应 为：(101)2= 1 X22 + ox21 + 1X 2° = 4+ 0+ 1= 5;(1011)2= 1X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20= 11.按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是 :(说明：20=1)解析：从例子中可以看出，把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算二进制数的进率是2,右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1,右边第二数位 代表21,右边第三位代表22，右边第四位代表23,依此类推，相加即可转化为十 进制数所以(1001)2= 1 X 23 + 0X 22 + 0X 21 + 1 X 20= 8+ 0+ 0+ 1= 9.答案：9【例5-2】面积是128平方分米的一张纸片，第一次剪去一半，第二次剪去 剩下的一半，