2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

1、等差数列及其前n项和专题一、相关知识点1 .等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+i an= d(n C N , d为常数).a + b ，>，八，.,.、，>(2)等差中项：数列a, A, b成等差数列的充要条件是A = -2",其中A叫做a, b的等差中项.2 .等差数列的有关公式(1)通项公式：an= ai+(n 1)d.nfn 1 nfa + an X(2)前 n 项和公式：Sn=na1 +d ='3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+ (

2、n-m)d(n, mCN*).(2)若an为等差数列，且 m + n=p+q,则 am+ an= ap+ aq(m, n, p, qCN).(3)若an是等差数列，公差为d,则ak, ak+m, ak+2m,(k, mCN)是公差为md的等差数列.(4)若an, bn是等差数列，则pan+qbn也是等差数列数列Sm, S2m-Sm, S3m&m,(m C N *)也是等差数列，公差为m2d.(6)S2n-1= (2n 1)an , S2n= n(a1+a2n) = n(an+an+1),遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公 式求解.若an , bn均为等差数列且其前 n项和为Sn,

3、Tn,则普二等. bn l2n-1Sn , 一 一, 1(8)若an是等差数列，则)7也是等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的Ln JN(9)若等差数列an的项数为偶数2n,则S奇an S2n= n(a1 + a2n)=n(an + an+1)； S 偶一$奇=门,=.S偶 an+1S n+ 1(10)若等差数列an的项数为奇数2n+1,则 S2n+1 = (2n+1)an+1；”=一.S禺n二.等差数列的常用结论1 .等差数列前n项和的最值在等差数列an中，若a1>0, d<0,则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1<0, d>0,则Sn有最小值，即

4、所有负项之和最小.2 .等差数列的前n项和公式与函数的关系：& = 2门2+12%.数列an是等差数列？ S=An2+Bn(A, B为常数).题型一等差数列基本量的运算1 .已知等差数列an前9项的和为27, ai0=8,则aoo等于解析：由等差数列性质，知S9 = 9(a；a9)= 9212a5=9a5=27,得a5=3,而a1o= 8,因此公%.aio- a5差 d= 1, - aioo= a1o+ 90d = 98.10-52 .记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24, 4=48,则an的公差为(a1+3d+a+4d = 24,a4 + a5=24，解析：设等差数列a

5、n的公差为d,则由(得6X 5国=48，16a1+2-d = 48,22a1+7d = 24,即t解得d=4.2a1+5d=16,3 .记Sn为等差数列 an的前n项和，若3s3= &+a1=2,则a5 =A. 12B. 10C. 10D. 12解析：设等差数列an的公差为d,由3s3=S2+S4,得；3X(31 2X(2 14X(4-1 3 3a1 + 一k d =2a + 一彳一权 d+4a + 一一及 d,将 a = 2 代入上式，解得 d = - 3,故 a5=a+(51)d = 2+4X(3) = 10.4 .在等差数列an中，若前10项的和Sio=60,且a7=7,则a4=

6、10a1 + 45d= 60,a1 = 3，解析：法一：由题意得f解得2. a4=a1+3d=5.a1 + 6d = 7,d=、一- ,10(a1 + a1。法一:由等差数列的性质有a + a0= a7+a4, ' S10 =2=60,a + a0= 12.又,27=7,a4 = 5.5,已知数列an满足a=15,且3为+1 =3an2.若ak ak+1<0,则正整数k=解析：由 3%+1 = 3an2? a0+1a= 2? 斗是等差数列，则 an = ? 2n. 333 akak+1<0,停-2k造-乳<0, .45<k<47,又kC N+, . . k

7、= 23.6.已知等差数列an的前n项和为Sn, a3=3, a5=5,则S7的值是a5 a37fa1 + a7解析：由题意，设等差数列的公差为 d4Ud= 1,故a4=a3+d=4,所以S7 = 5- 327X 2a4-=7X4=28.7 .数列2n1的前10项的和是fai aioX 10解析：二数列2n1是以1为首项，2为公差的等差数列，. &。=i2A一=100.8 .已知数列an中a=1, an+1 = an1,则a4等于解析：因为a1 = 1, an+1 = an 1,所以数列an为等差数列，公差 d为一 1,所以 a4=a + 3d = 1 3= 2.9 .设等差数列an的

8、公差为d,且a1a2= 35,2a4a6= 7,则d=解析：- an是等差数歹U,2a4a6= a42d= a2= 7, ,a1a2= 35, 二总1= 5, ，d= a2a1 = 2.10 .已知等差数列an的前n项和为Sn,且$5=50, Sw = 200,则a10+a11的值为J ，5X4. _Ss= 5a1 + -2-d= 50,解析：设等差数列an的公差为d,由已知得a1+2d= 10,即 9+ 2d= 20,10X 9lSw=10a1 + d = 200,a1= 2,解得，a10+a1 = 2a + 19d = 80.d = 4.11 .设等差数列an的前n项和为Sn.若a3 =

9、5,且& , S5, G成等差数列，则数列为的通 项公式an=.解析：设等差数列an的公差为d,.匕3 = 5,且S1, S5, S7成等差数列，a1 + 2d = 5,a1= 1,解得 S. .an = 2n-1.a + 7a+ 21d=10a+ 20d,ld=2,12 .设an是等差数列，且a1=3, az+a5=36,则an的通项公式为 .解析：法一：设数列an的公差为 da2+a5=36,，(a1 + d)+(a1+4d)=36,，2a1 +5d=36.- a1 = 3, -.d= 6, -.an= 6n 3.法一:设数列an的公差为 d, 1 2+ a5= a1 + a6 =

10、 36, a1=3,，a6=33,，d= 5- = 6. a1 =3, -.an= 6n 3.13 .已知等差数列an的前n项和为Sn, a6+a18=54, Si9=437,则a2 018的值是解析：设等差数列an的公差为d,由题意可知2ai + 22d = 54,4 = 5,1 解得 1所以 a2 018=5+2017X 2 = 4 039.19ai+ 171d = 437,d= 2,14 .已知数列an是等差数列，a+a7= 8, a2=2,则数列an的公差d等于a1 + a7= 2a + 6d = 8,d = 3,解析：由题意知f解得f.a2=a1+d = 2.a1=5,15 .张丘建

11、算经卷上第 22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九 匹三丈. "其意思为今有一女子擅长织布，且从第 2天起，每天比前一天多织相同量的布， 若第一天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布.则该女子最后一天织布的尺数 为（）A. 18 B. 20 C. 21 D. 2530fa1 + a30)-2= 390,解析：C,用an表示第n天织布的尺数，由题意知，数列an是首项为5,项数为30的等差数列.所以30(5+ a30即一2= 390,解得 a30=21,故选 C.16 .设Sn为等差数列an的前n项和，a12=8, Sg= -9,则.a12=a+11d =

12、 8,解析：设等差数列an的首项为a1,公差为d,由已知，得S9X8S9= 9a1+-d-d = - 9,a1= 3, 解得d = - 1.2.C 一- 16X 15 re. .S16=16X3+2 X(1)= 72.17 .已知在等差数列an中，a=1,a3 = 2a+1,a5=3a+2,若Sn=a +a2+ an,且 &= 66,则k的值为解析：二.在等差数列中，2a3=a1+a5,，2(2a+1)= 1 + 3a + 2,解得 a=1,即 a1=1, a3 = 3, a5= 5,公差 d= 1,. Sk=kx 1 +1 = 66,解得卜=11或卜=12(舍).-17 - / 17

13、a 118 .已知数列i"n"是等差数列，且 a3= 2, a9= 12,则a5=解析：法一：设数列，an遑公差为d的等差数列，; a3=2, a9=12, 'J W -6d= a9：-号=12 2=2, -d = 1，普=野+12d = 2.故 ai5= 30. 939 3 39153法二：由于数列片是等差数列，故2X,=粤+矍，即整=2X12 2=2,故ai5 = 30.n9315159319.在数列an中,若,1a1=1, a2 = 2an+1anan + 2（nC N*）,则该数列的通项为（1A. an=n B .an=n+ 1c2C. an=n n+2一一

14、 ，一，、211斛析：A , 由已知式 =+ an+1 an an+2.可得an+1anan+2an + 1a1公差,11 为后07=21 = 1的等差数歹u，所以工=n,即 an= 1ann20.九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人各得多少钱?（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲得所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人5 A.o3解析：选C甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2, a3, a4,a5,设公

15、差为d,，厂5由题息知a1 + a2 = a3+ a4+ a5= 2,52a + d=5，即( 玲5、3a1 +9d =2,解得d =16'38. 24故甲得0钱，故选C.3 1 一. r-1 .21 .已知等差数列an的前n项和为S, a9=2a2+6, a2= 4,则数列 的刖10项和为（）11A.1210B. 7711C.10D.解析:选B ,设等差数列1an的公差为d,由a9=2a2+ 6及等差数列的通项公式得a1+ 5d= 12,又 a2= 4,，a1 = 2, d = 2, - Sn= n2+ n,111-=S1 n(n+ 1 ) n；1Y i1_ 1Y ,12.广匕3广

16、十a 二、；=1=也10 11 /11 11.22 .已知等差数列an各项均为正数，其前 n项和为Sn,若a1=1, VS3=a2,则as=解析：法一：设等差数列an的公差为d,由题意得：'3+3d=1 + d,解得 d=2或 d= 1（舍去），所以 a8=1 + 7X2=15.法一:S3= a1 + a2+a3= 3a2,由；S3=a2 可得3a2= a2,解得a2= 3 或a2=0（舍去）,则 d=a2ai = 2,所以 a8= 1 + 7X 2=15.23.若 xw y,数歹U x, ai, a2, y 和 x, bi, b2,b3, y各自成等差数列，则史二a2b1 b2x-

17、y斛析：由题忌倚 a1一a2 = 一z , b1一b2=3所以ai a2 4b1 b2 324 .设an是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 . 解析：225 .数列an满足+ 1(nCN+),数列bn满足 bn = -,且 “+b2+ bg=45,则 an+1 ananb4b6()A.最大值为100B.最大值为 25C.为定值24D.最大值为50解析：C,由 =工+1(n C N+),得工=1, bn = 1,，bn+1bn= 1 , an + 1 anan+1 ananI，一一 _9X 8_则数列bn是公差为1的等差数列，: b1+b2+ - +b9=45, -

18、 9b1+= 45,即 b=1,则 bn=1 + (n-1)x 1=n,则 b4b6=4X6=24.26 .设数列an的通项公式为an= 2n10(nC N+),则辐|+必2|+ |a 15| =.解析：由an = 2n 10(nC N+)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由 an=2n 10”得 n>5, ,当 nW5 时,an<0,当 n>5 时，an>0 ,. |a”+博|+ |a15|= + a2 + a3+a4)+ (as+a6 + + a) = 20+ 110 = 130.27 .设数列an满足：a1= 1, a?=3,且 2nan= (n1)an1

19、 + (n+1闭+1，则 a?。的值是. 解析：: 2nan= (n1)an+(n+1)an+1,，数列nan是以 a=1 为首项，2a2a1=5 为公差 的等差数列，一. 20a20= 1 +5X 19= 96,解得 a20 = 96= 24.20528 .已知等差数列an为递增数列，其前 3项的和为一3,前3项的积为8.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列 an的前n项和Sn.解析：(1)设等差数列an的公差为d, d>0,等差数列an的前3项的和为一3,前3项的积为8,3ai + 3d = 3,ai = 2,ai = 4,f1 或fa“ai + d (ai + 2d / 8,d

20、= - 3d=3.,.d>0, .,.ai=-4, d=3,，an=3n7.(2) . an = 3n 7, - 1 = 3 7=4, -.Sn =n( 4 + 3n 7)n(3n 11)2=2.28.已知等差数列an的公差不为零，ai=25,且a1，an, ai3成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)求 ai + a4+a7+ a3n-2.解析：(1)设an的公差为d.由题意,得a2尸a1a13,2一一即(a+10d) =a1(a+12d).于是 d(2a1 + 25d)= 0.又 a=25,所以 d = 0(舍去)或 d= 2.故 an=-2n+27.(2)令 Sn= a1+ a

21、4+ a7 + + a3n2.由知a3n-2=6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为一6的等差数列.n,.、 n2 .从而 Sn= 2(a1 + a3n 2) = 2( 6n+56)= 3n +28n.题型二等差数列的性质及应用类型一等差数列项的性质的应用1 .在等差数列an中，a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8 =.解析： 依题意，得 a2+a4+a6+a8= (a2+a8) +(a4+%)= 2(a3+a7)= 74.2 .在等差数列an中，3(a3+a5)+2(a7+a1o+a13) = 24,则该数列前13项的和是.解析：263 .若数列an为等差数列，Sn为其前n项和

22、，且a=2a33,则Sg=.解析：设等差数列an的公差为 d, a1 = 2a33 = 2a1 + 4d 3, -.a5= a1+4d= 3, Sg=9a5 =27.4 .在等差数列an中，an a2 019为方程 x210x+16 = 0 的两根，则 a2+a 010+a? 018=解析：因为a1，a2 019为方程x210x+ 16= 0的两根，所以a1+a2 019= 10.由等差数列的性质a+a2 019、可知，a1 010=2=5, az+a2 018=a1+a2 019= 10,所以 a2+aI 010 + 22 018= 10+ 5= 15.5 .已知等差数列an的前n项和为Sn

23、,且S6=39,则a3+a4 =解析：由等差数列an的性质及其S6= 39,可得6(a1；a6)= 3(%+ a4) = 39,.则a3+ a4=13.6 .数列an满足 2an= an-1 + an+(nn2),且 az+a4+a6=12,则 a3+a4+a5等于解析:数列an满足2an=an-i + an+i(n>2),则数列an是等差数列，利用等差数列的性质可 知，a3 + a4 + a5 = a2+ad+a6 = 12.7 .设等差数列an的前n项和为Sn,且a?+a?+a2= 24,则S13 =上l 13 ai+ ai3解析：由 a2+ a7+ ai2= 24 得 3a7= 2

24、4,即 a7= 8,Si3=2= 13a7= 13X8= 104.8 .等差数列an中，a3+a7=6,则an的前9项和等于解析：法一： 设等差数列的公差为 d,则a3 + a7=a+2d + a +6d=2a +8d=6,所以a1 +9X84d= 3.于是an的前 9 项和 S = 9a1+ 一2-d= 9(a1 +4d)=9X 3= 27.9 a+a9法一：由等差数列的性质，得 aI+a9=a3+a7 = 6,所以数列an的前9项和S9=-2一;=9X6-2- = 27.9 .数列an满足 2an= an-1 + an+1（nR2）,且 az+a4+a6=12,则 a3+a4+a5等于 解

25、析：数列an满足2an=an1+an+1（n>2）,则数列 an是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3 + a4 + a5= a2+ad+a6= 12.10 .等差数列an的公差为d（dw0）,且a3+a6+a1o + a13= 32,若am= 8,则m的值为 解析：由 23+ae+ao + a3 = 32 得 4a8= 32,即 a8 = 8.又dw0,所以等差数列an是单调数列，由 am = 8,知m=8.11 .设Sn为公差不为零的等差数列an的前n项和，若S9=3a8,则S5等于解析：因为 $= a+a2+ a9= 9a5= 3a8,即 3a5= a8.又 S5 = a + a

26、2+ a5= 15a8,S1515a8所以嬴=二7=15.12 .等差数列an的前n项和为Sn,若am=10, S2m 1=110,则m=解析：S2m 1 =(2m 1 + a2m 1 ) 2(2m 1 pm= 110,解得 m= 6.类型二：等差数列前n项和的性质1.在项数为2n+1的等差数列an中，所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则n等于（）A. 9B.10 c. 11D. 12解析：选B,二.等差数列有2n+ 1项，S奇=9±L但2土毁），s偶="a2； a2n）又 ai + a2n+i= a2+ a2n,S 禺ni50 i0 .”.，n i0.S

27、r n+i i65 ii2 .等差数列an的前 n 项和为 Sn 且 Sm-1=2, Sm=0, Sm+i = 3, m> 2, mCN*,则 m= 解析：, an是等差数列，Sm i =- 2 , Sm= 0 , - am = Sm Sm i = 2.又 Sm+1 = 3, . ami+1 = Sm +1 Sm = 3, .d = ami+i am = i.m(ai + am m(ai + 2)又 Sm=* 2= 0, .,.ai = -2, .-.am= 2 + (m 1)1= 2,，m=5.3 .设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9, &=36,则a?+a8+a9等于

28、解析：由an是等差数列，得 S3, S6-S3, S9S6为等差数列.IP 2(S6 S3)= S3+ (S9 S6),得到 S9 S6=2S63Ss=45,即 a7+a8+a9=45.4已知Sn是等差数列an的前n项和 若ai = 2 014,黑£ ；S黑 =6,则S2 019=-_-_ _解析：由等差数列的性质可得 色 池为等差数列. nS2 014S2 008 -.-. ,设其公差为d,则歹有j一届6d= 6, - d = 1. 2 0 14 2 008故察防呼+ 2 018d=- 2 014+2 018=4, . S2019=8 076. 2 0 1915 .已知等差数列an

29、的前n项和为Sn,且Si0=10, S20= 30,则&。=.解析：由题意知，Si0, S20 Sio, S30S20成等差数列.则 2(S20 Sio) = Sio + (S30 S20),即 40= 10+ (S30 30),解得 S3o= 60.6 .若等差数列an的前n项和Sn满足S4=4, &= 12,则&= 解析：根据等差数列的性质，可得S2, S4-S2, &S4成等差数列，即2(S4-S2)=S2+S6-S4,因此 S2=0.7 .设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，Sio = 16, S100 Sgo = 24,则 Sioo=.解析：依题意

30、，S10 , S20 S10, S30 S20 ,，Si00 - S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为 d.又 Sio= 16, Si00 S90 = 24,因此 S100 S90= 24 = 16 + (10 1)d= 16+ 9d,解得 d=,9200. 八 10X910X因此 S100 = 10Sio+ 2 d = 10X16+ 28.在等差数列an中,ai=- 2 015,其前n项和为Sn,若工一启=2,则S2 oi8=解析:设等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn,则S= An+B,所以疗产等差数列.因、,S12 S10一、, Sn-X"Si ai、,Sn n一&

31、quot;斗一为存一而=2,所以5的公差为1,又彳=1 = - 2 015,所以后j是以2 015为首项，1为公差的等差数列，所以S覆=2 015+ 2 017X 1 = 2,所以S2 018=4 036.2 0189.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若£=非（，则13而矫.a72aza1+a13ESa13）S133X13237斛析. = d Q=丁 = 07.b72b7b1+b13获b1+b13）T132X13+1274 ,Sn 2n 3 一10.设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,右对任息自然数 n都有一则I n 4n 3b+ b的值为a9,a3a9,

32、a3a9+a3a6解析:.an, bn为等差数列,+= + =一b5+b7b8 + b42b6 2b62b6b6SH+aHZaG_2* 11 3_19. ae_19T11=b1+b11=2b6=4x 11 3 = 41,上6=41.类型三：等差数列前 n项和的最值求等差数列前n项和S最值的2种方法(1)二次函数法：利用等差数列前 n项和的函数表达式 Sn = an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)通项变号法am> 0 ,a1>0, d<0时，满足S的项数m使得Sn取得最大值为Sm；am+1 w 0amW 0,当a1<0, d>0时，满足5

33、的项数m使得Sn取得最小值为Sm._am+1 > 01.已知等差数列an中，a1 = 11, a5=1,则an的前n项和Sn的最大值是 a5- a15- 1an>0,14-3n>0,由？an+1<011-3n<0,斛析：设数列an的公差为d,则d= 3,所以an = a1 + (n 1)d = 3n + 14,一11 一 一14解得wnw，即n = 4,所以an的前4项和最大,4X 3且 S4= 4X 11 + 2-X ( 3)= 26.2 .等差数列an的前n项和为Sn,已知ai=13, 83=811,当&最大时，n的值是解析：法一：由83 = 811,

34、得a4+a5+aii= 0,根据等差数列的性质，可得a7+a8= 0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0, a8<0,故n=7时，8n最大.法二：由 83=811,可得 3a1+3d=11a+55d,把 a=13代入，得 d=- 2,故Sn=13nn(n1)= n2+14n.根据二次函数的性质，知当n= 7时8n最大.法三：根据a1=13, 83=811,知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称3+11性，可得只有当n = 2= 7时，8n取得最大值.4 .等差数列an的前

35、n项和为8n,已知as+a7=4, a6+a8=2,则当8n取最大值时，n 的值是.解析：依题意得2a6=4,2a7= 2, a6= 2>0, a7= 1<0.又数列 an是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第 7项起以后各项均为负数，于是当8n取最大彳1时，n=6.5 .等差数列an中，已知a5>0, a4+a7<0,则an的前n项和8n的最大值为()A. 87B. 86C. 85D. 84a4+ a7= a5+ a6< 0,a5>0,解析：C, - i.,工S的最大值为85.|a5>0,I a6< 0,6 .记8n为等差数列an的前

36、n项和，已知a1 = 7, 83=- 15.(1)求an的通项公式；(2)求8n,并求8n的最小值.解析：(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=15.又a1= 7,所以d= 2.所以an的通项公式为an= 2n 9.(2)法一：(二次函数法)由(1)得 &= n(a；an L n2-8n= (n- 4)216,所以当n=4时，8n取得最小值，最小值为一16.法二：(通项变号法)n ai+ an2由(1)知 an=2n9,则 Sn='2一 = n 8n.由anW 0,Sn最小？ fan+1 > 0 ,2n- 9< 0,79*即f. n< 2,又nCN ,

37、，n=4,此时Sn的最小值为 S4=16.7 .已知等差数列an的前n项和为Sn, nCN ,满足ai + a2=10, 85= 40.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=|13-an|,求数列bn的前n项和Tn.解析：（1）设等差数列an的公差为d,由题意知，a1+a2=2a+d= 10,Ss= 5a3= 40,即 a3=8,所以 a+2d = 8,a1 = 4,所以 S所以 an=4+(n-1) 2= 2n+2.d=2,111 2n, n<5,(2)令 cn=13-an=11-2n, bn= |cn|= |112n|= f2n- 11, n>6,设数列Cn的前n项和为Qn

38、,则Qn=n2+10n.当 nW5 时，Tn=b + bz+ bn=Qn = n +10n.当 n> 6 时，Tn = b1 + b2 + + bn= C1+ C2 + + C5 (C6+ C7 + + Cn) = Qn+ 2Q5=n2- 10n+2( 52+ 10X5)= n2 10n + 50.8 .已知等差数列an的前三项和为一3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2, a3, a1成等比数列,求数列岛|的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列an的公差为d,则a2 = a+d, a3=aI + 2d.3a1+3d = 3,a=2,a1 = 4,由题意得1解得

39、1或1a (a + d (a + 2d )= 8,d = 3d= 3.所以由等差数列通项公式可得，an= 2- 3(n-1) = - 3n+ 5或an= 4+ 3(n- 1) = 3n 7.故 an= 3n+5 或 an = 3n 7.(2)当an= 3n+5时，a2, a3, a1分别为一1, 4,2,不成等比数列；当an= 3n 7时，a2, a3, a1分别为一1,2, 4,成等比数列，满足条件.3n+7, n=1, 2,故|an|=|3n7|=f记数列3n 7的前n项和为Sn,3n-7, n>3.则Sn =n( 4 )+ (3ni 7 j 3 2 11=2n -万北3 2 11当

40、 nW 2 时，Tn= |a1|+ |a2|+ |an|= 一 (a+ a2+ +an)= 2门 + yn,3 2,112n +yn, n<2,3 2 112n -n+ 10, n>3.当 n> 3 时,Tn =|a1|+ |a21 +|a3|+ |an| = (a1 + a2)+(a3+ a4+ + an)一 一 3 2 11= Sn2s2=2n -2-n+10,综上知：Tn= 题型三等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法与技巧方法解读适合题型定义法对于数列an, anan 1(n2, nC N )为同一常数？ an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an 1 =

41、 an+an 2(n>3, nC N*)成立？ an是等差数列通项公式法an=pn+q(p, q为常数)对任意的正整数 n都成立？ an是等差数列选择、填空题定中的判问题前n项和公式法验证Sn= An2+ Bn(A, B是常数)对任意的正整数 n都成立? an是等差数列1.设数列an的前n项和为Sn,且an= -2n+1,则数列向前11项和为解析：为=2n+1, 数列an是以一1为首项，2为公差的等差数列,n-1 + (- 2n+ 1 J.Sn22-n2,一 n,，数列n nr r. Sn遑以一1为首项，1为公差的11X 102x(-1) = -66.S等差数列，数列一的前11项和为11

42、X( 1)+2,已知Sn是等差数列an的前n项和，S2=2, 0= 6.求数列 an的通项公式和前n项和Sn；(2)是否存在正整数 n,使Sn, Sn+2 + 2n, Sn+3成等差数列？若存在，求出 n；若不存在,请说明理由.2a1+d = 2，g = 4,解析：(1)设数列an的公差为d,则s 3乂2：3ai + -2-d = - 6,d = - 6, , n(nT ), r c 2* *an= 4 6(n 1) = 10 6n)Sn= nai+2 d=7n 3n .(2)由(1)知由+ Sn+ 3= 7n 3n2+ 7(n +3)-3(n+ 3)2= -6n2-4n-6,2(Sn+2+2

43、n)= 2(- 3n2 5n+ 2+2n) = 6n2-6n + 4,若存在正整数n使得Sn, Sn+2+2n, Sn+3成等差数列，则6n24n 6=6n26n+ 4,解得 n = 5,存在n = 5,使Sn, Sn+2+2n, Sn+3成等差数列.3.已知数列an是等差数列，且 a1，a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5= 0的两个实根.(1)求数列an的前n项和Sn；SK,(2)在(1)中，设bn=nq7C，求证：当c= 2时，数列bn是等差数列.解析：(1) - a1, a2(a1<a2)分别为方程x2 6x+ 5=0的两个实根，. 31= 1, a2=5,，等差数列

44、an的公差为4,.'Sn= n吟“422一n.、r ,1 ,(2)证明：当c= 2时,Sn2n2 nbn=-= 2n,n+c n-2. bn+1- bn=2(n+ 1)-2n=2, b1=2.数列bn是以2为首项，2为公差的等差数列.4.已知等差数列的前三项依次为a, 4, 3a,前n项和为Sn,且&= 110.(1)求a及k的值；Sn(2)已知数列bn满足bn= n ,证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn解析：(1)设该等差数列为an,则a1 = a, a2=4, a3=3a,由已知有 a+3a= 8,得 a1 = a=2,公差 d=4 2=2,k(k- 1)所以 Sk= ka1 +2 d=2k+k(k-1)22X2=k2 + k.由 Sk= 110,得 k2+k-110=0,解得 k=l0 或 k= 11(舍去)，故 a=2, k= 10.n(2+ 2n)(2)由(1)得 Sn=-2Sn,= n(n+1),则 bn= = n+1,故 bn+i bn=(n+ 2) (n + 1) = 1 ,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列，所以n(2+n+1) n(n+3)Tn=25 .已知数列an的前n项和为Sn, a=1, anW0,anan+1=?<n1,其中入为常数.(1)证明：an+2 an=%(2)是否存在 )使得a