中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

1、1 / 6专题 17 一线三等角模型破解策略在直线AB上有一点P,以A, B,P为顶点的/ 1,72,/ 3 相等，/ 1，/ 2 的一条边在直 线AB上，另一条边在AB同侧，/ 3 两边所在的直线分别交/ 1, / 2 非公共边所在的直线于 点C, D.1 当点P在线段AB上，且/ 3 两边在AB同侧时.(1)如图，若/ 1 为直角，则有ACPABPD1 为锐角，则有ACPABFD.证明：T/DPB=180-/ 37CPA7C= 180-/ 1-/CPA而/ 1 = / 3/ C=/DPB/ 1= /2,.山ACMABPD(3)如图，若/ 1 为钝角，则有ACMABPD2.当点P在AB或BA

2、的延长线上，且/3 两边在AB同侧时.如图，则有ACPMABPD证明：/DPB=180-/ 3-/CPA/C= 180-/ 1-/CPA而/ 1 = / 3 /C=/DPB/1= /2=/PBD ACMABPD3.当点P在AB或BA的延长线上，且/ 3 两边在AB异侧时.如图，则有ACPMABPD(2)如图，若/CC2 / 6证明：/C=Z1-ZCPB/BPD=Z3-ZCPB而/ 1 =Z3/C=ZBFD.vZ1 =Z2,.ZPAC=ZDBP.AACPBFD.例题讲解例 1:已知：ZEDF勺顶点D在厶ABC的边AB所在直线上(不与点A, B重合).DE交AC所 在直线于点M DF交BC所在直线

3、于点丨记厶ADM勺面积为$，BND勺面积为Sa.(1) 如图 1,当厶ABC是等边三角形，ZEDF=ZA时，若AB=6,AD-4,求S Sa的值；(2) 当厶ABC是等腰三角形时，设ZB=ZA=ZEDF=a.1如图 2，当点D在线段AB上运动时，设AD- a,BD- b,求S S的表达式(结果用a,b和a的三角函数表示).2如图 3，当点D在BA的延长线 上运动时，设AD- a,BD- b,直接写出S S的表达式.由“一线三等角模型”可知厶AM0ABDN.AMBDADAD，从而AM BN-AD BD=8,S S-12.(2)如图 5,分别过点M N作AB的垂线，垂足分别为G H.图 2M N作

4、AB的垂线，垂足分别为H.111则S$ =丄MG AD - NH BD- AD AMsinA BD224BNsinB .由题意可知ZA=ZB=60o,所以 sinA=sinB=G图 1解：(1)如图 4，分别过点CFN2C3 / 6111则S S2=丄MG AD-NH BD=丄AD AMsinA BD BNsinB . 224由“一线三等角模型”可得AM0ABDN所以 AMAD，从而AM BN= AD BD= ab,BD BN1所以S S2= a2b2sin2a；4如图 6，分别过点M N作AB的垂线，垂足分别为G H.1BD=丄AD AMsinA4所以 AD AD，从而AMB金ADBD=ab

5、，所以SSa =1a2b2sin2a;4例 2：如图，在等腰三角形ABC中,ZBAG=120,AB= AO2，点D是BC边上的一个动点(不与B C重合)，在AC上取一点E,使ZADE=30(1)设BD= x,AE= y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;(2)当厶ADE是等腰三角形时，求AE的长.解（1）：公ABC!等腰三角形，且ZBA= 120,ZABD=ZACB=30,ZABD=ZADE=30 ,ZAD= ZADEM ED=ZABD-ZDABBD BNsinB .G DHFB2 2由“一线三等角模型”可得AM0ABDN4 / 6/ EDI DABABDo DCE/ AB= A

6、C=2，/BAC=120, 过A作AFL BC于F,/ AFB=90, AB= 2,/ABF= 30,1- AF= AB = 1,2BF=, 3,BC=2BF= 2. 3 ,则DC=2 3 x ,EC=2 y/ABDhDCE AB DCBD CE ,22 3 xx 2 y化简得：y - x23x 2 0 x 2.3 .2(2)当AD= DE时，如图 2 ,ABDA DCE则AB= CD即 2= 2 3 x,x= 2 3 2 ,代入 y-x2. 3x 22解得：y= 4 2 3 ,即AE=4 2 3,2当AE= ED时，如图，/EAD=/EDA=30, /AED=120 ,所以/DEC=60,

7、/EDC= 9011则ED= - EC即y= (2 y)2222解得y=,即AE=5 / 6333当AD= AE时，有/AED-/EDA=30 ,此时点D和点B重合，与题目不符，此 情况不存在.2所以当是ADE等腰三角形时，AE= 4-2 3或AE=-3进阶训练1.如图，在ABC中,AB= AC点E在BC边上移动（不与点B,C重台）满足/DEB/B,且点D F.分别在边AB AC上当点E移动到BC的中点时，求证：FE平 分/DFC.1 略【提示】由题意可得/B=ZDEF=/C.由“一线三等角模型”可得BDEACEF可得业=匹.而BE= CE-CF EF所以些=匹，从而DEF ECF所以/DEF=/EFC即FE平分/DF3.CF EF2. 如图，在等边厶ABC中，点D, E分别在AB BC边上，AD=2BE=6.将DE绕点E顺时针旋转 60,得到EF.取EF的中点G,连结AG延长CF交AG于点H.若 2AH=5HG求BD的长.2.BD=9.【提示】如图，过点F作FI/AC交BC于点I.则/FIE= /ACB=ZABC 易证DBEAEIF, 则IF=BE,IE=BD所以BO BE= AD即IC=BE= IF，则/ACH=/EAD=1206 / 6/BCH=30 .延长CH变AB于点J,则CJ