复变试题四系函数试卷答案

1、一、单项选择题（共 20 分，每题 4 分）1、函数f (z) 在点z 可导是f (z) 在点z（A）充分不必要条件（C）必要不充分条件的(C)（B）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件2、设z 为复数，则方程z + z= 2 + i 的（B）（A）- 3 + i4（B） 3 + i4（C） 3 - i4（D）- 3 - i4¥< 1 ，则幂级数åqn2 zn 的收敛半径R = (n=03、设0 < qA)1（A） + ¥（C） 0（D） q（B）14、z = 1是函数(z -1) sin（A） 可去奇点（C） 一级零点的(D)z -1（B）一级

2、极点（D）本性奇点w = 3z - i 在z5、= 2i 处的旋转角为(B)0z + i（B） - p（D） p2（C） p（A） 02二、填空题（共 24 分，每题 4 分）1、设z = (1 + i)(2 - i)(3 - i) ，则 z=2。(3 + i)(2 + i)2、导函数f ¢(z) = ¶u + i ¶v 在区域 D 内¶u , ¶v 可微且满的充要条件为¶x¶x¶x ¶x¶ 2 u¶x 2¶ 2 v¶ 2u¶ 2 v¶x 2=

3、-足,。¶x¶y ¶x¶yx 2y23、不等式 z - 2 + z + 2< 6 所表示的区域是曲线 椭圆： += 1 的内部。95- 3z + 2z 2= 1，则òcz - 4dz =10pi。4、设c 为正向圆周(z - 4) 21q¥(-1)n in1å5、函数在1 <z(z - i)z - i< +¥ 内的展开式为 。(z - i)n+2n=02z6、设f (z) =，则Re sf (z), ¥ =-2。1+ z2三、解答下列各题（共 36 分） dx2ò1、用留数理论

4、计算积分（本小题 8 分）(2 +3 cos x)20dx1× dz = 4zdz2òò3i òz =1 æ=解：(2 +3 cos x)2ö2izö20æ2+ 1÷43 × zz =1 ç 2 +èçz 2 +z + 1÷2zè3øø13极点为z = -, z = - 3, 其中 z< 1, z> 1; 由留数定理，有1212dx= 4 × 2i limdz2ò1 dz (z - z2 )2(

5、2 +3 cos x)23i0z®z(z - z )2 - 2z(z - z )8=× lim22 (z - z)43z®z12= 8p × - (z1 + z 2 )3(z - z)312ö34æ 28=×3= 4.ç÷3è3 ø（评分标准：本小题计 8 分，计算正确者给 6 分，正确者再加 2 分）12、求函数< 1 内的展开式 （本小题 8 分）在z(1 - z)31= 1 (1- z)-1² ( z< 1)解：因为(1- z)322ö²

6、1 楥11=çåzn ÷=ån(n -1)zn-2所以(1- z)32 è n=0ø2 n=2¥= 1 å(m + 2)(m +1)zm. ( z< 1)2 m=0（评分标准：本小题计 8 分。利用逐项求导法求出第一步给 4 分，正确者再加 4 分）3、已知u(x, y) = x3 + 6x 2 y - 3xy 2 - 2y3 ，求函数f (z) = u + iv ，使符合条件f (0) = 0（本小题 10 分）¶v = ¶u= 3x2 +12xy -

7、3y2 ,解：因为¶y¶x所以 v(x, y) = ò (3x2 +12xy - 3y2 )dy= 3x2y + 6xy 2 - y3 + g(x),¶v = - ¶u ,所以 6xy + 6y2 + g¢(x) = -(6x2 - 6xy - 6y2 )因为¶x¶yg¢(x) = -6x2 Þ g(x) = ò - 6x2dx Þ -2x3 + C,且 v(x, y) = 3x2y + 6xy 2 - y3 - 2x3 + Cf (z) = x3 + 6x 2 y - 3x

8、y 2 - 2y3 + i(3x 2 y + 6xy 2 - y3 - 2x3 + C)= (1- 2i)z3 + iCf (0) = 0 Þ C = 0,故 f (z) = (1- 2i)z3.（评分标准：本小题计 10 分，计算过程正确者给 8 分，正确者再加 2 分）4、求将圆< 1成圆 w< 1 的分式线形（本小题 10 分）z则z = 1 ® w = ¥.解： 设 z = a ® w = 0,a因此可设所求分式线性为:3w = k z - az - a = k¢ z - a, (k¢ = -ka)= kaz -

9、1az -11- azaz - a= 1 «= 1,=k¢因为zww,1- az=k¢= 1.所以w又因为 1- a= 1- a ，所以k¢ = 1,即k¢ = eiq.z - a( q为任意实数)故所求分式线性为: w = eiq1 - az（评分标准：本小题计 10 分，给出分式线性表达式者给 5 分，正确者再加 5 分）四、证明：（共 20 分）ì xy 2 (x + iy)ïz ¹ 0z = 0,1、已知函数f (z) = í在原点满足-方程，试证f (z) 在x 2 + y40,ï&#

10、238;原点不可导.（本小题 10 分）证明：在 z=0 点不可导参考证明如下：（定义法）f (0 + Dz) - f (0) = Dx ´ Dy（2 Dx + iDy）Dx + iDy由定义，由于DzDx 2 + Dy4当Dz = Dx + iDy 沿射线Dy = k ´ Dx 趋近于 0 的时候，lim f (0 + Dz) - f (0) = k 2 ，它随着 k 变化而变化，因此，f(z)不可导。DzDz®0（评分标准：本小题计 10 分，写出导数定义者给 3 分，证明出来者再给 7 分）2、设f (z) = u(x, y) + iv(x, y), A =

11、 u 0 + iv, z0 = x 0 + iy 0 ，那么 lim f (z) = A 的充要条z®z0件是limu(x, y) = u0 ,lim= v0 （本小题 10 分）x®x0 ,y®y0x®x0 ,y®y041 - a1 - a证明：如果 lim f (z) = A ，那么根据极限的定义，就有：z®z0当0 <(x + iy) - (x 0 + iy 0 )< d 时， (u + iv) - (u 0 - iv 0 )< e或当0 <(x - x0 ) + (y - y ) < d 时， (u - u ) + i(v - v )22000< e因此，当0 <(x - x0 ) + (y - y ) < d 时， u - u2200< e, v - v0< elimu(x, y) = u0 ，limv(x, y) = v0这就是说x®x0 ,y®y0x®x0 ,y®y0反之，如果说上面两式成立，那么当 0 <(x - x0 ) + (y - y ) < d 时，有220< e , v - v< e ，而 f (z) - Au - u=(u - u ) - i(v