电气工程系电工电子教研室

1、电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行结论结论1 1：对对n n个节点的电路，有且仅有个节点的电路，有且仅有(n-1)(n-1)个独立个独立KCLKCL方程。方程。结论结论2 2：任取任取(n-1)(n-1)个节点列写的个节点列写的KCLKCL方程相互独立；常将能列方程相互独立；常将能列出独立出独立KCLKCL方程的节点称为独立节点。方程的节点称为独立节点。1) KCL1) KCL的独立方程：的独立方程：第二章第二章 电阻电路的基本分析方法电阻电路的基本分析方法 2.1、支路电流法、支路电流法1 1、KCLKCL和和KVLKVL的独立方程的独立方程电气工程系电工

2、电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 列出网孔列出网孔KVLKVL方程为：方程为：( (支路电压与回路方向一致取支路电压与回路方向一致取“+”+”；支路电压与回路方向相反取；支路电压与回路方向相反取“- -”)”)2) KVL2) KVL的独立方程：的独立方程：还能列出其它回路的还能列出其它回路的KVLKVL方程方程, ,它们之间独立吗它们之间独立吗? ?电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行结论结论1 1：对具有对具有n n个节点、个节点、b b条支路的连通图，有条支路的连通图，有 且仅有且仅有( (b n + 1)+ 1)个独立的个独立的

3、KVLKVL方程。方程。结论结论2：有：有：(1) (1) (b n +1)+1)个个基本回路基本回路； (2)(2)平面电路的平面电路的( (b n +1)+1)个个网孔网孔可列可列 出独立出独立KVLKVL方程方程电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 对于给定的电路，电路分析的任务之一就是求出对于给定的电路，电路分析的任务之一就是求出未知的支路电流和支路电压。未知的支路电流和支路电压。2)2)方程的列写：方程的列写： 列出独立列出独立KCLKCL方程方程, ,独立独立KVLKVL方程方程, ,和支路电压电流和支路电压电流关系关系, ,联立求解方程联立求解方

4、程1)2b1)2b法定义：法定义：以以b b个支路电压和个支路电压和b b个支路电流为未知变个支路电流为未知变量列写并求解方程的方法称为量列写并求解方程的方法称为2b2b法法。2 2、支路电流法、支路电流法2b2b法法电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行2 2、方程的列写：、方程的列写：(1)(1)在在a a、b b、c c点列出点列出(n-1)=3(n-1)=3个独立个独立KCLKCL方程；方程； i1 + i2 + i4 = 0 -i4 + i5 + i6 = 0 - i1 + i3 i5 = 0(2)(2)列写出网孔列写出网孔 (b-n+1)=3(b-n

5、+1)=3个独立个独立KVLKVL方程方程u1 u5 u4 = 0 u4 + u6 u2 = 0u5 + u3 u6 = 0 电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行2 2、方程的列写：、方程的列写：(3)(3)根据元件的伏安关系，每条支路又可列写出根据元件的伏安关系，每条支路又可列写出b=6b=6个支路电压个支路电压和电流关系方程。和电流关系方程。支路支路1 1： u1=R1i1支路支路2 2： u2= uS2 + R2i2支路支路3 3：u3= R3i3支路支路4 4： u4 =R4i4支路支路5 5： u5= uS5 + R5i5支路支路6 6：u6 =R6

6、i6(4)(4)解解2b=122b=12个独立方程求出支路电流和电压个独立方程求出支路电流和电压电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行2b2b法的问题法的问题: :方程数目太多，变量数目太多，能否减少变量和方程数目太多，变量数目太多，能否减少变量和方程数目？方程数目？1b1b法就是就是以法就是就是以1b1b个支路电流或支路电压为变量的方法。个支路电流或支路电压为变量的方法。简称简称支路电流法支路电流法。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行2 2、求解思路：、求解思路：、选定每个支路电流的参考方向；、选定每个支路电流的参考方向；、

7、对、对(n-1)(n-1)个独立节点，列出独立个独立节点，列出独立KCLKCL方程；方程；、选定、选定(b-n+1)(b-n+1)个独立回路个独立回路( (基本回路或网孔基本回路或网孔) )，指定回路，指定回路绕行方向，根据绕行方向，根据KVLKVL和和OLOL列出回路电压方程。列写过程列出回路电压方程。列写过程 中将中将支路电压用支路电流来表示。支路电压用支路电流来表示。、联立求解上述、联立求解上述b b个支路电流方程；个支路电流方程；、进而求题中要求的支路电压或功率等。、进而求题中要求的支路电压或功率等。1 1、支路电流法：、支路电流法：以支路电流为变量，根据元件的以支路电流为变量，根据元

8、件的VARVAR及及KCLKCL、KVLKVL约束列出方程组，求解支路电流，进而求得电路中基它约束列出方程组，求解支路电流，进而求得电路中基它的电压、功率等的方法的电压、功率等的方法 称为支路电流法。称为支路电流法。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例题例题1 1：(1)(1)在在a a、b b、c c点列出点列出(n-1)=3(n-1)=3个独立个独立KCLKCL方程；方程； i1 + i2 + i4 = 0 -i4 + i5 + i6 = 0 - i1 + i3 i5 = 0第第第第第第 2-2-2-2-2-2-9 9 9 9 9 9 页页页页页页(2)

9、(2)列写出网孔列写出网孔 (b-n+1)=3(b-n+1)=3个独立个独立KVLKVL方程方程000663355522266444455511iRiRiRuiRuiRiRiRuiRiRSSS(3)6(3)6个支路电流变量个支路电流变量,6,6个独立方程联立求解个独立方程联立求解, ,可完可完 全解出电全解出电流、电压并功率等。得到完全求解流、电压并功率等。得到完全求解电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例2 2：用支路法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻吸用支路法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻吸收的功率。收的功率。2A12V22u12u1ai1i2

10、U解：解：(1)(1)标出支路电流的参考方向，如图所示。标出支路电流的参考方向，如图所示。(2)(2)选定网孔列选定网孔列KVLKVL方程，如图所示方向。方程，如图所示方向。(3)(3)受控电压源当独立电压源一样处理，受控电压源当独立电压源一样处理， 对电流源的处理方法：在其两端设定一电压对电流源的处理方法：在其两端设定一电压U U；(4) (4) 对独立节点对独立节点a a，列，列KCLKCL方程为：方程为： i i2 2 i i1 1 2 = 0 2 = 0 (1) (1)(5) (5) 对两个网孔，利用对两个网孔，利用KVLKVL和和OLOL列回路方程为：列回路方程为： 2 i1 + U

11、 12 = 0 (2) 2 i2 + 2u1 U = 0 (3)试问能解出吗？试问能解出吗？电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行2A12V22u12u1ai1i2U(6) (6) 上面三个方程，四个未知量。补一个方程：将受控源控上面三个方程，四个未知量。补一个方程：将受控源控制量制量u u1 1用支路电流表示，有用支路电流表示，有 u1 = 2i1 (4)(7) (7) 解式解式(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)得支路电流为得支路电流为 i1 = 1A， i2 = 3A(8) (8) 求电阻吸收的功率为求电阻吸收的功率为 P1 = i122 =

12、2(W)， P2= i222 = 18(W)支路电流法的特点：支路电流法的特点：支路法列写的是支路法列写的是 KCLKCL和和KVLKVL方程，方程， 所以方程列写方便、所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例3.3.节点节点a a：I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解: :11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U增补方程：增补方程：U=7I3a1270V7 b+I1I3I

13、27 11 +5U_+U_有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：(1) (1) 先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程；(2) (2) 将控制量用未知量表示，并代入将控制量用未知量表示，并代入(1)(1)中所列的中所列的方程，消去中间变量。方程，消去中间变量。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 2b 2b法和支路法需要列写的方程往往太多，手工解算麻烦。法和支路法需要列写的方程往往太多，手工解算麻烦。能否使方程数减少呢？网孔法就是基于这种想法而提出的改进。能否使方程数减少呢？网孔法就是基于这种想法而提出的改进。2 2、

14、网孔电流的概念、网孔电流的概念 在每个独立回路中假想有一个电流在回路中环流一周，在每个独立回路中假想有一个电流在回路中环流一周，而各支路电流看作是由独立回路电流合成的结果。回路的巡而各支路电流看作是由独立回路电流合成的结果。回路的巡行方向也是回路电流的方向。行方向也是回路电流的方向。 注意注意：回路电流是一种假想的电流，实际电路中并不存：回路电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。引入回路电流纯粹是为了分析电路方便。在。引入回路电流纯粹是为了分析电路方便。1 1、网孔分析法、网孔分析法 以独立回路电流为未知变量列出并求解方程的方法称为以独立回路电流为未知变量列出并求解方程的方法称为回回路法路

15、法。 若选平面电路的网孔作独立回路，则这样的回路法又常称若选平面电路的网孔作独立回路，则这样的回路法又常称为为网孔法网孔法。 2.2 2.2 网孔分析法网孔分析法电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 如图电路，选网孔作独立回路，如图电路，选网孔作独立回路，设定回路电流设定回路电流I、I、I如图所示。如图所示。各支路电路看成是由回路电流合成得各支路电路看成是由回路电流合成得到的，可表示为到的，可表示为 i1 = I， i2 = I ， i2 = I ， i4R1uS5R2R3R4R5R6uS3uS2Ii1i2i3i5i6IIaR R4 4支路上有两个回路电流支路

16、上有两个回路电流I、I流经流经, ,且两回路电流方向均且两回路电流方向均与与i4 4相反，故相反，故 i4 = - I- I R R5 5支路上有两个回路电流支路上有两个回路电流I、I 流经，故流经，故 i5 = - I+ I R R6 6支路上有两个回路电流支路上有两个回路电流I 、I 流经，故流经，故 i6 = - I - I 对节点对节点a a列出列出KCLKCL方程，有方程，有 i1 + i4 + i2 = I+ (- I- I ) + I 0可见，回路电流自动满足可见，回路电流自动满足KCLKCL方程。方程。3 3、网孔法方程的列写规律、网孔法方程的列写规律电气工程系电工电子教研室电

17、气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行利用KVL和VCR列出三个独立回路的KVL回路 R1i1 R5i5 uS5 R4i4 = 0回路 uS2+ R2i2 R6i6 R4i4 = 0回路 uS5 + R5i5 + uS3 + R3i3 R6i6 = 0 i4R1uS5R2R3R4R5R6uS3uS2Ii1i2i3i5i6IIa将支路电流用回路电流表示，并代入上式得() R1 I R5 (- I+ I ) uS5 R4 (- I- I ) = 0() uS2 + R2 I - R6 (- I - I ) R4 (- I- I ) = 0() uS5 + R5 (- I+ I ) + uS3

18、 + R3 I R6 (- I - I ) = 0将上述方程整理得：回路() (R1 +R4 + R5) I + R4 I R5 I = uS5回路() R4 I + (R2 +R6 + R4) I + R6 I = uS2回路() R5 I + R6 I + (R5 +R3 + R6) I = - uS5 - uS3R11R22R33R12R13R21R23R31R32(US)1(US)2(US)3电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行将上述方程整理成标准形式：将上述方程整理成标准形式：可推广到可推广到m m个网孔的电路。个网孔的电路。333332321312

19、232322212111313212111SSSuIRIRIRuIRIRIRuIRIRIRRii(i =,)称为回路称为回路i的的自电阻自电阻=第第i个回路所有电阻之和，恒取正；个回路所有电阻之和，恒取正； Rij称为回路称为回路i与回路与回路j的的互电阻互电阻=回路回路i与回路与回路j共有支路上所有公共电阻的代共有支路上所有公共电阻的代数和；若流过公共电阻上的两回路电流方向相同，则前取数和；若流过公共电阻上的两回路电流方向相同，则前取“+”号；方向号；方向相反，取相反，取“-”号。号。(US)i 称为回路称为回路i的等效电压源的等效电压源=回路回路i中所有电压源电中所有电压源电压升的代数和。

20、即，当回路电流从电压源的压升的代数和。即，当回路电流从电压源的“ + ”端流出时，该电压源前端流出时，该电压源前取取“ + ” 号；否则取号；否则取“ - ”。SnnnnnnnSnnSnnuIRIRIRuIRIRIRuIRIRIR.2211222222121111212111电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例1 1：列写如图电路的网孔方程：列写如图电路的网孔方程解解: :网孔电流如图表示网孔电流如图表示35412542575211447141419CBACBACBAiiiiiiiii电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行R

21、ii(i =,)称为回路称为回路i i的的自电阻自电阻= =第第i个回路所有电阻之个回路所有电阻之和，恒取正；和，恒取正；Rij称为回路称为回路i与回路与回路j的的互电阻互电阻= =回路回路i与回路与回路j共有支路上所共有支路上所有公共电阻的代数和；若流过公共电阻上的两回路电流方有公共电阻的代数和；若流过公共电阻上的两回路电流方向相同，则前取向相同，则前取“+”+”号；方向相反，取号；方向相反，取“-”-”号。号。(US)i 称为回路称为回路i的的等效电压源等效电压源= =回路回路i中所有电压源电压中所有电压源电压升的代数和。即，当回路电流从电压源的升的代数和。即，当回路电流从电压源的“ “

22、+ ”+ ”端流出端流出时，该电压源前取时，该电压源前取“ “ + ” + ” 号；否则取号；否则取“ “ - ”- ”。由电路直接列写网孔方程的规律总结由电路直接列写网孔方程的规律总结电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行（2 2）以回路电流的方向为回路的巡行方向，按照前面的）以回路电流的方向为回路的巡行方向，按照前面的 规律列出各回路电流方程。规律列出各回路电流方程。 自电阻始终取正值，自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个回路电流的互电阻前的符号由通过互电阻上的两个回路电流的流向而定，两个回路电流的流向相同，取正；否则流向而定，两个回路电流的

23、流向相同，取正；否则取负。等效电压源是电压源电压升的代数和，注意取负。等效电压源是电压源电压升的代数和，注意电压源前的符号。电压源前的符号。（3 3）联立求解，解出各回路电流。）联立求解，解出各回路电流。（4 4）根据回路电流再求其它待求量。）根据回路电流再求其它待求量。（1 1）选定一组）选定一组(b-n+1)(b-n+1)个独立回路，并标出各回路电流个独立回路，并标出各回路电流的参考方向。的参考方向。4 4、网孔法步骤归纳如下：、网孔法步骤归纳如下：电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例1 如图电路，求电压Uab。解：选网孔为独立回路，如图所示。 电路有2

24、个网孔，由于流过电流源IS1上的网孔电流只有一个i1，故 i1= IS1 =2A这样可以少列一个网孔方程。第二个网孔方程 10i2 2 IS1 = 16 5解得 i2 = 3/2 (A) UAB = 8 i2 + 5=17(V)。 5 5、例题分析、例题分析电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例2 如图电路，求电压如图电路，求电压U。解解 ： 选网孔为独立回路，如图所示。选网孔为独立回路，如图所示。 对于两个网孔公共支路上的对于两个网孔公共支路上的1A电流源，处理方法之一是电流源，处理方法之一是先假设该电流源两端的电压先假设该电流源两端的电压U，并把它看作电

25、压为，并把它看作电压为U的电压源的电压源即可。网孔方程为：即可。网孔方程为： 9i1 4i2 = 16 U 4i1 + 9i2 = U 5补一个方程：补一个方程： i1 i2 = 1 解得解得 i1 = 8/5 (A)， i2 = 3/5 (A) 。故故 U = 4(i2 - i1) + 5 i2+5 =4(V)。 电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行小结：小结： 如果流经电流源上的回路电流只有一如果流经电流源上的回路电流只有一个，则该回路电流就等于电流源电流，这样就个，则该回路电流就等于电流源电流，这样就不必再列该回路的方程。不必再列该回路的方程。 若多个回

26、路电流流经电流源，则在该若多个回路电流流经电流源，则在该电流源上假设一电压，并把它看成电压源即可。电流源上假设一电压，并把它看成电压源即可。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例1 如图电路，用回路法求电压如图电路，用回路法求电压UAB。abIS12A16V321A455Vi3i1i2(a)UIA解法一解法一 ： 选网孔为独立回路，如图所示。选网孔为独立回路，如图所示。本电路有本电路有3个网孔，理应列个网孔，理应列3个网孔方程，个网孔方程，但由于流过电流源但由于流过电流源IS1上的网孔电流只有上的网孔电流只有一个一个i1，故，故i1= IS1 =2A，这样可

27、以少列一，这样可以少列一个网孔方程。个网孔方程。（1）、电流源的处理方法）、电流源的处理方法6、网孔法中特殊情况的处理、网孔法中特殊情况的处理对于两个网孔公共支路上的对于两个网孔公共支路上的1A电流源，处理方法之一是先假设该电流源电流源，处理方法之一是先假设该电流源两端的电压两端的电压U，并把它看作电压为，并把它看作电压为U的电压源即可。由图得网孔方程为的电压源即可。由图得网孔方程为 9i2 2 IS1 4i3 = 16 U 4i2 + 9i3 = U 5补一个方程：补一个方程： i2 i3 = 1 解得解得 i2 = 2 (A)， i3 = 1 (A) 。故故 IA= IS1 - i2 =

28、0，UAB = 2 IA + 16 =16(V)。 电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行1、电流源的处理方法 选基本回路为独立回路，如图(b)所示，注意只有3个节点。三个回路电流分别是IS1、IA和IS2 。由于其中两个回路电流已知，故只需列一个回路方程即可。 由图得该回路方程为 10 IA 8 IS1 + 5 IS2 = 5 16 10 IA 82 + 51 = 5 16 解得 IA = 0 (A) 。故 UAB = 2 IA + 16 =16(V)。 abIS12A16V321A455V(b)IS2IA说明：解法一选网孔作为独立回路，常称为网孔法，它只适用

29、于平面电路；而解法二选基本回路作独立回路，常称为回路法，它更具有一般性和一定的灵活性，但列写方程不如网孔法直观。解法二解法二 ：电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行IRIS转换转换+_RISIR3、与电阻并联的电流源，可做电源等效变换、与电阻并联的电流源，可做电源等效变换U_+32iiiS 2、选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于、选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路一个回路, 该回路电流即该回路电流即 IsIs 。1 1、引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流、引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。的关系方程。从以上分析可以看出电

30、流源的处理方法大致有；从以上分析可以看出电流源的处理方法大致有；电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例2 如图电路，用网孔法求电压如图电路，用网孔法求电压u 。20ui10.1ui2i32496V12V4A解解 ： 本例中含受控源本例中含受控源(VCCS)，处理方法是：，处理方法是：先将受控源看成独立电源。这样，该电路就先将受控源看成独立电源。这样，该电路就有两个电流源，并且流经其上的回路电流均有两个电流源，并且流经其上的回路电流均只有一个；故该电流源所在回路电流已知，只有一个；故该电流源所在回路电流已知，就不必再列它们的回路方程了。如图中所标就不必再列它们

31、的回路方程了。如图中所标回路电流，可知：回路电流，可知： i1= 0.1u， i3 = 4 对网孔对网孔2列方程为列方程为 26i2 2 i1 20i3 = 12 上述一些方程中会出现受控源的控制变量上述一些方程中会出现受控源的控制变量u，用网孔电流表示该控制变量，有用网孔电流表示该控制变量，有 u = 20(i3 i2 )解得解得 i2 = 3.6 (A)，u = 8 (V) 。 小结：小结：对含有受控电源支对含有受控电源支路的电路，可先把受控源路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回列方程，再将控制量用回路电流表示。路电流表示。（2 2）受控

32、源的处理方法）受控源的处理方法电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 节点法是为了减少方程个数、简便手工计算过程的又节点法是为了减少方程个数、简便手工计算过程的又一类改进方法。一类改进方法。1 1、节点法定义：、节点法定义：以节点电压为未知变量列出并求解方程的以节点电压为未知变量列出并求解方程的方法称为方法称为节点法节点法。2 2、节点电压的概念、节点电压的概念 在电路中任意选择一个节点为参考节点，其余节点在电路中任意选择一个节点为参考节点，其余节点与参考节点之间的电压，称为与参考节点之间的电压，称为节点电压节点电压或或节点电位节点电位，方方向为从独立结点指向参

33、考结点。即向为从独立结点指向参考结点。即各节点电压的极性均各节点电压的极性均以参考节点为以参考节点为“-”-”极。极。 2.3 2.3 节点法节点法电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 选结点电压为未知量，则选结点电压为未知量，则KVLKVL自动满足，就自动满足，就无需列写无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为结方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。得到各支路电压、电流。l基本思想：基本思想：l列写的方程：列写的方程： 结点电压法列写的是结点上的结点电压

34、法列写的是结点上的KCL方程，方程，独立方程数为：独立方程数为：与支路电流法相比，与支路电流法相比，方程数减少方程数减少b-(n- -1)个。个。)(1 n节点法节点法是是以结点电压为未知量列写电路方程分析以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。电路的方法。适用于结点较少的电路。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 如图所示电路，选节点如图所示电路，选节点4 4作参考点作参考点，其余各节点的电压分别记为，其余各节点的电压分别记为u1、u2和和u3。支路电压可用节点电压表示为。支路电压可用节点电压表示为： u12 = u1- - u2

35、， u23 = u2- - u3， u13 = u1- - u3， u14 = u1， u24 = u2， u34 = u3， 对电路的任意回路，如回路对电路的任意回路，如回路A，有，有 u13 u23 u12 = u1- - u3 (u2- - u3) () (u1- - u2) ) 0 0所以，节点电压自动满足所以，节点电压自动满足KVLKVL方程。方程。 i4G1G2G4G61i2iS2i5AG3G5iS4iS6234i1i3i6节点电压的独立性节点电压的独立性和完备性和完备性。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行i4G1G2G4G61i2iS2i5G3

36、G5iS4iS6234i1i3i6 如图电路, 在节点1,2,3分别列出KCL方程：(设流出取正） i1 + i2 + iS2 + i4 iS4 = 0 i3 + i5 i2 iS2 = 0 i6 + iS6 i1 i3 = 0利用OL各电阻上的电流可以用节点电压表示为 i1 = G1(u1 u3)， i2 = G2(u1 u2)， i3 = G3(u2 u3), i4 = G4 u1， i5 = G5 u2， i6 = G6 u3代入KCL方程，合并整理后得节点( 1 ) (G1 +G2 + G4) u1 G2 u 2 G1 u 3 = iS4 iS2节点( 2 ) G2 u1 + (G2

37、+G3 + G5) u 2 G3 u 3 = iS2节点( 3 ) G1 u1 G3 u 2 + (G1 +G3 + G6) u 3 = - iS6G G1111G G2222G G3333G G1212G G1313G G2121G G2323G G3131G G3232(I(IS S) )1 1(I(IS S) )2 2(I(IS S) )3 33、节点法方程的列写规律电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行将上述方程整理成标准形式：将上述方程整理成标准形式：可推广到可推广到n n个节点的电路。个节点的电路。33333232131223232221211131

38、3212111SSSiuGuGuGiuGuGuGiuGuGuGG11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2+Gn-1,nun,n- -1=iSn,n- -1电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行 当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。其中其中Gii 自电导，自电导，等于接在等于接在结点结点i上所有支路的电导之和上所有支路的电导之和( (包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路) )。

39、总为正。总为正。 iSni 流入结点流入结点i i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和( (包括包括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源) )。Gij = Gji互电导，互电导，等于接在等于接在结点结点i与结点与结点j之间的所之间的所支路的电导之和，支路的电导之和，总为总为负。负。电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行4、节点法步骤归纳如下：(1) (1) 选定参考结点，标定选定参考结点，标定n-1 1个独立结点；个独立结点；(2) (2) 对对n-1-1个独立结点，以结点电压为未知量，个独立结点，以结点电压为未知量，

40、列写其列写其KCL方程；方程；(3) (3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1-1个结点电压；个结点电压；(5) (5) 其它分析。其它分析。(4) (4) 求各支路电流求各支路电流( (用用结点电压结点电压表示表示) )；电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例1 1、如图所示电路，设节点电位，试列电路的节点方程。如图所示电路，设节点电位，试列电路的节点方程。 解解:首先通过电源等效互换将电路等效。将电压源与电阻首先通过电源等效互换将电路等效。将电压源与电阻串联等效为电流源与电阻并联，进一步对电阻串并联等效。串联等效为电流源与电阻并联，进一步对电阻

41、串并联等效。 A2电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行对节点对节点1，2列节点方程，有：列节点方程，有：124413131451311312121uuuuA2联立求解，可解出节点电压。联立求解，可解出节点电压。VuVu49312电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例2 求如图所示电路中负载电阻上吸收的功率。求如图所示电路中负载电阻上吸收的功率。5 5 电压源的处理方法电压源的处理方法,321uuu解一：设各节点电压为：解一：设各节点电压为：5 . 0201315 . 115 . 116323211uuuuuu,3u2u1u)

42、( 1)( 1233mWRuPVuL注意：注意：1.电压源直接接在节点与电压源直接接在节点与 参考点之间，参考点之间，u1为已知；为已知；2. 单位：电阻为单位：电阻为 ，电流为，电流为 mA,电压为电压为V,整体要统一。整体要统一。K电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例2 列出图示电路的节点电压方程。列出图示电路的节点电压方程。小结：小结：对有伴电压源将它等对有伴电压源将它等效电流源与电阻并联的形式；效电流源与电阻并联的形式；对于无伴电压源，若其有一对于无伴电压源，若其有一端接参考点，则另一端的节点端接参考点，则另一端的节点电压已知，对此节点就不用列电压

43、已知，对此节点就不用列节点方程了；否则在电压源上节点方程了；否则在电压源上假设一电流，并把它看成电流假设一电流，并把它看成电流源。源。G1G21uS1G3iS234uS2uS3G3G3uS3I解解 ： 设节点电压分别为设节点电压分别为u1、 u2、 u3。图中有三个电压源，其中电压源图中有三个电压源，其中电压源u uS3S3有一有一电阻与其串联，称为电阻与其串联，称为有伴电压源有伴电压源，可将，可将它转换为电流源与电阻并联的形式，如它转换为电流源与电阻并联的形式，如图。图。 另两个电压源另两个电压源uS1和和uS2称为无伴电压称为无伴电压源。源。u uS1S1有一端接在参考点，故节点有一端接在

44、参考点，故节点2 2的的电压电压u2= uS1已知，因此，就不用对节点已知，因此，就不用对节点2 2列方程了。列方程了。 对电压源对电压源uS2的处理办法是：先假设的处理办法是：先假设uS2上的电流为上的电流为I，并把它看成是，并把它看成是电流为电流为I的电流源的电流源即可。列节点即可。列节点1和和3的方程为的方程为 G1u1 G1u2 = iS I (G2 + G3) u3 G2u2 = I + G3 u3对对uS2补一方程：补一方程： u1 u3 = uS2 电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行例例2 如图如图(a)电路，用节点法求电流电路，用节点法求电流

45、i1和和i2。小结：小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，对每个受控源再对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，对每个受控源再补一个方程将其控制量用节点电压表示。补一个方程将其控制量用节点电压表示。12i1i19V1A12abi2(a) 设独立节点电压为设独立节点电压为ua和和ub,则可列出节点方程则可列出节点方程组为组为 (1+1) ua ub= 9 + 1 + 2 i1 (1+ 0.5) ub ua= 2 i1再将控制量用节点电压表示再将控制量用节点电压表示,即即 i1 = 9 ua/1解得解得: ua = 8V, ub = 4V, i1 = 1A i2 = ub /2 = 2(A)12i1i19A(b)1A12abi2解解 ： 本例中含受控源本例中含受控源(CCCS)(CCCS)，处理方法是：先，处理方法是：先将受控源看成独立电源。将有伴电压源转换为电将受控源看成独立电源。将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式流源与电阻的并联形式, ,如图如图(b)(b)所示。所示。6 6、受控源的处理方法、受控源的处理方法电气工程系电工电子教研室电气工程系电工电子教研室明德 励志 博学 笃行练习：列如图电路的节点方程（电阻的单位均为欧姆）练习：列如图电路的节点方程（电阻的单位均为欧姆）问题：参考点如何设？问题：参考点如何设？电气工程系电工电子教研室电气工程系电工