算法设计与分析课后习题

1、第一章1. 算法分析题算法分析题11 求下列函数的渐进表达式(1). 3n2 + 10n < 3n2 + 10n2 = 13n2 = O(n2)(2). n2 / 10 + 2n当n>5是，n2 < 2 n所以，当n >= 1时，n2/10 < 2 n故: n2/10 + 2n < 2 n + 2n = 2*2n = O(2n)(3). 21 + 1/n < 21 + 1 = 22 = O(1)(4). log(n3)=3log(n)=O(log(n)(5). 10log(3n) = (10log3)n = O(n)算法分析题1-6(1) 因为：f(n

2、)=log(n2) = 2log(n); g(n) = log(n) + 5所以：f(n)=(log(n)+5) =(g(n)(2) 因为：log(n) < n ; f(n) = 2log(n); g(n)= n 所以：f(n) = O(g(n)(3) 因为：log(n) < n; f(n) = n; g(n) = log(n2) = 2log(n)所以；f(n) = (g(n)(4) 因为：f(n) = nlogn +n; g(n) = logn所以：f(n) =(g(n)(5) 因为: f(n) = 10; g(n) = log(10)所以:f(n) =(g(n)(6) 因为:

3、 f(n)=log2(n); g(n) = log(n)所以: f(n) =(g(n)(7) 因为: f(n) = 2n < 100*2n; g(n)=100n2; 2n > n 2所以: f(n) = (g(n)(8) 因为：f(n) = 2n; g(n) = 3 n; 2 n < 3 n所以: f(n) = O(g(n)习题19 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为(f(n),该算法在最坏情况下所需的计算时间为(f(n).分析与解答：因此，Tmax(N) = (Tavg(N) = (f(n)=(f(n).第二章算法分析题2-3 设a0:n-1是已经排好序的数组

4、。请改写二分搜索算法，似的当搜索元素x在数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x的位置。分许与解答：改写二分搜索算法如下：typedef int TYPE_t;/* * Function name: BinarySearch * Parameters: * iIndex 代表i的位置，即最大元素位置; * jIndex代表j的位置，即最小元素位置; * aArr: 代表数组a,且有序 * xVar:代表元素x; * aLen: 代表数组元素个数; * Return value: * 0: 执行成功，最大元素位置和最小元素位置不等 *

5、 1: 执行成功，最大元素位置和最小元素位置相等 */static int BinarySearch(TYPE_t aArr, int nLen, TYPE_t xVar, int *iIndex, int *jIndex) int left = 0; int right = nLen - 1; int middle = (left + right) / 2; while (left <= right) if (xVar = aArrmiddle) *iIndex = *jIndex = middle; return 1; if (xVar > aArrmiddle) left =

6、 middle + 1; else right = middle - 1; middle = (left + right) / 2; *iIndex = right; *jIndex = left; return 0;算法分析题2 6 对任何非零偶数n，总可以找到奇数m和正整数k，使得n = m * 2k.为了求出2个n阶矩阵的乘积，可以把一个n阶矩阵划分成m×m个子矩阵，每个子矩阵2k×2k个元素。当需要求2k×2k的子矩阵的积时，使用Strassen算法。设计一个传统方法与Strasssen算法相结合的矩阵相乘算法，对于任何偶数n，都可以求出2个n阶矩阵的乘积

7、。并分析算法的计算时间复杂度。分析与解答：将n阶矩阵分块为m×m的矩阵。用传统方法求2个m阶矩阵的乘积需要计算O(m3)次2个2k×2k矩阵的乘积。用Strassen矩阵乘法计算2个2k×2k的矩阵的乘积需要的计算时间为O(7k), 因此算法的计算时间为O(7k*m3).算法分析题2 - 9 设T0, n-1是n个元素的数组。对任一元素x，设S(x) = i | Ti = x . 当|S(x) | > n/2时，称x为T的主元素。设计一个线性时间算法，确定T0:n-1是否有一个主元素。 分析与解答：如果T有一个主元素x，则x是T的中位数。反之，如果T的中位数

8、不是T的主元素，则T没有主元素。下面算法设计为在一个线性时间中找中位数：typedef int T;#define YES_MIDDLE_ELEMENT 1#define NO_MIDDLE_ELEMENT 0/* * Function name: * IsExistMiddleElement * Parameters: * aArr: 表示数组T0:n-1 * n: 表示数组长度 * x: 表示要判断的数x，是否主元素 * *keyIndex: 表示主元素在数组中的下标 * * Return: * YES_MIDDLE_ELEMENT: 表示找到 * NO_MIDDLE_ELEMENT: 表

9、示没有找到 */static int IsExistMiddleElement(T aArr, int n, T x, int *keyIndex) int middleKey = n / 2; int i = 0; for (i = 0; i < n; i+) if (aArri = x) && (i + 1) > middleKey) *keyIndex = i; return YES_MIDDLE_ELEMENT; *keyIndex = -1; return NO_MIDDLE_ELEMENT;算法分析题2-14 对所给元素存储于数组中和存储于链表中2中情形

10、，写出自然合并排序算法。分析与解答：自然合并排序是合并排序算法的一种改进。自然合并排序，对于初始给定的数组，通常存在多个长度大于1的已自然排好序的子数组段。例如，若数组a中元素为4,8,7,1,5,6,2,则自然排好序的子数组段有4,8, 3, 7, 1,5,6, 2.用一次对数组a的线性扫描就足以找出所有这些排好序的子数组段。然后将相邻的排好序的子数组段两两合并，构成更大的排好序的子数组段3,4,7,8, 1, 2,5,6.继续合并相邻排好序的子数组段，直至整个数组已经排好序。算法设计及代码实现：(1). 数组实现法：#define DEBUG 1typedef int type_t;sta

11、tic void DatasetMerge(type_t *arr, int left, int between, int right) int i, k; int begin1, end1, begin2, end2; type_t *tmpArr; begin1 = left; /*第一个排好序的初始位置*/ end1 = between; /*第一个排好序的结束位置*/ begin2 = between + 1; /*第二个排好序的初始位置*/ end2 = right; /*第二个排好序的结束位置*/ tmpArr = malloc(sizeof(type_t) * (right -

12、left + 1); if (!tmpArr) return; k = 0; /* * 比较两个指针指向的元素，选择相对小的元素放入合并空间 * 并移动指针到下一个位置 */ while (begin1 <= end1) && (begin2 <= end2) if (arrbegin1 < arrbegin2) tmpArrk = arrbegin1; begin1+; else tmpArrk = arrbegin2; begin2+; k+; /* ×如果第一个序列有剩余，直接拷贝到合并数组的序列中 */ while (begin1 <=

13、 end1) tmpArrk+ = arrbegin1+; /* *如果第二个序列有剩余，直接拷贝到合并数组的序列中 */ while(begin2 <= end2) tmpArrk+ = arrbegin2+; /* *拷贝临时数组序列到原数组中 */ for (i = 0; i <= (right - left); i+) arrleft + i = tmpArri; free(tmpArr); void DatasetNatureMerge(type_t arr, int n) int *tmpArr; int i, k = 0; int s = 1; int group;

14、/*记录分割组的数目*/ int count = 0; int left, between, right; int arrLen = n; /* *tmpArr 用来存储数组元素下标分割点 */ tmpArr = (int*)malloc(n * sizeof(int); if (!tmpArr) return; memset(tmpArr, -1, (n * sizeof(int); /* * 存储首分割点 */ tmpArrk+ = 0; for (i = 0; i < arrLen - 1; i+) if (arri > arri+1) tmpArrk = i; k+; /*

15、 * 存储尾分割点 */ tmpArrk = n - 1; /* * k 和 group 分别记录分割数组长度 */ group = k;#if DEBUG printf("n数组分割点为:n"); printf("t"); for (i = 0; i <= group; i+) if (i = 10) printf("nt"); printf("%d ", tmpArri); printf("n");#endif s = 1; for (group; group != 1; group

16、= (group % 2 = 0) ? (group / 2) : (group / 2 + 1) /* *合并次数，例如：5组合并需要两次，4组合并也需要两次 */ count = group / 2; /* *进行第一次合并 */ left = 0; between = s; right = 2 * s; if (right > k) right = k; DatasetMerge(arr, tmpArrleft, tmpArrbetween, tmpArrright); /* * 进行生下来的合并 */ for (i = 1; i < count; i+) left = ri

17、ght; between = left + s; right = between + s; if (right > k) right = k; DatasetMerge(arr, tmpArrleft + 1, tmpArrbetween, tmpArrright); s += s; free(tmpArr);(2). 链表实现法：#if LINKtypedef struct node *link_t;struct node int item; link_t next;link_t LinkMerge(link_t a, link_t b) link_t c, head; c = hea

18、d = malloc(sizeof(struct node); while (a != NULL) && (b != NULL) if (a->item < b->item) c->next = a; c = a; a = a->next; else c->next = b; c = b; b = b->next; c->next = (a = NULL) ? b : a; return head->next;link_t LinkNuturalMergesort(link_t t) link_t a, b; link_t u, v; QUEUE<link_t> Q; if (t = NULL | t->next = NULL) return t; for