样本及抽样分布习题

1、第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布习习 题题 课课二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点(1) 正态总体某些常用统计量的分布正态总体某些常用统计量的分布.2.难点难点(1) 几个常用统计量的构造几个常用统计量的构造.(2) 临界值的查表计算临界值的查表计算.(2) 标准正态分布和标准正态分布和F分布临界值的查表计算分布临界值的查表计算.总总 体体个个 体体样本样本常用统计量的分布常用统计量的分布分位点分位点概率密度函数概率密度函数二、主要内容二、主要内容统计量统计量常用统计量常用统计量性质性质关于样本和方差的

2、定理关于样本和方差的定理 t 分布分布 F 分布分布 分布分布2 关于样本和方差的定理关于样本和方差的定理总体总体试验的全部可能的观察值称为总体试验的全部可能的观察值称为总体. .个体个体总体中的每个可能观察值称为个体总体中的每个可能观察值称为个体. .样本样本.,)(,2121简简称称样样本本随随机机样样本本的的简简单单得得到到的的容容量量为为、或或总总体体或或总总体体为为从从分分布布函函数数则则称称随随机机变变量量、相相互互独独立立的的是是具具有有同同一一分分布布函函数数若若的的随随机机变变量量是是具具有有分分布布函函数数设设nXFFXXXFXXXFXnn统计量统计量.),( ,),(,2

3、1212121计计量量是是一一个个统统则则称称不不含含未未知知参参数数中中若若的的函函数数是是的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX常用统计量常用统计量(1)样本平均值样本平均值:.11 niiXnX(2)样本方差样本方差: niiXXnS122)(11.11122 niiXnXn(3)样本标准差样本标准差: .11122 niiXXnSS常用统计量常用统计量(4)样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩:., 2, 1,11 kXnAnikik(5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩:., 3, 2,)(11 kXXnBnikik常用统计量的分布常用统计量

4、的分布( (一一) )分布分布2 ).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 记记为为分分布布的的由由度度为为服服从从自自则则称称统统计计量量本本的的样样是是来来自自总总体体设设 分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并并且且设设)(2分布的可加性分布的可加性 性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 常用统计量的分布常用统计量的分布( (二二) )分分布布t).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分

5、布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称学生氏分布又称学生氏(Student)分布分布.常用统计量的分布常用统计量的分布( (三三) )分布分布F).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 常用统计量的概率密度函数常用统计量的概率密度函数分分布布的的概概率率密密度度为为)(2n .0, 0,e221)(2122其他其他yynyfynn .,1221)(212 tntnnnthn 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为

6、)(nt常用统计量的概率密度函数常用统计量的概率密度函数分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他yynnnnynnnnynnnn 常用统计量的概率密度函数常用统计量的概率密度函数常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn .)()(d)()(, 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的

7、 ntnttthnttPnt 分布的分位点分布的分位点 t常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点分布的分位点分布的分位点F.),(),(d)(),(, 10,2121),(2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFyynnFFPnnF :分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体的样本和方差的定理定理一定理一)./,(, ,),(,2221nNXXNXXXn 则则有有是是样样本本均均

8、值值的的样样本本是是来来自自正正态态总总体体设设定理二定理二.(2);1()1(1),),(,22222221独立独立与与则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是总体是总体设设SXnSnSXNXXXn ).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设定理三定理三关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体的样本和方差的定理则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本总体

9、总体具有相同方差的两正态具有相同方差的两正态分别是分别是与与设设,)(11,)(11,1,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理四定理四, (2);1, 1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中 三、典型例题三、典型例题. , )()( , ),( , )1 , 0( 226542321621分布分布服从服从使得使得试决定常数试决定常

10、数的简单随机样本的简单随机样本体体为来自总为来自总服从服从设设 CYCXXXXXXYXXXXNX 例例1解解根据正态分布的性质根据正态分布的性质,),3 , 0(321NXXX ),3 , 0(654NXXX ),1 , 0(3 321NXXX 则则),1 , 0(3654NXXX ),1(3 22321 XXX故故),1(3 22654 XXX , , 2621分布的可加性分布的可加性相互独立及相互独立及因为因为 XXX2654232133 XXXXXX)()(3126542321XXXXXX ),2(2 . ,312分布分布服从服从所以所以 CYC 0.01. , ,),( ),( ),(

11、 2222111211221的的概概率率大大约约为为过过差差超超使使得得这这两两个个样样本本均均值值之之试试确确定定的的样样本本均均值值和和的的两两样样本本为为的的容容量量是是来来自自正正态态总总体体和和设设 nXXXXXXnNXXnn解解,21 nNX ,22 nNX ,2, 0 221 nNXX 则则 21 XXP 2/221nnXXP 例例2 2/2121nnXXP 221nn 222n ,01. 0 ,995. 02 n 有有查标准正态分布表知查标准正态分布表知,58. 22 n .14 n于是于是.2)(12)2(;2)(12)1( , ),( 16 ),( 2122212216212 niiniiXXnPXnPXXXnNX求概率求概率的样本的样本量为量为从此总体中取一个容从此总体中取一个容设总体设总体解解 , , (1)1621是是来来自自正正态态总总体体的的样样本本因因为为XXX),()(1 2122nXnii 所所以以例例3 21222)(12 niiXnP于是