复变函数与积分变换习题答案

1、一、 将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。(1)解：(2) -1解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：二、计算下列数值(1) 解：(2) 解：(3) 解：(4) 解：(5) 解：由于：，而：所以： (6) 解：由于：，所以： (7) 解：(8) 解： 1.2 复变函数1、试证明函数f(z)=Arg(z) (-p<Arg(z) p)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1) 在负实轴上，任取一点，则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有： 显然函数在负实轴上不连续。 (2) 在零点，沿方向趋近于零点则： 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。2、复平面上，

2、圆周可以写成，这里A，C为实数，b为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为： 则在复平面上：，所以圆方程变形为： 若令： 则：2.1 解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1) (2) 证明： (1) 在处，有： 若沿方向趋近于z点，则： 显然，函数不可微。 (2) 在处，有： 若沿方向趋近于0点，则： 显然，函数不可微。2、设： 试证明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足C-R条件，但不可微。证明： 首先： 显然：，在原点f(z)满足C-R条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为： 若沿方向趋近于0点，则： 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R条件，但

3、不可微。C-R条件只是函数可微的必要条件。1.2 复变函数1、试证明函数f(z)=Arg(z) (-p<Arg(z) p)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1) 在负实轴上，任取一点，则分别由水平方向和垂直方向趋近z点有： 显然函数在负实轴上不连续。 (2) 在零点，沿方向趋近于零点则： 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。2、复平面上，圆周可以写成，这里A，C为实数，b为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为： 则在复平面上：，所以圆方程变形为： 若令： 则：2.1 解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1) (2) 证明： (1) 在处，有： 若沿方向趋近于z点

4、，则： 显然，函数不可微。 (2) 在处，有： 若沿方向趋近于0点，则： 显然，函数不可微。2、设： 试证明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足C-R条件，但不可微。证明： 首先： 显然：，在原点f(z)满足C-R条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为： 若沿方向趋近于0点，则： 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R条件，但不可微。C-R条件只是函数可微的必要条件。2.2 解析函数和调和函数1、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数：解：(1) 则：.I II 由I得： 带入(II)得： 所以： (2) 则：.I II 由I得： 带入(II)得： 所以：

5、 (3) 显然： 并非调和函数，所以，此题无解。 (4) 则：.I II 由I得： 带入(II)得： 所以：2、试证明三个单值分支在割破的z平面上任意区域上都是解析的，并求其导数。证明：，令： 则：，这里： 所以： 则： 所以： 2.1-2 Cauchy 积分1、计算积分，积分路径(1)直线段；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。解：(1) 若沿直线从-i积分到i，则： (2) 若沿右半圆从-i积分到i，则： (3) 若沿左半圆从-i积分到i，则： 2、当C为单位圆周时，不用计算，试证明： 证明：(1) 因为两个非解析点都不在积分圆周内，根据Cauchy积分定理： (1) 因为两个非解析点

6、都不在积分圆周内，根据Cauchy积分定理：2.3-4 Cauchy 积分定理1、已知函数，将x作为参数，把t认为是复变数，试应用Cauchy公式表为回路积分，对回路积分进行变量代换，并借以证明： 解：(1) 首先，令：，则： 根据解析函数的无限可微性有： 所以： (2) 做变量替换：，则对于积分公式来说：，所以： 4.2 利用留数定理计算实积分1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(5)； (6) 解：(5) 令：，则： 显然，存在两个一阶极点：，只有： 处于单位圆内，所以： 则： (6) 令：，则： 显然，存在三个一阶极点：，只有： 处于单位圆内，所以： 所以：2、计算下列实函数积分 (5)

7、 解：(5) 根据定理有： 而函数存在四个一阶极点：，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有：，所以： 所以：3计算下列实函数积分(3) 解：根据定理： 显然，存在两个一阶极点：，只有： 上半平面内，所以： 所以：3.2 幂级数3、求下列幂级数的收敛圆(1)， (2) 解：(1) 所以，其收敛圆为以i为圆心的单位圆。(2) 由于： 所以，其收敛圆为以2为圆心的单位圆。3.3 幂级数展开在指定的点的邻域上把下列函数展开为Taylor级数(8) 和在解： 4.1 留数定理1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(1)； (2) ，(3) ，(4) 解：(1) 显然为其一阶极点，则： (2) 显然为其一阶极点，为其二阶极点，则：(3) 显然为其一阶极点，则：(4) 显然为其一阶极点，则：2、计算回路积分， (1) ，l为 (3) 解：(1) 首先l的围线方程为： 而被积函数存在三个孤立奇点，在围线内有两个孤立奇点： 所以：(2) 可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点，且为本性奇点，对被积函数做Laurant展开： 可以看出：，显然：4.2 利用留数定理计算实积分1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(5)； (6) 解：(5) 令：，则： 显然，存在两个一阶极点：，只有： 处于单位圆内，所以： 则： (6) 令：，则： 显然，存在三个一阶极点：，只有： 处于单位圆内，所以