有效数字修约与运算法则

1、 有效数字修约与运算法则 1.有效数字的基本概念： （1）有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值,其最后一位数字欠准是允许的,这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值,即为有效数字。 （2）有效数字的定位(数位),是指确定欠准数字的位置,这个位置确定后,其后面的数字均为无效数字。 例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为0.1ml,如果滴定管的体积介符于20.9ml到21.0ml之间,则需估计一位数字,读出20.97ml,这个7就是个欠准的数字,这个位置确定后,它有效位数就是4个,即使其后面还有数字也只是无效数字。 （3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数

2、字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。 例如：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或3.50×104;若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或3.5×104。 （4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数,例如：3.2、 0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为三位有效位数;10.00为四位有效位数;12.490为五位有效位数。 （5）非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。例如，H2SO4中

3、的2和4是个数。常数和系数 等。数值的有效位数可视为无限多位。每1ml××滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度,规格项下的0.3g或“1ml:25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无限多位。即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。 （6）pH值等对数值,其有效位数是由其小数点后的位数决定的,其整数部分只表明其真数的乘方次数。 如：pH=11.26 (H+=5.5×10-12mol/L),其有效数字只有两位。 （7）有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位，例如:85%与115%，都可以看成是三位

4、有效数字；99.0%与101.0%都可以看成是四位有效数字。 2.数字的修约及其取舍规则 （1）数字修约是指拟修约数值中超出需要保留位数时的舍弃，根据舍弃数来保留最后一位数或最后几位数。 （2）修约间隔是确定修约保留位数的一种方式,修约间隔的数值一经确定,修约值即应为该数值的整倍数。例如:指定修约间隔为0.1,修约值即应在0.1的整数倍中选取,也就是说,将数值修约到小数点后一位。 （3）确定修约位数的表达方式: 指定数位： 指定修约间隔为10-n(n为正整数)，或指明将数值修约到小数点后n位。 指定修约间隔为1,或指明将数值约到个数位。 指定将数值修约成n位有效位数(n为正整数)。 指定修约间

5、隔为10n(n为正整数)，或指明将数值修约到10n数位，或指明修约到“十” 、“百”、“千”数位。 指定将数值修约成n位有效位数（n为正整数）。 在相对标准偏差(RSD)的求算中,其有效数位应为其1/3值的首位(非零数字),故通常为百分位或千分位。 进舍原则 拟舍去数字的最左一位数字少于5时,则舍去，即保留的各位数字不变。例如,例1，将12.1496,修约到一位小数(十分位),得12.1。 例2，将12.1496,修约到两位有效位数,得12。 拟舍去数字的最左一位数字大于5时,或者是5，而后跟有并非全部为0的数字，则进一，即在保留的末位数字加1。 例1，将1268,修约到百数位,得13

6、5;102。 例2，将1268,修约到十数位(即三位有效数字) , 得127×10。 例3, 将10.502修约到个数位,得11。 拟舍去数字的最左一位数字为5,而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数为奇数(1,3,5,7,9)则进一。为偶数(2,4,6,8,0)则舍弃。(留双的原则) 例1,将1.050按间隔为0.1(10-1)修约,修约值为:1.0。 例2,将0.350按间隔为0.1(10-1)修约,修约值为:0.4 例3,将2500按间隔为1000(103)修约,修约值为:2×103。 例4,将3500按间隔为1000(103)修约,修约值为:4×103

7、。 例5,将0.0325修约成两位有效位数,修约值为:0.032或3.2×10-2。 例6,将32500修约成两位有效位数,其修约值为:32×103。 在相对偏差(RSD)中,采用“只进不舍”的原则, 如，0.163%,如为两个有效位时,宜修约为0.17%; 0.52%,如为一个有效位时,宜修约为0.6%。 不许连续修约。 拟修约的数字应在确定修约位数后一次修约获得结果,而不得多次按前面规则连续修约。 例,15.4546,修约间隔1, 正确的做法为: 15.454615。 不正确的做法为：15.454615.45515.4615.516。 为了便于记忆，上述规则可归纳成以下

8、口缺：四舍六入五考虑，五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成。 （在英、美日药典中修约均是按四舍五入进舍的。） 运算法则 在进行数学运算时,对加减法和乘除法中有效数字的处理是不同的; 许多数值相加减时,所得和或差的绝对误差必较任何一个数值的绝对误差大,因此相加减时应以诸数值中绝对误差最大,(即欠准数字的数位最大)的数值为准,以确定其他数在运算中保留的数位和决定计算结果的有效数位。 许多数值相乘除时,所得的积或商的相对误差必较任何一个数值的相对误差大,因此相乘除时应以诸数值中相对误差最大,(即有效位数最少)的数值为准,确定其它数值在运算中保留的有效位数和决

9、定计算结果的有效数位。 在运算过程中，为减少舍入误差，其他数值的修约可以暂时多保留一位，等运算到结果时，再根据有效位数弃去多余的数字。 例1: 13.65+0.00823+1.633=? 本例是数值相加减，在三个数值中，13.65的绝对误差最大，其最末一位数为百分位(即小数后二位)，因此将其它各数暂先保留至千分位。即把0.00823修约为0.008，1.633不变。 进行运算： 13.65+0.00823+1.63313.65+0.008+1.633=15.291然后修约至百分位,即为:15.29。 例2: 14.131×0.07654÷0.78=? 本例是数值相乘除，在三

10、个数值中，0.78的有效位数最少，仅为二位有效位数，因此各数值均应暂时保留三位有效位数进行运算: 14.131×0.07654÷0.78 =14.1×0.0765÷0.78=1.08÷0.78 =1.38 再将结果修约为两位有效位数,即1.4 例3:计算氧氟沙星(C18H20FN3O4)的分子量: 原子数的有效位数可视为无限多位,因此可根据各原子量的有效位数对乘积进行定位.而在各乘积的相加中，则按中国药典对分子量的数值保留到小数点后两位(百分位)的规定,因此应先将各元素的乘积修约到千分位（小数点后三位）后进行相加，再将结果修约到百分位。 12.

11、051×18+1.00794×20+18.9984032+14.006747×3+15.9994×4 =216.20+20.1588+18.9984032+42.020241+63.9976 =216.20+20.159+18.998+42.020+63.998 =361.375=361.38 注意事项: 正确记录检测所得的数值 应根据取样量、量具的精度、检测方法的允许误差和标准中的限度规定, 确定数字的有效位数(或数位),检测值必须与测量的准确度相符合,记录全部准确数字和一位欠准数字。 正确掌握和运用规则进行计算时,应执行进舍规则和运算规则,如用计算器

12、进行计算,也应将计算结果经修约后再记录下来。 要根据取样的要求,选择相应的量具。 “精密称定”系指称取重量应准确到所取重量的0.1%,根据不同的取样量而选用不同精度的天平。如需分别精密称取5g、500mg、10mg、样品，按0.1%的精度要求,这三个样品应分别精确到5mg、0.5mg和0.01mg,因此应分别选用万分之一（感量为0.1mg）、十万分之一(感量为0.01mg)和百万分之一(感量为0.001mg)的天平进行称量。 在实际操作中,当取样量0.1g时,则按精确至0.1mg称量,即应选用感量为0.1mg的天平称量 ；当取样量为100mg10mg时，则按精确至0.01mg称量，即应选用感量

13、为0.01mg的天平称量 ；当取样量为10mg以下时，则按精确至0.001mg称量，即应选用感量为0.01mg的天平称量 ； 但在称量基准物质时,要求0.5g时,按精确至0.1mg 称量;0.5g时,按精确至0.01mg称量。（要求更高） “精密量取”应选用符合国家标准的移液管，必要时应加校正值。 “称定”（或“量取”）系指称取的重量（或量取的容量）应准确至所取重量（或容量）的百分之一。（千分之一天平） 取用量为“约××”时，系指取用量不得超过规定量的100±10%。如取约0.5g时，可称取0.45g0.55g。 取用量的精度未作特殊规定时,应根据其数值的有效位数

14、选用与之相应的量具;如规定量取5ml、5.0ml、5.00ml时，则应分别选用510ml的量筒、510ml的刻度吸管或5ml的移液管进行量取。 在判定药品质量是否符合规定之前，应将全部数据根据有效数字和数值修约规则进行运算，并根据中国药典2005年版二部“凡例”第十四条及国家标准GB 1250-89极限数值的表示方法和判定方法中规定的“修约值比较法”将计算结果修约到标准中所规定的有效位，而后进行判定。 （4）可疑数据的舍弃 在测定结果中有时会有偏离平均值许多的测定值,被称为可疑数据,由于可疑数据的存在,会使结果发生不应有的偏移,故对可疑数据应予以舍弃。舍弃的方法常见有三种： 四倍法：又称为4

15、法或Chauvenet法, 其处理方法为： 除可疑数据外，求出其余数据的平均值 和平均偏差 ； 如果可疑结果与 之差的绝对值大 时,则将此数据弃去,否则保留此数据。序号12456789103测定值 i0.7850.7880.7780.7840.7800.7870.7820.7800.7850.875平均值 x0.783偏差 d+0.002+0.005-0.005+0.001-0.003-0.006-0.001-0.003+0.002平均偏差 d0.0034 =4×0.003=0.012 =0.875-0.783=0.0924 =0.012故数据0.875应该项舍弃。 Q 检验：在31

16、0次的测定中，仅出现一个可疑数据时，Q检验法是一种较为合理的方法。其处理方法为： 将各测量值由小到大,依次排列,可疑数据将在序列的开头或末尾出现。 算出可疑数据与其邻近值之差，若首项为可疑数据，则差为X2-X1；若末项为可疑，则差为Xn-Xn-1。 算出序列中最大值与最小值之差(极差),即：Xn-X1。 用可疑数据与其邻近值之差除以极差,所得的商被称为舍弃商Q值，若首项为可疑数据,则舍弃商Q为: 若末项为可疑数据,则舍弃商Q为: 查Q90%(表1-2-3),若计算所得的Q值大于表中相应的Q90%临界值,则该可疑数据要被舍去，否则应被保留。 测定次数(n）345678910 Q90%0.940.

17、760.640.560.510.470.44o.41例：标定某一标准溶液时得到以5个结果：0.1014、0.1012、0.1019、0.1026和0.1016按由小到大排列，得：0.1012、0.1014、0.1016、0.1019、0.1026可疑数据在序列的末尾。 表1-2-3 Q90%临界值 查Q90%临界值表，当测定次数n为5时，Q90%为0.64 因Q < Q90% ,所以数据0.1026不应被舍去。 格鲁布斯T检验 适用范围较Q检验法广,效果也更好,其处理办法为： 将各测量值由小到大,依次排列,可疑数据将在序列的开头或末尾出现。 计算舍弃商T值：算出可疑数据与均值之差，除以标

18、准差S,所得的商被称为舍弃商T值。 若首位为可疑数据，则T值为： 若末位为可疑数据，则T值为： 查舍弃T90%值表（表1-2-4）,若计算所得的T值大于表中相应的舍弃商T90%值，则该可疑数据应被舍去，否则应被保留。 （表1-2-4）舍弃商T90%值表测定次数n舍弃商T90%值测定次数n舍弃商T90%值测定次数n舍弃商T90%值测定次数n舍弃商T90%值 3 1.15 8 2.13 13 2.46 18 2.65 4 1.48 9 2.21 14 2.50 19 2.68 5 1.71 10 2.23 15 2.55 20 2.71 6 1.89 11 2.36 16 2.59 21 2.73 7 2.02 12 2.41 17 2.62 22 2.76 当进行大量的平行实验（大于50次）时，个别一两个与平均值相差大的可比数据可通过统计学