线面积分自测题答案

1、班级 学号 线面积分自测题一、填空题: (每小题 3 分,共 15 分)x2s ，则 ÑòL (xy + x + 4 y )ds = 1. L 是曲线+ y = 1 ，其2224解：由对称性， ÑòL (xy + x + 4 y )ds = Ñò (x + 4 y )ds = Ñò 4ds = 4Ñò 1ds = 4s ，故2222LLL4s xyz42. 设S 是平面 += 1位于第一卦限内部分，则 I = òò(2x +y + z)dS =2343å41116解

2、：I = òò(2x + 3 y + z)dS = 3 òò(6x + 4 y + 3z)dS = 3 òò12dS =4òò 1+ 4 + 9 ds =4 61 ，故4 61 åååDxy3. L 是从O(0,0) 沿曲线 y = sin(x p ) 到点 A(1,0) ，则 ( y + 2xey )dx + (x2ey - ey2 + x)dy = ò2L2¶(x2ey - ey + x)¶x¶( y + 2xey )¶y= 2xe

3、y +1 =，所以曲线积分与路径无关，故取路径 y = 0, 0 £ x £ 1，解：因为11= x2 = 1，故òò2则 ( y + 2xey )dx + (x2ey - ey + x)dy1L00（x + ay)dx + ydy为某函数的全微分，则 a =4. 若(x + y)2¶y¶ x+ay -2y(x+ y) = a(x+ y)2 -2(x+ay)(x+ y)（x +ay)dx + ydy(x+ y)2(x+ y)2=解：若为某函数的全微分，则，即，(x + y)2¶x¶y(x+ y)4(x+ y)4从而

4、 a = 2 ，故2 5. 设r =x2 + y2 + z2 ，则div(gradr) |=.(1,-2,2)¶( x )¶( y )¶( z )¶rx ¶ry ¶rz，从而div(gradr) = r + r + r 解：因为=,=,=，所以grad¶xr ¶yr ¶zr¶x¶y¶zy2 + z2 + x2 + z2 + y2 + x2 = 2= 2=，因此div(gradr) |.r(1,-2,2)3r3r3r3二、选择题：(每小题 3 分,共 15 分)ò1设

5、曲线 L: y = x ,| x |2£1，则在 f (x, y)ds 中,被积函数 f (x, y) 取时,该积分可理解成 L 的质量.L(A) x + y ；(B) x + y - 2 ；(C) x + y + 2 ；(D) x - 2 .解：当 f (x, y) 是定义在曲线 L: y = x2,| x |£1上的密度函数时，该积分为质量.故当 y = x2,| x |£1时1湖南大学数学与计量学院编班级 学号 f (x, y) > 0 ，只有(C)满足，故(C).已知有向光滑曲线 L : x = j(t), y =y (t)(a £ t &

6、#163; b ) 的始点 B 对应的参数值为a ,终点 A 对应的参数2.值为 b ,则òL f (x, y)dx =bbaaòòòò(A)f j(t),y (t) dt ；(B)f j(t),y (t) dt ；(C)f j(t),y (t) j¢；(D)f j(t),y (t) j¢(t)dt(t)dt .ababbf (x, y)dx =f j(t),y (t)j¢(t)dt ，故òò(C).解：因为aL3. 当表达式 Pdx + Qdy 中函数 P,Q 取时,此式在其定义域内必为某一函

7、数的全微分.- yxyx(A) P =,Q =(B) P =,Q =；x2 + y2x2 + y2x2 + y2x2 + y2-x x2 + y2yx2 + y2xx2 + y2yx2 + y2(C) P =,Q =(D) P =,Q =；.¶Q¶P¶x = ¶y解：当时，此式在其定义域内必为某一函数的全微分，故(A).4. 以下结论正确的是( x2 + y2 + z2 )ds = 4p a4 ；(x2 + y2 + z2 )dv = 4 p a5 ；òòòòòx2 + y2 +z2£a2(A)

8、(B)3(x2 + y2 + z2 )dxdy = 4p a4 ；x2 + y2 + z2 =a2Òòòx2 + y2 +z2 =a2外ce(C)(D)以上三结论均错误.a542ppaòòò(x + y + z )dv = ò0 dqsinjdjròòr dr = 2p × 2 ×=p a ，所以(A)不正确；52222 25解： 因为500x2 + y2 +z2£a2(x2 + y2 + z2 )ds =òòòòa2ds = a2 &

9、#215; 4p a2 = 4p a4 ，所以(B)正确；因为x2 + y2 +z2 =a2x2 + y2 + z2 =a2设S : x2 + y2 + z2 = a2, z > 0, 上侧，S : x2 + y2 + z2 = a2, z < 0, 下侧，因为Òòò(x2 + y2 + z2 )dxdy12x2 + y2 + z2 =a2外cea2ds = 0 ，所以(C)不正确；故= Òòò (x2 + y2 + z2 )dxdy + Òòò (x2 + y2 + z2 )dxdy =&#

10、242;òx2 + y2£a2òòx2 + y2£a2a2ds -S1S2(B).5. 曲面积分 òò z2dxdy 在数值上等于å(A) 面密度为 z2 的曲面å 之质量；(B) 向量 z2i 穿过曲面å 的流量；(C) 向量 z2j 穿过曲面å 的流量；(D) 向量 z2k 穿过曲面å 的流量.2湖南大学数学与计量学院编班级 学号 解：曲面积分 òò z2dxdy 在数值上等于为向量 z 2k 穿过曲面å 的流量，故å(D).

11、36; x2 + y2 + z2 = R2三、(10 分) 计算 Ñò ( x2 + y2 + 2z)ds ,其中G 为í.î x + y + z = 0G解 1: 由于G 是平面 x + y + z = 0 上过球R2 的中心的大圆两个曲面方程联立消去 z ,得ö2æçèö2R2æ xR 232x2 + xy + y2 =, 即2x ÷ + ç+ y ÷=.è 2ø2ø3RxR223RR令x =cos t,+ y =sin t, 即

12、x =R cos t, y =sin t -cos t22226RR将之代入平面 x + y + z = 0 ,得 z =-cost -sin t ,故G 的参数方程为62x =2 R cost, ,sin t -cos t, z = -cos t -sin t,(0 £ t £ 2p )RRRR32662æ costsin t ö2æ sin tcost ö22从而ds =x¢2 (t) + y¢2 (t) + z¢2 (t)dt = Rsin2 t + ç+ ç-dt = Rdt

13、，÷÷3èøèø26622p æ 2 R 2æ cos tsin t ö öæ sin tcos t ö2所以 Ñò ( x 2 + y 2 + 2 z )ds = R òçcos2 t + R 2 ç- 2 R ç+÷ ÷dt÷çø ÷G3è2p26øè620èø2pét + cos t 

14、9;= 4p R3æ 1sint cost ö- 2R2 ésint - cost ùæö2111p2ò= R3cos t +-22= Rt + sin 2t +3÷dtç 3ê6 ç÷3 úëêûúè2ø23è3ø6220ëû00解 2: 由于积分曲线方程中的变量 x, y, z 具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.故有2

15、pR231òòy ds = Ñò G z ds = 3 Ñò G (x + y + z )ds =ÑòGÑx ds =2Ñ22222ds =R33GG1同理Ñò L xds = Ñò L yds = Ñò L zds = 3 Ñò L (x + y + z)ds = 0(x2 + y2 + 2z)ds = 2 Ñò (x2 + y2 + z2 )ds + 2 Ñò (x + y

16、 + z)ds = 4 pÑòR3所以333GGG四、(10 分) 计算 I =xdy - ydx ，其中 L 为( x - 1)2 + y2 = R2( R > 0, R ¹ 1) 取逆时针方向.ÑòL4 x2 + y2¶Q¶Py2 - 4x2¶Q¶P，所以 (1) 若0 < R < 1 ，则 I = òò( ¶x - ¶y )dxdy = 0 ；¶x = ¶y = 4x2 + y2解: 因为D3湖南大学数学与计量学院编班级

17、学号 xdy - ydx4x2 + y2¶Q¶P(2) 若 R > 1，则 I - Ñò= òò( ¶x - ¶y )dxdy = 0 ， l : 4x + y = e 取逆时针方向.222D¢lxdy - ydx4x2 + y2xdy - ydx2e11I = Ñòl= Ñòe 2= e 2 Ñò xdy - ydx = e 2 òò 2dxdy = e 2 p 2 e = p .llD五、(12 分) 计算曲线积分

18、I = Ñò ( y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + ( x2 - y2 )dz ，其中G 是用平面 x + y + z = 32G截立方体： 0 £ x £ 1,0 £ y £ 1, 0 £ z £ 1 的表面所得的截痕, 若从 x 轴的正向看去取逆时针方向.31解：取S 为平面 x + y + z =的上侧被G 所围成的部分,2S 的法向量n =(1, 1, 1) , 即3cosa =cos b =cosg = 1 ， dS = 12 +12 +12 dxd公式, 有. 由313¶

19、;¶xy2 - x213 ¶¶yz2 - x213¶¶z x2 - y2dS = -òò (x + y + z)dS =- 4 × 3 òòdS = -24I = òòS3 òòxy3dxdy ,233SSD39其中 Dxy 为S 在 xOy 平面上的投影区域, 于是 I = -6òò dxdy = -6 × 4 = - 2 .Dxy六、(12 分) 计算 òò ( xy + yz + xz)dS ，其中S

20、 为锥面 z =x2 + y2 被柱面 x2 + y2 = 2ax 所截的部分.S1+ ( ¶z )2 + ( ¶z )2 dxdy =解：因为S : z =x2 + y2，所以dS =2dxdy ，投影区域为 D : x2 + y2 £ 2ax ，¶x¶xxy即(x - a)2 + y2 £ a2 ，因此 òò（xy + yz + xz)dS = òòxy +(x + y)x2 + y2 2dxdyåDxypp12a cosqòò0òdqr2cosq s

21、inq + cosq + sinq rdr =2(cosq sinq + cosq +sinq ) ×(2a cosq )4 dq=222p2p24-p4 264ò= 8 2acos qdq = 8 2a4 ×××1 =452a4 .25 3150ìïz =y - 1七、(12 分) 计算 I = òò x(8 y + 1)dydz + 2(1 - y )dzdx + 4 yzdxdy ，其中S 为2(1 £ y £ 3) ，íïîx = 0S绕 y 轴旋

22、转一周而成的曲面，其法向量与 y 轴正向夹角大于 p .24湖南大学数学与计量学院编班级 学号 ì y = 3解： S 为 y = x + z +1， S 不封闭，补上S :22，其法向量与 y 轴正向同向. 则由íî公式1x + z £ 222I = òòò (8 y +1- 4 y - 4 y)dxdy -òòx(8 y +1)dydz + 2(1- y2 )dzdx + 4 yzdxdyWS1= òòò dV -2òò 2(1- y2 )dzdx +

23、 0 = 34p .WS1八、(14 分)设函数 f ( x) 在(-¥, +¥) 内具有一阶连续导数, L 是上半平面( y > 0) 内的有向分段光滑曲线,其始点为(a,b) ,终点为(c,d ) .记 I =1 é1 + y2 f ( xy)ùdx +é y2 f ( xy) - 1ùdy ,(1)证明曲线积xòëûy2 ëûyL分 I 与路径 L 无关； (2)当ab = cd 时,求 I 的值.(1) 证明: 设 P = 1 1+ y2 f (xy), Q = y2 f (xy) -1 ,则¶P =f (xy) -+ xyf ¢(xy) = ¶Qx