勒让德多项式及性质

1、第三篇：特殊函数第二章 勒让德多项式主要内容：勒让德多项式（轴对称问题）及性质连带勒让德函数（转动对称问题）球函数（一般问题）在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr222dd2(1)0ddRRrrl lRrr在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程和球谐函数方程22211sin(1)0sinsinYYl lY122222( , )( ) ( ),0(1)0( )(2 )( ) (2), ( )cossin( )cossin

2、,0,1,2,3,.( , ) ( cossin) ( ),( )(1)YCCCmAmBmAmBm mYAmBmdx 继续分离变数，令得到关于 的方程：时，球函数其中需从连带勒让德方程解出:2222220 00 01 101 12 (1)0cos10(1)2(1)0( ),( )( )( )kkkdmxl lxdxdxxddmlxxl ldxdxa y x lya xa y xay xay xl ，时，成为阶勒让德方程：为偶数时用常点邻域令，为奇数时的级数解法同样若记同样若记 arc cosx( )( )y xx 则上述方程也可写为下列则上述方程也可写为下列形式的形式的l阶勒让德方程阶勒让德方

3、程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx0( )cossin(), ,( ) ( ) ( )( ) ( ),z( , )( ) mAmBmAu rR rAR ru rurruruYA 轴对称球函数现在注意：时，常数（）（）与 无关，只与 ， 有关。意味着当 ， 一定时， 可任意改变， 不变。即在以 ， 构成的锥体上各点的 值相同。问题关于极轴（ 轴）对称。 球函数称为轴对称球函数。 xyzr 100111(1),0,1,2,3.,( )( )( )xxyl llly xa yxa yxl 前面已学：勒让德方程在有自然边界条件：有限，从而构成本征值问题，本征值是在 为整数条件下，勒让德方程的两

4、个线性独立特解之一退化为 次多项式。200211 12 ()( )( )( )21()( )( ).( )( , )( )( )( )kkllllka y xxy xlka y xxlP xP xYAAy xP x 为偶数:为奇数:将它们分别乘上适当的常数，叫做阶勒让德多项式，记作轴对称情况下的球函数。21 勒让德多项式 勒让德方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的性质、母函数和递推公式 勒让德多项式的应用2(24)!( 1)2!2 (2)!(4)!llll 20202422(2 )!,( )2 ( !)(2)(1)()(1).,(1)(1)(2 )!( 2)(21)2(21) 2 ( !l

5、lkllklkkklnllllllxlaP xa xlkkaaklklaaaaal ll llaalll (2)勒让德多项式通常约定：用适当的常数乘以本征函数使最高次幂项 的系数为:（相邻两项相差2次）利用系数递推公式：推算出其他系数：2(1)(2 )(21)(22)!)2(21) 2 (1)!(1)(2)!ll llllll ll ll1(22)!(22)!( 1)2 (1)! (2)!2 (1)! (2)!llllllll 242(2)(3)(2)(3)(22)(23)(24)!( 1)4(23)2 2!(23) 2 (1)(2)(3)(4)!(2)!llllllllllaalllllll

6、 362(26)!(22 )!( 1),.( 1)3!2(3)!(6)!2()!(2 )!nllnllllnaallnl n ln /2/222200/220(2 2)!( )( 1 )!2()!( 2)!(2 2)!( )( 1 ),!2()!( 2)!lll nnl nll nlnnlkl kllklny Pxa xxnl n lnn klkPxxlkl k lk勒 让 德 多 项 式 :将 指 标按 降 幂 排 列 的次 多 项 式 。一、勒让德方程的解： 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解( )lP x为为 220(22 )!P ( )

7、( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk式中式中 , 22 (0,1,2,)12, 212llnlnlln上式具有多项式的形式，故称上式具有多项式的形式，故称P ( )lx为为l阶阶勒让德多项式勒让德多项式勒让德多项式也称为勒让德多项式也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数二、勒让德多项式二、勒让德多项式（注意到注意到cos )x1、前几个勒让德多项式前几个勒让德多项式: 0P ( )1x 1P ( )cosxx2211P ( )(31)(3cos 21)24xx3311P ( )(53 )(5cos33cos )28xxx42411P ( )(35303)(35cos4

8、20cos29)864xxx53511P ( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128xxxx642611P ( )(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx勒让德多项式的图形可通过计算机仿真勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如如MATLAB仿真仿真)得到得到 图 11.1 2 2、勒让德多项式的微分表示、勒让德多项式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式表示式3 3、勒让德多项式的积分表

9、示、勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有( )1!( )( )d2i()llClffzz容易证明微分表示也可表示为环路积分形式容易证明微分表示也可表示为环路积分形式2111(1)P ( )d2i 2()llllCxxxC为为z平面上围绕平面上围绕xz 并取正方向这叫作勒让德多项式的并取正方向这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式施列夫利积分表示式点的任一闭合回路，点的任一闭合回路，还可以进一步表为下述还可以进一步表为下述拉普拉斯积分拉普拉斯积分201P ( )(i 1cos ) dllxxx22 勒让德多项式的性质勒让德

10、多项式的性质21P(0)0nP (1)1lP ( 1)( 1)ll P ( )1lx ) 11(x2(2 )!(21)!P (0)( 1)( 1)2!2!(2 )!nnnnnnnnnn 奇偶性：奇偶性：根据勒让德多项式的定义式，作代换根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )lllxx 即当即当l为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式P ( )lx 为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇函数为奇函数 lP ( )lx式中记号式中记号 (2 )!(2 )(22)(24)6 4 2nnnn 而而(21)!(21)(23)(25)5 3 1nnn

11、n 因此因此，(2 )!(2 )! (21)!nnn一、勒让德多项式的正交关系)(0)()(11lkdxxPxPlk)(0sin)(cos)(cos0lkdPPlk两式称为正交性两式称为正交性dxxPNll1122)()(xPl1222lNl122lNl 代入代入的微分式得：的微分式得： 模为：模为：二、勒让德多项式的模：三、广义傅立叶级数)(xPl2 , 1, 0 l 由前面的分析可以看出，勒让德多项式由前面的分析可以看出，勒让德多项式为本征函数族，（为本征函数族，（可以作为广义傅立叶级数的基。可以作为广义傅立叶级数的基。)(xf 1, 1)(f, 00)()(lllxPfxf0)(cos)

12、(lllPff若函数若函数定义在区间定义在区间上，或上，或定义在区间定义在区间上，则上，则或或）是正交的、完备的。是正交的、完备的。lfdxxPxfldxxPxfNlll11112)()(212)()(1lfdPfllsin)(cos)(2120其中系数：其中系数：或或例题一：例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数以勒让德多项式为基本函数族，将函数3)(xxf在区间（在区间（-1-1，+1+1）上进行广义傅立叶展开。）上进行广义傅立叶展开。lfdxxPxll113)(2120f08121114113xdxx1f5310323115113xdxxx 2f0)2123(251123dxxx3f

13、最高幂）(52)2325(271133dxxxx)(52)(53)()(3103xPxPxPfxxflll另一解法：另一解法：)(52)(5352)232325(3133xPxPxxxxnxxf)(lnlnlnlnlnnllndxxPxlflnl偶数，且奇数!)!1()!(!)!1( !) 12(0)(21211推广：推广： 432)(3xxxf0 , 1 , 3n3 , 1 , 0l0f5211f543f)(54)(521)(44323103xPxPxPxx例题例题2 2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数、以勒让德多项式为基本函数族，将函数在区间（在区间（-1-1，+1+1）上进行广义傅立

14、叶展开。）上进行广义傅立叶展开。 4 四四、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，无关。与为常数，时，uAmmm 00rr 2cos0rru01)(cos)1(),(llllllprBrAru00rur0lB0)(cos),(llllprAru例题例题3 3、在球、在球的内部的内部, ,求解求解u=0,u=0,使得满足边界条件使得满足边界条件解：解：m=0m=0 通解为：通解为：有限值有限值 通解为通解为 )(32)(31cos)(cos202200 xpxpxprAllll310A202132rA 0lA)2 . 0( l)(cos13231),(2220

15、prrru 0rcos0u例题例题4 4：半径为：半径为的半球，其球面上温度为的半球，其球面上温度为，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。选取球心为极点，选取球心为极点，Z Z轴为极轴，轴为极轴， Z Z轴为对称轴，轴为对称轴，与u无关。无关。ZXYO不是直角坐标或xxuuxuuuuxrr0200cos002000对定解问题解析延拓到整个球形区域对定解问题解析延拓到整个球形区域 x=0 x=0上满足第二类边界条件，是关于上满足第二类边界条件，是关于Z Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。 2cos20cos00

16、0uuurr0110000 xxuxxuurr或或01)(cos)1(),(llllllPrBrAru00lrBu有界0)(cos),(llllPrAru通解为：通解为：对于球的内部：对于球的内部： 代入边界条件得：代入边界条件得： xuxPrAllll000)(xu0)()(00 xPfxuxflll展开展开为广义傅立叶级数。为广义傅立叶级数。lfdPuldxxPxflll11011)(212)()(212012nf012!)!22)(12(!)!12)(14() 1(unnnnfnn0021uf 可以导出：可以导出： 0021uA 012nA01202!)!22)(12(!)!12)(14

17、() 1(unnnnrAnnn)(!)!22)(12(!)!12)(14() 1(21),(22020100 xPrrunnnnurunnnnn比较系数得：比较系数得： 0E0r0E与u例题例题5 5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），场强为场强为，球的半径为，球的半径为，介电常数为，介电常数为，试求解介质球内外的场强。，试求解介质球内外的场强。解：选取球心为极点，解：选取球心为极点，极点，平行于极点，平行于即：即：Z Z轴为对称轴，轴为对称轴，由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。的直线为的

18、直线为Z Z轴。轴。无关。无关。uEEuu场强场强在球面上不连续。在球面上不连续。在球面上无意义。在球面上无意义。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。内u)(000rruur有限值内内)(cos0llllPrAu内外u)(cos000rrrEuur外外1 1、设球内电势为：、设球内电势为：，满足：，满足：2 2、设球外电势为：、设球外电势为：，满足：，满足：)(coscos)(cos110001rPErEPrCrrrllllll时，比较系数得：比较系数得：)(cos1)(cos) 1 , 0(01010001lllllPrDrPECulCEC外00rrrru

19、u外内D000000rrrrruruuED外内3 3、衔接条件：、衔接条件：电势在球面上连续。电势在球面上连续。 电位移矢量电位移矢量 的法向分量在球面上连续的法向分量在球面上连续 4 4、解方程：代入衔接条件：、解方程：代入衔接条件：)(cos00llllPrA)(cos1)(cos1001000llllPrDPrEC2000000101,0rDrDCAl时301012010001121,1rDEArDrErAl时20101001) 1(1,1 , 0llllllllrDlrlArDrAl时比较系数得比较系数得：0000DCA0301012123ErDEA) 1 , 0(00lDAllcos

20、2300rEAu内cos121cos203000rErrEAu外0A解出：解出： 其中其中 与零电势的选取有关。与零电势的选取有关。5 5、求场强：、求场强：球内场强：球内场强：)cos(230zrEzuE内内可以看出，球内场强沿原方向也是匀强电场。只是场强削弱了。可以看出，球内场强沿原方向也是匀强电场。只是场强削弱了。 1000213) 1(EEP内内zEAu00外0EzuE外一般情况一般情况 球内极化强度：球内极化强度：为常数，所以，球的极化是均匀的。为常数，所以，球的极化是均匀的。球外场强：球外场强： 为匀强电场。为匀强电场。 五、母函数五、母函数04),(rM0u与u1 1、定义：设在

21、单位球北极放置正电荷、定义：设在单位球北极放置正电荷，求球内外任意点，求球内外任意点解：解： 取球心为极点，取球心为极点，Z Z轴为极轴。轴为极轴。 球内外任一点的电势关于球内外任一点的电势关于Z Z轴对称。轴对称。球内外电势满足：球内外电势满足： （无源场）（无源场）无关。无关。的电势。的电势。xyz通解为：通解为：)(cos)1(10llllllPrBrAu) 1(00ruuur有限值有限值有限值内内内0lB)(cos0llllPrAu内球内电势：球内电势：lllllllrAPrAu000) 1 (内rrQu1114100内021111llrrrrr 时：当：00lllllrrA), 2

22、, 1 , 0(1lAl)(cos0lllPru内),(rM取球内任一点：取球内任一点：则则M M点的电势为：点的电势为：，它到电荷的距离为，它到电荷的距离为d d，cos21141200rrdQu内cos2112rr )(cos0lllPrcos2112rr )(coslP其中：其中：叫叫的母函数。的母函数。 ) 1(110rurur有限值外外0lA)(cos110llllPrBu外101001) 1 (1lllllllrBPrBu外球外电势：球外电势：),(/rM0101111111llrrrru外011llr101lllrB对于任一点：对于任一点：), 2 , 1 , 0(1lBl)(c

23、os110lllPru外cos2112rr )(cos110lllPrcos2122RrrRRrPrRRrPrRllllllll)(cos1)(cos11001母函数：母函数：对于半径为对于半径为R R的球，母函数为：的球，母函数为：q04)(11arr2 2、应用、应用 在点正电荷在点正电荷放置接地的导体球，球的半径为放置接地的导体球，球的半径为a a，球心与电荷相距为球心与电荷相距为，求解静电场。，求解静电场。 的电场中，的电场中，q04),(rM0u与u)(cos)1(10llllllPrBrAu解：取球心解：取球心O O为极点，极轴为极点，极轴通过点电荷，电势满足：通过点电荷，电势满足

24、： （无源场）（无源场）无关。通解为：无关。通解为：cos24112210rrrrqdQu),(rV),(cos21221rVrrrrqu无导体球时：任一点电势为：无导体球时：任一点电势为：由于导体的存在，导体球上产生静电感应电荷，由于导体的存在，导体球上产生静电感应电荷，它引起的电势变化为它引起的电势变化为0lim00uuurar0limcos201221VararqVVrar)(cos)1(10llllllPrBrAV0lA对于定解问题：对于定解问题：cos2)(cos)1122110ararqPaBllllar )(cos1)(coscos2101101221llllllllPaBPrqaararq代入边界：代入边界：引入母函数：引入母函数：时时比较系数得：比较系数得： )(1112qraBlll011112