阶常系数线性齐次微分方程

1、特殊：特殊：P(x)= p Q(x)= qP(x)= p Q(x)= q y + py+ qy = f(x) (3) + py+ qy = f(x) (3) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程 y + py+ qy = 0 (4) + py+ qy = 0 (4) 称为二阶常系数线性齐次微分方程称为二阶常系数线性齐次微分方程 任务任务2-1(2.2.1) 2-1(2.2.1) 二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (2 2) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyC

2、y 也也是是( (2 2) )的的解解. .（21, CC是是常常数数） 问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )2(0)()( yxQyxPy定义：设定义：设21, yy是定义在区间是定义在区间I I内的函数如果内的函数如果常数12yy 那么称这两个函数在区间那么称这两个函数在区间I I内内线性相关线性相关否则称否则称线性无关线性无关 例如例如xx2cos1,cos2xxee，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x定定理理 2 2： 如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (2 2) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2

3、211yCyCy 就就是是方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 即即y1 与与y2线性无关，线性无关，所以方程的通解是所以方程的通解是0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式任务任务2-2(1.2.2)2-2(1.2.2)二阶常系数线性齐次微分方程的二阶常系数线性齐次微分方程的解法解法1、二阶线性齐次微分方程的解的结构（复、二阶线性齐次微分方程的解的结构（复习定理习定理2）2、二阶常系数线性齐次微分方程的解法、二阶常系数线性齐次微分方程的

4、解法特征根法特征根法(1)-(1)-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1.1.有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为2.2.有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程

5、的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为3.3.有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 利用欧拉公式利用欧拉公式)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为重新组合得：重新组合得：sincosiei小结：求

6、二阶常系数线性齐次微分方程通解的小结：求二阶常系数线性齐次微分方程通解的步骤如下：步骤如下：(1) 写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程02 qprr(2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根r1，r2(3) 根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程的通解的通解特征根特征根微分方程的通解微分方程的通解xrxreCeCy2121两个不相等的实根两个不相等的实根r1，r2两个相等的实根两个相等的实根r1= r2 = rrxexCCy)(21一对共轭复根一对共轭复根r1, r2 = i)sincos(21xCxCeyx.032的通解求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0322 rr解得解得3,121rr故所求通解为故所求通解为.321xxeCeCy案案例例1.111.11, 02 yyy求方程解解 特征方程为特征方程为,0122 rr解得解得,121 rr故原方程的通解为故原方程的通解为.)(21xexCCy案案例例1.121.12满足初始条件满足初始条件 ,0|0 xy1|0 xy的特解的特解. .xxxeCeCCy212)(故故把初始条件分别代入得，把初始条件分别代入得，, 1, 021CC所以满足初始条件的特解为所以满足初始条件的