椭圆综合专题整理

1、椭圆专题总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1. 设直线与方程；提醒：设直线时分斜率存在与不 -存在；设为y=kx+b与x=my+ n 的区别2. 设交点坐标；提醒：之所以要设是因为不去求出它 ，即“设而不求3. 联立方程组；4. 消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5. 根据条件重转化； 常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0 ”提醒：需讨论K是否存在OA OBK, ?K2i oa?Ob 0X1X2 yy 0“点在圆内、圆上、圆外问题“直角、锐角、钝角问题"“向量的数量积大于、等于、小于0问题'xi X2 yi y20>0 ；“等角、

2、角平分、角互补问题"斜率关系KiK20或K1K2； “共线问题如：AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法；如：A、0、B三点共线直线OA与0B斜率相等； “点、线对称问题坐标与斜率关系； “弦长、面积问题转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的合理选择；6. 化简与计算；7. 细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、根本解题思想：1、“常规求值问题： 需要找等式，“求范围问题需要找不等式；2、“是否存在"问题： 当作存在去求，假设不存在那么计算时自然会无解；3、 证明定值问题的方法： 常把变动的元素用参数

3、表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法： 常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法转化为二次函数的最值三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化'的经历；椭圆中的定值、定点问题一、常见基此题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取

4、参数和特殊值 来确定“定值是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。1直线恒过定点问题2x1、点P(xo,y。)是椭圆E :y2 1上任意一点，直线I的方程为2-yoy 1,直线Io过P点与直线I垂直，点M-1 , 0丨关于2直线lo的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。2、椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2 2，离心率为 ；，p是椭圆在第一象限弧上一点，且pF1 pf2 1，过P作关于直线F1P对称的两条直线 PA、PB分别交椭圆于 A、B两点。求：1求P点坐标；2丨求证直线 AB的斜率为定值；2 23、动直线y k(x 1)与椭圆C : 1-

5、1相交于A、B两点，55丿3点M( 7,0)，求证：MA MB为定值.32x4、在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C :y2 1 如下图，斜率为k(k>0)且不过原点3的直线I交椭圆C于A , B两点，线段 AB的中点为E ,射线0E交椭圆C于点G，交直线x 3于点D(丨求m2 k2的最小值；n假设OG 2 OD ?0E|求证：直线l过定点;椭圆中的取值范围问题一、常见基此题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的

6、取值范围。5、直线|与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C : 2x2 y2 1交于相异两点A、B,且AP 3PB，求m的取值范围.(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围6、点 M(4, 0) , N(1,0)，假设动点 P 满足 MN MP 6| PN | .18 < NA NB <12，求直线 |75I求动点P的轨迹C的方程;n设过点N的直线l交轨迹C于A , B两点，假设的斜率的取值范围(3)利用根本不等式求参数的取值范围2 27、点Q为椭圆E : 1上的一动点，点A的坐标为(3,1)，求AP AQ的取值范围.18 28. 椭圆的一个

7、顶点为 A(0, 1)，焦点在x轴上假设右焦点到直线x y 2 2 0的距离为3.求：dMy1求椭圆的方程AC心A黑2设直线y kx m(k 0)与椭圆相交于不同的两点M ,N .当丿| AM | | AN |时，求m的取值范围9.如下图，圆C:(x 1)2 y28,定点A(1,0), M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 AM 2AP,NP AM 0,点N的轨迹为曲线E .I求曲线E的方程;II假设过定点 F 0 , 2的直线交曲线 E于不同的两点G , H点G在点F , H之间,且满足FG FH ,求的取值范围10、.椭圆E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 A( 1,0)

8、、B(1,0)，个顶点为H(2,0).求:1求椭圆E的标准方程;2丨对于x轴上的点P(t,O)，椭圆E上存在点M，使得MP MH求t的取值范围2x11.椭圆C： 2ay2. 221 (a b 0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为b2半径的圆与直线x y20相切.I求椭圆C的方程;n假设过点 M (2 , 0)的直线与椭圆C相交于两点 代B，设P为椭圆上一点，且 满足OA OB tOP0为坐标原点，当PA pB v 史 时，求实数t取值范围.3椭圆中的最值问题一、常见基此题型：1利用根本不等式求最值，12、 椭圆两焦点Fi、F2在y轴上，短轴长为 22，离心率为J2 , P是椭圆在第一

9、象限_2弧上一点，且PR PF2 1，过P作关于直线FiP对称的两条直线 PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求 PAB面积的最大值。2丨利用函数求最值，2 213. 如图，DP x轴，点M在DP的延长线上，且|DM| 2 | DP | .当点P在圆xy 1上运动时。I丨求点M的轨迹C的方程；n过点T (0,t)作圆x2 y21的切线I交曲线C于A,B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点 T的坐标。2x22214、椭圆G :y 1.过点(m,0)作圆x y 1的切4线I交椭圆G于A,B两点将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.思维拓展训练x2y21、A、B、C是椭圆21(a b 0

10、)上的三点，其中点 A的坐标为a b(2 3,0), BC 过椭圆 m 的中心，且 AC?BC 0, | BC | 2 | AC |.1求椭圆m的方程；2丨过点M (0,t)的直线l斜率存在时与椭圆 m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且| DP | | DQ |.求实数t的取值范围.2.圆M : (X m)2 (y n)2 r2及定点N(1,0)，点P是圆M上的动点，点 Q在NP上，点G在MP上，且满足NP = 2 NQ , GQ ?NP = 0 1假设m 1,n0, r 4，求点G的轨迹C的方程；2假设动圆M和1中所求轨迹C相交于不同两点 代B，是否存在一组正实数 m,n,r

11、， 使得直线MN垂直平分线段 AB，假设存在，求出这组正实数；假设不存在，说明理由.3、椭圆C的中心在坐标原 点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为1.I求椭圆C的标准方程；n假设直线l : y kx m与椭圆C相交于A , B两点A, B不是左右顶点，且以AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.平行于0M的直线I在y轴上的截距为 mm工0，I交椭圆于A、B两个不同点。1求椭圆的方程；2丨求m的取值范围；3丨求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形参考答案1、解：直线10的方程为x0(y y0)2y°（x Xo）

12、，即 2y°x x°y 約。0设M( 1,0)关于直线lo的对称点N的坐标为N （m, n）那么2y。nx。m 12yom 1 x°nm 2x。' 3x。2 4x。4直线PN的斜率为k从而直线PN的方程为:2yo（ x。3从而直线PN2、解：1Xoyo，解得0Yo mx。y y。x。2 44322x。 4xo4x。8x。n _2 一2yo（4 x。）4Xo_2yo（ x。3 3x。2 4）4x03 2x02 8x0 8x。4 4x。3 2x。2 8xo 8 z 、2yo（ xo3 3xo24） （x X。）3xo2 4）432x。 4x。 2x。恒过定点G

13、(1,0)2设椭圆方程为与a8x0 8y 12x21，由题意可得b2,b2,c 2 2，所以椭圆的方程为2 y4那么 R（0八 2）, F2（0, 、2，设 P（x。, yo）（x。0,y°0）那么 PF1（ x。八 2yo）, PF2x0,y。）,PF1 PF2 x （2 y：）点P(x。，y。)在曲线上，那么2Xo2Yq从而(2 y)1，得 y。2那么点P的坐标为(1/. 2)。2由1丨知PF1 / x轴，直线PA、PB斜率互为相反数,设pb斜率为k(k 0)，那么pb的直线方程为：y .2 k(x 1)y 、2 k(x 1)_由 x2 y2得(2 k2)x2 2k( .2 k)

14、x ( .2 k)2 4 0124设B(xB,yB),那么xB筈存2k22,2 k 2k22 k2，那么yBk(xA 1)k(xBAB的斜率kABy yB1)- 2为定值。所以直线2Xa同理可得xAXAXB8k2 k2Xb4迁kTVx2k(x 1)代入52y_53得(13k2)x26k2x36k44(3k21)(3k2X26k22 .,X!X25)X13k248k220所以 MA MB (X1(X1(1(13k2 3k2 1I，y1)(x2)(X2 )33k2 )X1X2(737,y2) (x1k2(x11)(x22k )(x1 X2)© k2)(3)(x2 勺 y1y21)499k

15、2氏)49 k29423k 16k53k2 14、解：I由题意：设直线l : y kx n(n 0),y kx n由 x22 消 y 得：(1 3k2)x2 6knx 3n2 3 0,T y 1 36k2 n2 4(1 3k2) x 3( n2 1) 12(3k2 1 n2) 0设人(心)、B(X2,y2),AB的中点E(x°,y°),那么由韦达定理得：n1 3k2 ,6kn 口3kn3kn为 X2 =2，即 x°2 , y0 kx0 n2 k n12 1 3k21 3k201 3k2O 1/所以中点E的坐标为(,-2),1 3k2 1 3k2因为0、E、D三点在

16、同一直线上,1 m所以koEKoD，即无解得m2 2m k的最小值为2.2 2 1 2所以m k =弋 k 2，当且仅当k 1时取等号,即kn证明:由题意知：n。，因为直线OD的方程八mx,y所以由 2x得交点1G的纵坐标为又因为nkyDm,且 0G0D ?0E，所以2m-2 -m 3n2 ,1 3k又由I知：m 1，所以解得kkn ,所以直线I的方程为丨:ykxk,即有I : y k(x1),令x 1得,y=0,与实数k无关,5、解：1当直线斜率不存在时:2当直线斜率存在时：设I与椭圆C交点为AX, yJ,B(X2,y2)y kx m22得2x2 y21(k22)x22kmxm2102 2(

17、2 km) 4(k22)( m 1)4(k222m 2)0 *kmm21x1 x2k2,x1x22k2 AP 3PB , x13x2 ,x1 x22x2x1x23x；消去x2，得3(x1X2)24X|X20,整理得 k2m2104F2 2 24k2m2 2m2k21时，上式不成立;42222 m把k2 代入4m 1 1 1 1 m 或一2 -综上m的取值范围为6、解：I设动点P(x, y)，那么MP(x由得3(x4)2 2化简得3x 4y12，44时，k11或_221 m11亠1-或 i22,MN(x)2(22,xym得mm4, y)6(12 m32 2m24m21 '3, 0)，PN

18、 (1y)2 ,1.所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为x2x, y).n由题意知，直线1的斜率必存在,不妨设过N的直线1的方程 为y k(x1),设A , B两点的坐标分别为 A(X1,yJ , B(X2,y2).y k(x 1),2 2 2 2由 x2 y2消去 y 得(4k3)x 8k x 4k 12 0.143因为N在椭圆内，所以0.所以XiX28k23 4k24k2 12X-|X23 4k2因为 nA NB (x11)(x2 1)y2(1 k 2 2得(3k1)x 6mkx 3(m1)0)(X1 1)(x2 1)2(1 k "X1X2 (X1 X2)1(1k2Q2 212 8

19、k 3 4k3 4k229(1 k )3 4k22所以 18 v宜暮< 12 解得1 < k2 < 3.73 4k57、解:AP (1,3)，设 Q X, y，AQ (x 3, y 1),AP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6 .2 2 L 上 1，即 X2(3y)218 ,18 2而 x2(3y)2 > 2|x| |3y|, a- 18 <6xy <18 .2 2 2那么（x 3y） x （3y） 6xy 18 6xy 的取值范围是0, 36.x 3y的取值范围是6, 6.a AP AQ x 3y 6的取值范围是12 , 0.2 i8、解：1依

20、题意可设椭圆方程为冷 y2 1，那么右焦点F . a2 1,0a由题设丨a12'"3，解得a23 ,V22故所求椭圆的方程为y21.32丨设 P（Xp,yp）、皿仏皿）、N（Xnn）,y kx mP为弦MN的中点，由直线与椭圆相交，2 2(6mk)4(3 k i)xm xn3mkXp23k 1yp 1 m 3k'APXp3mk2那么： 匹 13mk把代入得m223(m1)02 2m 3k 1,，从而yp 1mkxPm -53k11，又 |AM | AN |, APMN1，即 2m3k21 ,k：2m，解 0m 2,由得k2也13 -°，解得1综上求得m的取值

21、范围是129、解：I AM 2AP,NP AM 0.NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|又 |CN | | NM | 2 2, |CN |AN | 2 22.动点N的轨迹是以点 C一 1 , 0，A1，0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 2a 2 2,焦距2c=2.1, b21n当直线gh设直线2X曲线E的方程为一2斜率存在时,GH方程为y kx1 2 2( k )x 4kx1.2,代入椭圆方程2y2 i,0.设 G（N，yi）,H（X2，y2）,则洛X24k,XiX2k232.312k2XiX2,又 FG FH,(xi,yi2)(X2, y22)XiX2(1)X2,XiX22X2.2X2x

22、-i x2(宀1 k2P)216又当直线16GH斜率不存在,整理得1,方程为163丄2k211)1.0,FG1,即所求的取值范围是(1 )2罟解得3.1FH，3,1)10、所求的椭圆的标准方程为:2y32设 M (Xo,y°) (Xo2)，那么2Xo42yo3解：1由题意可得，c 1 , a 2 , b 3 .且 MP (t Xo, yo), MH (2 x。，y。),由MP MH可得MP MH 0,即卩2 (t Xo)(2 Xo) yo o 由、消去yo整理得1 2t(2 Xo)Xo2xo 3 - Xo 24113t(2 Xo) 1Xo442/2 Xo 2,2 t 1.t的取值范围

23、为(2, 1).11、解：I由题意知e -a所以e22 2 . 2cab22a a22 2即a 2b . 又因为b1,所以a22 , b21 .x2故椭圆C的方程为一2n由题意知直线 AB的斜率存在.设 AB : y k(x 2) , A(xyj ,B（X22），P(x,y),k(x2),得(1 2k2)x2 1.8k2x8k22 0.OA OB tOP ,/ PA PB <64k4X-Ix2% y2t4(2k2 1)(8k28k21 2k2，X2,%y2)2) 0,8k2XfX21 :t(x,y)1-k(x, X2)4kk2点P在椭圆上，七2（1(8k2)216k22k2)22、5k2

24、(1 k2) (4k2 16k2XiX222 .2k2XiX2t4k2t(1 2k )2t2(1(4k)22k2)2t2(1 2k2).2勇 “3-，(12k )(X18k2t(1 2k2)'x2)2 4xx220964k4(1 2k2)2,8k2 2n4 畀1 2k21)(1*2 13)t2(1 2k2), t2 k2实数t取值范围为（2,20916k22k282 ，1 2k226(t，2).12、解、设椭圆方程为b21，由题意可得a 2,b2, c 2 2,2 2故椭圆方程为-142设AB的直线方程：y . 2x m .y 2x m由 x2 y2 ，得 4x2 2 2mx m2 4

25、 0,124由 (2 2m)2 16(m24)0，得 2 2 m 2 2P到AB的距离为d|m|3，那么 S pab 11 AB | d1 22m ) 3|m|3.1 m2 ( m2 8)m28)22 )当且仅当m 22 2,2 2取等号，二三角形PAB面积的最大值为.2。13、解:设点M的坐标为x, y，点P的坐标为Xo, y° ,那么xx0 ,2yo，所以 X。 x , yo因为P xg,y0在圆2 2 2x y 1上，所以Xo2y。将代入，得点M的轨迹方程C的方程为n由题意知，|t | 1 .1时，切线I的方程为y 1 ,点A、B的坐标分别为（,1）,1）,此时| AB |3，

26、当t 1时，同理可得| AB |3 ;当t 1时，设切线I的方程为y kx m, k Ry kx t,由 2 y2 得(4 k2)x2 2ktx t240x2二 141，设A、B两点的坐标分别为(x!, yi ),(X2, y2)，那么由得:x1x22 kt口和2t244 k2又由I与圆x22y 1相切,得 |t L 1, 即 t2 k21.k2 1所以 |AB| .(X2 xj2(y2 y1)2Z k2)(44kkt2)2(4 k )4(t24)4 k24 3|t |t24 3|t |4 3 c因为|AB |3 时,K 32,且当t 3|t|t|AB|=2，所以|AB|的最大值为依题意，圆心

27、O到直线AB的距离为圆x21的半径,所以 AOB面积S 2|AB2当且仅当t3时,AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为14、解：由题意知，|m| 1.1时，切线I的方程为x1，点A,B的坐标分别为(1,(1,2T)，此时 |AB| .3；1时，同理可得|AB| 3;1时，设切线I的方程为y k(x m).y k(x m)由 x22 得(1 4k2)x2 8k2mx 4k2m2 4 0.7 y 1设a,b两点的坐标分别为(为，yj,(x2,y2).22k )(X2X1)4x1X2又由l与圆x2 y21相切，得畀1,即m2k2 k21.所以 |AB| 、(X2 xi)2 (y2 yi)2 x

28、 (12 2m2 34(4k m 4)1 4k2由于当m1 时，|AB| 4 ,|AB|43|m|m2 3当且当m| AB| 2 所以|AB|的最大值为2.选做x2解1椭圆m :122y42由条件 D 0，- 21°当k=0时，显然2<t<22 ° 当k 工0 时，设 l : y kx22x y124y kx t(1 3k2)x2由40 可得Ml 0 , t6ktx 3t2 1202 2t 4 12k设 P(X1, yJ,Q(X2, V2),P0中点 H(X。, y°) x1 x23kt21 3k2H( 生，I刃1 3k 1 3k那么Xoyokxo t

29、t1 3k2由 |DP| | DQ |OHPQ即 kDH1 3k23kT1 3k2t>i将代入得化简得t 1 3k21<t<4 t的范围是1 , 4综上 t 2 , 42、解：1丁 NP 2NQ, 点Q 为 PN 的中点，又丁 GQ NP 0， GQ PN 或 G 点与 Q 点重合 |PG|GN|.又 |GM | GN | |GM | |GP | | PM | 4.点G的轨迹是以M , N为焦点的椭圆, 2 2且 a 2,c1 , b . a2c2.3, G 的轨迹方程是- y 1.43(2)解：不存在这样一组正实数,由题意，假设存在这样的一组正实数,当直线MN的斜率存在时，设之为 k ,故直线MN的方程为:y k(x 1)，设 A(X1,yJ,B(X2,y2), AB 中点 D(x°,y°),那么2X142X2432y231，两式相减得:1(X1X2)(X1X2)4(%y2)(y1祠3X1X2y1注意到71y21，且X02，那么0,X1X2ky1y?4yo ky°2因为弦AB的中点D在所