椭圆与直线位置关系的改编题

1、基于圆锥曲线中的改编题惠州市龙门县龙门中学周余松一本题数学内容的本质、地位及作用分析：本题为复习题中的B组题，在A组题的基础上要求有所提高，内容蕴含了许多重 要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等，对学生的计算能力、逻辑推理 能力也提出了更高的要求。因此，本题很好的体现数学的思想方法及价值。根据本题内容的特点，如何在原有考查能力的基础上，更加突出数形结合思想、 化归思想等方法在解析几析中的重要性，成为改编此题的重中之中！ 二本题数学内容的考情分析：新的考试说明（2012年广东版）（下同）对圆锥曲线明确要求是：（1）掌握椭 圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）理解数形结

2、合的思想。在考试说明中“掌握”的要求是：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够 利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论、并且加以解决，在知识考查方面是最高 的、也是最难的。特别要说明的：在圆锥曲线中把“数形结合”单独列出作为考查要 点，这就说明这一思想方法在解析几何中的重要性。从近几年的广东数学高考卷中（理 科）有了很好的体现，从侧面验证“数形结合”思想的重要性。三.本题设计目标：针对本题的特点，在尊重原题的基础上，充分的考虑高考试题“有助于高校科学 公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的基本原则，在下 面几个方面进行创新：（1）知识与技能方面:在平面内，利用共线向量

3、定理判断两直线平行的方法;（2）情感态度与价值观方面：加强“数形结合”、“化归思想”、“参数讨论”的考查力度，重视知识、能力的形成过程，体会到探索的艰辛过程与创新的乐趣加强“逻辑推理”、“计算能力”、“数据处理”的考查力度，培养学生形成扎实严>1谨的科学作风【原题】：（选修2 1 （人教A版）P81, B组第2题）如图,2 2从椭圆X2 y 1 （a b 0）上一点P向x轴作垂线，垂a b足恰好为左焦点F1 .又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且 AB/OP，|RA| .105，求椭圆的方程.所以P点的坐标为解：由题意，Ph丄x轴，把x c代入椭圆方程，解得y

4、直线OP的斜率kib2ac直线AB的斜率k2b ;由题意，-=b 解得aac ab c, a 、.2c 由已知及 IRAI a c, a c . 10-.5所以(i辽)c jo ,52 2 解得 c .5 , 所以a ,10 , b ,5 因此，椭圆的方程为x I 1.105【设计意图】：本题是圆锥曲线与方程复习参考题 B组题中的第2题，在题目的 设计上：考查了椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线与直线的位置关系等知识； 着重考查了学生的数形结合的思想方法，总体上对学生的计算能力、逻辑思维能力在 A组题基础上有所提高。x2【改编题1】：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆-yauuuruiu

5、r焦点分别为F1( c,O) , F2(c,O).已知F2A 7F1B且点(1, -2-)在椭圆上.(I )求椭圆的方程；(II)设经过A点的直线I与椭圆交于另一点若|AP|匕2，求直线I方程；2b 1(a b O)的左、右o若点Q(x°,0)在线段AP的垂直平分线上,uuu且QAumr -QP1，求Xo的值.解: ( I )设B(Xo, yo)，由题意知:uuuuF2A ( c,b),murF1B(Xoc, yo)uuuuQF2Auuur7F1B7(Xo7yoc)即 B( 8cb)所以有a2 b28ca2£2ab243 2 (严)2解得2 ab2b2所以，所求椭圆的标准方

6、程为:x25（II ）由（I）知点A的坐标为（0,1），设点P的坐标为（xi,yi），直线I的斜率为k ,y kx则直线的方程为y kx 1 .联立227 y1消去y并整理有：（丄k2）x2 2kx 04解得x-i8kk，x2所以P（ 18k 1 4k2)4k2 1 4k2由两点之间的距离公式有:8k1 4k20)21 4k2(1 4k21)2空252解得 k21或- 所以7.147所求的直线方程为：y x10分1）当直线AP的斜率不存在时,Q坐标为（0,0）满足题意，所以x00 ; 11分2）当直线AP的斜率存在时，设AP的中点为M，由知及中点坐标公式，M的坐 标为（嗇，徐），线段AP的垂直

7、平分线方程为：11 4k21（x备），令y 0，得人3k1 4k2uuu uuu因为 QA QP 1，2即，3k 八5k 1 4k、即(2 ,1)(2 ,2)1 4k21 4k2 1 4k213分整理，解得k2| 所以X。或远5满足题意.14分【设计意图】针对本题的特点，在尊重原题的基础上，充分考虑高考试题的有效度、 区分度，以近几年广东高考数学（理科）卷中的解析几何为蓝本，以第20题的难易程度为要求，改编了本题.在（I）小问中设计为求椭圆的标准方程，利用向量共线 转化为坐标运算，进而联立方程求解 a，b，c得到椭圆的标准方程。考虑让更多的 人拿更多的分数，按评分细节，第（I）小问给了 6分。

8、第（II ）采用的梯度设计， 要求学生确保第（I）小问正确的前提下进行，但是对学生的能力提出了更高的要求， 尤其计算求解、逻辑推理能力，同时也对数形结合、化归思想进行很好的考查.第（II ） 中的中也能利用韦达定理、弦长公式进行解决；第（II ）中的主要是为了优秀学 生而设计，对计算能力、逻辑推理能力、数据的处理提出了很高的要求，对学生的综 合素质是一个很好的检验。但分值上，采用了一些技术上的处理，为了照顾中档及中 档偏下学生，所以此小问只给了 4分。【改编题2】：（椭圆方程保持不变）（II ）如图，若AF1 / BF2, A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线BF1与AF2交于点P，试求证

9、：PF1 PF2为定值.证：由（I）知 Fi（ ,3,0） , F2（'、3,0）设直线 BFi的直线方程为：x , 3 my，直线AF2的直线方程为:3 my 设 A(Xi, yi) , B(X2, y2)(yi o,y20)2x1由42y1xi.31 _整理得(m2 4) y12 2、_3myj 1 my1解得y-!V3m 2曲 1 . 4 分(m24)所以AF1为3)2 y122(m2 1) m.、3(m2 1)m24同理BF2 =2(m2 1) m- 3(m2 1)因为AF1 /BF2，所以竺匹，于是PB PF1PF1 AF1PFiBF2 AhAF1故PFiAF1BF1 ;AF

10、1 BF2所以AF1BF24(m2 1)m2,AF14-bf212分而B点在椭圆上,有:BF1 BF24，从而PF1AF1(4AF1 BF2BF2），同理 PF2BF2AF1 BF2(4 AF1)14分16分因此 PF1 PF2 4 2AF1gBF2，故 pf1 pf2 7 为定值. AF1 BF22【设计意图】：改编2是以广东数学联赛（初赛）难易程度为要求，以解析几何中的 椭圆与直线位置关系为背景设计此题. 在解题过程中主要利用到了求根公式、 两平行 线的比例关系等；重点考查学生的逻辑推理、数学计算能力、化归等数学思想方法， 对学生的综合素质要求相当的高，符合全国数学联赛的设计要求.【改编特色】：在原题的基础上经过两次加工，得到了两道改编题，第一题是