梯形典型例题

1、梯形典型例题例1已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。BDAE/求证:.BCD BED例2 已知，如图，梯形 ABCD中，延长AB到E，使BC/DC,AD AB，求证:.CEACBE DC例3如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形. 请用这四个直 角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙） ，并把你的拼法画出来:（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4） 不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。 例4如图，已知：四边形ABCD是等腰梯形，其中，若，5BC ADAD，.

2、DC8 AB2 CD求：梯形ABCD的面积.A EB例5 如图，已知：在梯形 ABCD中，AC、BD相交于点O. BCAD/求证:RCSS DOC AOB例6 已知：如图，梯形 ABCD中，50 D AB/CDC 804AB10DCFA求BC的长.例7 已知：如图，在梯形 ABCD中，过B作，过D作ADBEAB/CD/交BE于 E. ACDE/S S.求证：ABC DCE参考答案例1分析 要证，则考虑这两个三角形中对应边、对应角 BCD BED的相等 关系。而，且，则问题得证，本题 BDBD AB CD,DE BC ADBE要证对应的角 相等也并不困难。证明四边形ABCD为矩形，四边形 ABD

3、E为等.,BC ADDC AB腰梯形, 且为其对角线，二。在和中， ADAB,BE DE BCD、BEADBED，又，二BC,BE DE DC. BCD BED BD BD例2 证法一 由ABCD是等腰梯形，二又， AB./DC ADC BCD 在与中，BEDC ADC CBE,AD BC CBEADC DCB CBE.于是也，故。CEADCAC CBE 证法二 如图，连结BD，由可知四边形DCEB为平行四BEBE/,DC DC 边形，所以.CEDB上 又ABCD为等腰梯形，于是，故 .BDECACAC证法三 如图，作于于MAE F,DMAE CF° MF BE在与中，所 90DMA

4、 CFB DAM CBF,AD BC,BFC AMD 以又，故CFDM/BF.QC/ABAMADM BCF, .MFDC 又由，可得.BE BF DCBE AMMF所以F为AE的中点，CF为AE的垂直平分线，所以.EC AC。如图，连结BD证法四月BE。知四边形BECD为平行四边形，所以由BEDC DC/AB, 32知由，可又腰梯形，所以又 ABCD是等ABAD BC,AB .BDAC 。所以.CE 3,AC 1 2, 1DBAA BC 说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法 证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。画出 这些图形的关键是认识这些图形，也可以动手剪出这

5、样的例3分析 四个直角三角形，动手拼一拼，拼的过程中要注意把相等的两条边拼在一起。解是等腰梯形，由于等腰梯形是一个分析：由已知条件知，梯形ABCD例4在此基础上应用勾股定理，.轴对称图形，由图中的辅助线很容易想到BFAE于F.于解答：过点D、C作E，就可以解决问题.ABCF AB DE V， 则根 据等腰梯形的轴对称性可知：ABDE AB,CF DE/AB, BFAE 113 2)CD(AB ) (8 AE 二 CDEF：四边形是矩形. EF DC 222222 3 54DE AD AE 中，根据勾股定理有，在ADE Rt1S (2 8) 4 20. ABCD 梯形 2 .说明等腰梯形是一个轴

6、对称图形，在计算等腰梯形的有关量时，就要从上 底的两个端点作下底的垂线，从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形，然后 我们就可以根据等腰梯形的对称性，矩形自身的性质以及全等的直角三角形的性 质解决冋题.例5分析 图中有两条线AD和BC是平行的，也就是说一条直线上的各点到 另一条直线的距离相等.所以如果出现同底的三角形，就可以保证其面积相等， 因此，在这个图形中就能出现面积相等的三角形.证明：V,. A、D两点到BC的距离相等.BCAD/即中BC边上的高与中BC边上的高相等 DBC ABC S SS S S SS S .(等底等高)CODOBCDBCABC ABC DBC OBCAOB说明 本题

7、中，我们也可以用和的面积相等，推出和 AOB CADBAD等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关的 面积相等，COD键作用.例6 解法1如图，延长DA，CB交于F./ ，二 80 C 50 , 2, C 801 D AB/CD, D50 二80 50F 180 50 D 1 F 二.CD AB,CFBF 64 AB10 BC CF FB CD解法 2 如图，作，交 DC 于 E. T ， 4, AB CD, D 50/AB AD/BD /在中，；，80 ,C D 50 1 50 4DE AB , 1CBE 二 二 二 二，10CB DC EBC 50CEEBC 1 二 64 AB

8、DE CD 10CDCEBC 分析 本题 综合考查了梯形的性质及等腰三角形的判定，易错点是作辅助线后探索不出图中 所含的等腰三角形解题关键是作出恰当的辅助线例7分析：计算面积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊 的图形可采取特殊的方法，女口，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三 角形和平行四边形的面积比为.那么由给出条件中的几对平行线，可考 2:1虑构 造几个平行四边形延长DC交BE于F，延长AC交BE于M，则图中就有两个 平行四边形，即AMED和ABFD.而且这个平行四边形的底都为 AD，口 口 且高都是AD，BE平行线之间的距离，即它们的高也相等，所以它们的 面积相等.继续观察图形可发现的面积恰好是 ABFD面积的一半，的面积恰DCE ABC 口 AMED的一半好是.因