椭圆与双曲线的对偶性质

1、椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线径的圆，除去长轴的两个端点内切.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆x°xy°yra2 2若P)(x),yo)在椭圆 笃爲=1上，则过P)的椭圆的切线方程是 a b2 2P1、P2,则切若P)(x0,y0)在椭圆 笃每"外，则过Po作椭圆的两条切线切点为a b点弦P1P2的直线方程是

2、竽与 =1.a b2 2椭圆2 =1 (a> b > 0)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为椭圆上任意一点a b2 VF1PF2 - ，则椭圆的焦点角形的面积为Sf1pf2 =b tan?.2 2x y椭圆一22=1 (a>b>0)的焦半径公式：a b|MF1pa ex ,|MF2pa-ex ( Fj-c,。)，F2(c,0) M (x°, y°).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点P、Q,A2为

3、椭圆长轴上的顶点,AjP和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.22AB是椭圆22 = 1的不平行于对称轴的弦，a bOkOM AB2 ，a即Kab喚。a yoM(Xo, yo)为AB的中点，若R(xo,y°)在椭所平分的中点弦的方程2 _ xo_ _2a_2xox .y°y _Xo Yo_2,2 2,2a b a b若F0(Xo,yo)在椭圆2 2x y22 =1内，则过 Po的弦中点的轨迹方程a b2 2x yX°xy°yab2 _ a2b2双曲线PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点

4、在直线点P处的切线为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支)是 XoXyoya2 _ b2 _ .22Xy2 ab222Xy2 ab2若Fq(Xo, yo)在双曲线=1 (a> 0,b> 0)若F0(Xq, yo)在双曲线=1 (a> 0,b> 0)线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是PT上的射影H点的轨迹是以长轴相切.(内切：P在右支；外切:上,XqX则过R的双曲线的切线方程，则过Po作双曲线的两条切1.2.3.4.5.6.7.&9.10.11.12.2 2 双曲

5、线才bp(a> 0,b> 0)的左右焦点分别为F1, F 2，点P为双曲线上任意点 ZF1PF ,则双曲线的焦点角形的面积为S.epfz二b2co笃.'.时2(a> 0,b > 0)的焦半径公式：(Fj-c,。), F2(c,0)2 2 双曲线笃每-1a2 b2当 M (Xq, yo)在右支上时，|MR |=eX)a,IMF2 卜 eX。- a.当 M (Xq, yo)在左支上时，IMF11= -eXo a,IMF2 卜-eX - a设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N

6、两点，贝U MF丄NF.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.2 2X yAB是双曲线 2=1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(Xo,y。)为ABa bb2b2的中点，贝y Kom Ka，即 Ka。a yoay。2 2若PQ(x0, yo)在双曲线 令-占=1 (a> 0,b> 0)内，则被Po所平分的中点弦的方a b22程是 XqX _y°y _x。_y°a2b2a2 b222x y13. 若F0(x0,y°

7、)在双曲线 2 =1 (a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程a b22是xy是r2abx°xyoya2 b21.2.3.4.椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)2 2x y椭圆+1r=i (a>b>o)的两个顶点为 A(a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直a b2 2 线交椭圆于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是 笃-爲二1 .a b2 2x y过椭圆二 2 =1 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线a bb2x交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kgc厂0 (常数)a y。若

8、P为椭圆.PF1F2 二:2x设椭圆V a22Xy22=i ( a> b > 0)上异于长轴端点的任一点,Fi, F 2是焦点，ab,PF2F ，则a -c：；l;,tan co ta c22的两个焦点为Fi、f2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在 PFi F2中，记-EPF?二：，PRF2 = 1 , RF2P 二，则有sin asin ： sin5.2x若椭圆一2a2y2=1 (a> b> 0)b2的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为L,则当0vew2 -1时，可在椭圆上求一点 P,使得PFi是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.226.P为椭圆?i

9、=i (a>b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a -1AF2冃PA| | PFi卜2a | AR 当且仅当A, F?, P三点共线时，等号成7.8.2 (y?)2=1与直线 bA2a2 B2b2 _ (Ax0 By0 C)2.y22 =1 (a > b > 0), O b21 12 2|OP| |OQ| a2b2 a2 b2 .椭圆(xx。)a2x已知椭圆2aOP _OQ . (1)(3) S opq的最小值是9.MN的垂直平分线交10.Ax By C=0有公共点的充要条件是为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且1+ 2a(a> b>

10、 0)的右焦点1;(2) |OPf+|OQ|2的最大值为 bF作直线交该椭圆右支于e|MN2x轴于p,则1PFI2 2xy已知椭圆二 2 =1 ( a> b> 0),A、B、是椭圆上的两点，线段abM,NAB2 24a b ;；a b两点，弦的垂直平2 .2 2 .2分线与x轴相交于点P(x,0)，则-a 一 ：: x0 :： a 一a2 211.设P点是椭圆务¥ =1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点“2tan.2则(1)|PF1|PF2|=2b .(2) Spf1F21 + cos 廿12.2 2x y2 亍=1 ( a> b

11、> 0)的长轴两端点， a bNPAB ,NPBA = 0上BPA =丫 , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2 2 2ab | cosI-22a b(1)|PA |= 2_L .(2) tana tan P = 1 e .(3) 沁= 口_2 cot ；.a -c cos ；b -a设A、B是椭圆c、P是椭圆上的一点,2 2x y13.已知椭圆二 2=1( a> b>0)的右准线I与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点Fa b的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线丨上，且BC _ X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的

12、圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线1.2 2xy双曲线 2 =1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A(a,0), A2(a,0)ab，与y轴2.

13、3.2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 笃a的直线交双曲线于2 y b2-1.=1 （a> 0,b>o）上任一点A（xo, yo）任意作两条倾斜角互补B,C两点，则直线BC有定向且kBC 二-b2x° (常数).a y2八 y若P为双曲线 2=1 (a> 0,b> 0)右(或左)a bx2支上除顶点外的任一点，F1,F 2 是焦点，PF|F2 = ： , -PF2F1 =-，则4.22xy设双曲线2=1 (a> 0,b> 0)ab的两个焦点为F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记 f1p

14、f2 =：PF1F2 = 1, F1F2P 二，则有sin :-(sin- sin -)2 2X y5.若双曲线 2=1 （a> 0,b> 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L ,a b则当1v ew 2 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF?的比例中项22P为双曲线十"(a> " 0)上任一点，F1'F2为二焦点，A为双曲线内定点，则| AF21 -2a <| PA | |PF11 ,当且仅当 A, F2,P三点共线且 P和A, F?在y轴同侧时，等号成立7.8.2 2x y双曲线2 =1 (a>

15、0,b>0)与直线 Ax By0有公共点的充要条2 b22 2 2-B2b2 EC2.22x yP_/=1(b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动a b点，且 OP _OQ .a件是A2a2已知双曲线/八11(1)2 2|OP|2 |OQ |22b2 的最小值是-OT.b - - a22过双曲线笃-爲a b9.M,N两点，弦MN10.2x已知双曲线a垂直平分线与11.12.2 2-2； ( 2) |OPf+|OQ|2的最小值为 电巴 ;(3) S-OpQa bb a=1 ( a> 0,b> 0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于| pf | e的垂

16、直平分线交x轴于P，则丽二2y2 =1 (a>0,b>0) ,A、B是双曲线上的两点, b2x轴相交于点P(x0,0)，则x02x设P点是双曲线 ：a每=1 (a> 0,b> 0)b为其焦点记 F1PF2 -则(1)|PF1 |PF2|线段 AB的2 2a2 b2或x。乞aa2 b2上异于实轴端点的任一点，F1、f2寻. Spkfc%.2 2x y设A、B是双曲线 2 =1 (a> 0,b >0)的长轴两端点，P是双曲线上的a b一点，.PAB= , . PBA = BPA=<F, c、e分别是双曲线的半焦距离22ab |cos： |心率，则有(1)|PA|=222.|a -c cos|(2) tan : ta n： =1-e2.(3) S PAB2a2b222 cot .b2 a222xy已知双曲线 2 =1 (a>0,b>0)的右准线I与x轴相交于点E ,过双曲ab线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC _ X轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切