一次函数的性质

1、一次函数的性质（第一课时）顺义区俸伯中学 潘春节指导思想与理论依据义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。本课力争践行以下理念： 1、一次函数是学生首次接触的函数，如何探求一次函数的方法全然未知。需巧妙设问，更好的把握面向全体学生，引领他们思维不断深入前进。用问题驱动认识发展，通过学生参与解决问题来培养能力；2、本课学习内容利于学生

2、主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。促学生有效的动手实践、自主探索与合作交流。3、教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，向学生提供充分从事数学活动的机会。如：感知实际生活经验、探究列表规律、观察函数图象与解析式、运用软件验证等，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握一次函数的性质及其承载的数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，构建新的知识体系。4、现代信息技术的使用，向学生提供更为丰富的学习资源，将课本中曾经研究过的内容，很方便的从新的角度再现出来，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。教学背景分析教学内容：本章的重点

3、包括函数的概念，一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用。而一次函数的图象和性质是本章的核心内容，具有广泛的应用价值，学生对这一部分知识的理解和掌握程度，直接决定了他们的应用能力和灵活运用数学知识解决问题的水平。对一次函数的性质的研究不仅关注函数解析式中“数”的特征，同时关注函数图象“形”的特征，更重要的是“数形结合”。将一次函数性质研究透，为后继学习反比例函数、二次函数等其他函数做好铺垫，所以认真落实对一次函数的图象和性质的教学十分重要。一次函数的性质主要有以下两个方面：（1）k确定y随x的变化及其图象的走向；（2）k、b共同确定一次函数图象所经过的象限。本节课是第一课时，主要探索理解性质：

4、k确定y随x的变化及其图象的走向。而对性质的把握不仅要从解析式（数）的变化方面考察，还要从函数的图象的走向方面考察，因而将重难点确定如下：重点：理解一次函数（含正比例函数）的性质；难点：将“数”“形”结合起来，探索归纳出一次函数的性质。学生情况：通过前面的学习，学生对函数的概念有一定的了解，掌握了一次函数的概念及其图象的画法，观察代数式特点方面有一定的经验。然而，对于图象，怎么观察，观察什么，他们感觉还是比较陌生。学生脑中既要建立图象的直观特点，将直观特点叙述出来，更要将直观特点同相关数据结合起来，这种数形结合的观念在心理上还是不太容易被认同。教学方式与手段：（1）对函数性质的探索，注重图象的

5、直观作用，关注、启发、完善学生理解以下两语句的含义及其对应关系：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”、“函数的图象左低右高（左高右低）”。（2）对于一次函数y=kx+b中系数k与b的作用，教学可通过学生曾经课上研究过与作业做过的一些具体函数图象的观察、比较，组织不同差异的学生交流协作探索。（3）为了让学生更易于观察出图象特征，克服所观察的图象的数量少、不能动等局限性，开发课件的动态元素，让学生更加坚信所归纳出的结论具有正确性和普遍性。教学策略：从引入开始，抓住函数概念的本质，明确要探究的问题：因变量随自变量是如何变化的？这种变化在函数解析式中是如何体现出来的？在函数图象中又是如何体现出来的？

6、在观察探索过程中，以问题引领学生步步深入，逐步发现问题的关键要素，不断完善观察，从而解决问题，达到理解。在教学过程中，采用多种形式从实际事例、观察列表、计算、软件验证等不同角度让学生去感悟一次函数的性质，将对图象特点的叙述以及图象特点与k的变化联系分散进行，从而突出重点，突破难点。技术准备：ppt课件、上一节课作业分析与典型作业收集。前期教学状况、存在的问题及其对策： 通过作业的情况作出相应的调整。不过可以预测学生作一次函数的图象不够规范、不够熟练，对所画出的图象不够理解，将信将疑。在课堂上，找合适的时机投影，予以校正。并简略叙述函数解析式中一对x、y的值与图象上的一个点的横纵坐标相对应，循序

7、强化，不企求一蹶而就。 教学目标(内容框架)根据新课标的要求，结合本节课的具体内容和学生的实际情况，我确定本节课的教学目标为：1、通过创设情境、观察列表、观察图象、课件辅助验证等方式，认识一次函数解析式ykxb（k0），探索并理解其性质（k0或k0时，y随x增大的变化及图象的变化情况）；2、经历观察、分析等过程，形成初步的数形结合意识，提高运用数形结合的思想方法解决问题的能力；3、体会函数解析式与函数图象运动变化中的联系及其所展示的和谐对应的数学美；在探索问题过程中，投入积极地学习情感，积极参与数学问题的讨论，感受寻求细节差异促使观察发现不断深入的研究方法，并从交流中获益。教学流程示意(可选项

8、)观察列表发现观察图象感受联系图象与解析式解决性质概括与验证性质应用小结提升情境体验或运用不好概括有困难教学过程(文字描述)创设情境（实际体验）：1洞庭湖地区连日遭受暴雨袭击，导致河水的水位猛涨，从图中可以看出随着时间的推移，22日至26日的水位在不断 ，而26日至27日的水位在不断 .通过此情景，引导学生观察图象上升与下降，指出这一升一降形象直观的反映了自变量与因变量之间的变化关系。2某种最大量程为5N的弹簧秤，弹簧的原长度是15，挂物每增加1N时，弹簧伸长0.5，这时，伸长后弹簧的总长度L()和所称物重p(N)对应.在允许挂重范围内，随所挂物重在增加，伸长后弹簧的总长度在 . 北京到天津的

9、路程约为120km，刘海涛和同学一起骑自行车从北京去天津旅游.若它们骑车的速度是15km/h，出发t时后，距天津还有s km的路程，在到达天津前，随时间推移，他们距天津的路程越来越 .通过此情景，引导学生凭实际生活经验感受自变量与因变量之间的变化关系。如果有学生提到：老师，这两个问题中的自变量与因变量之间函数关系列出来都是一次函数关系。可设问题引领：这种变化与对应一次函数解析式有联系吗？问题引领：那么对于一次函数因变量随自变量如何发展?观察列表（发现）：课本P23做一做：从列表中你能看出随自变量x逐渐增大，因变量y是怎样变化的？引导学生充分观察，发现随自变量x逐渐增大，因变量y的值有的逐渐减小

10、，有的逐渐增大。如果有学生关注到一次函数y随x发展规律与函数解析式中x的系数有联系时，要给与充分的的赞许与指引。并设问题引领：单从这个角度看出“一次函数k>0时， y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。”是不够的。这些变化关系，图象又是如何直观表达出来的？问题引领：这些变化关系，图象又是如何直观表达出来的？观察图象（感受）：结合函数图象，体会随自变量x逐渐增大图象上的点是如何变化的？ 借助ppt动态演示得出：静态感受左低右高，或左高右低；动态感受随着自变量x不断增大，描出的点在不断爬升（或在不断滑落）。如果有学生发现：k>0时，图象呈现“左低右高”；k<0时，图

11、象呈现“左高右低”。下面的环节，可设问题引领：我们再看看昨天的作业，看看我们观察的结论是否正确？通过比较各小题中的函数解析式的异同与对应函数图象的异同，你是否有更进一步的发现？投影收集好的典型学生作业。然后，用课件动态的理解所概括出来的结论。问题引领：图象的这些特征与函数解析式是否有关联，谁在作怪？联系图象与解析式（解决）：1观察P25练习的第1（1）题的3个函数的解析式，你认为一次函数y=kx+b中的k、b谁没变谁在变？再观察这3个函数的图象有什么特点？再看看与函数解析式的变化有什么联系？观察得到:k相同b不同,对应的图象是互相平行的直线。2观察前面练习的第1（2）题和第1（3）题的3个函数

12、的解析式，你认为一次函数y=kx+b中的k、b谁没变谁在变？再观察这3个函数的图象有什么特点？与函数解析式的变化有什么联系？观察得到:k不同b相同,对应图象是通过点(0，b)的一组直线。3对比第1（1）题与第1（2）、（3）题中函数的图象，你认为一次函数y=kx+b中的k对图象有什么影响？对比思考得到：k影响图象的倾斜程度，决定了图象呈左低右高还是左高右低。引领问题：继续观察(2)(3)，k为何值时，图象左低右高(或左高右低)，此时y随x增大怎样变化？4进一步观察：第1（2）题和第1（3）题中函数的解析式，第1（2）题中函数解析式的k都是什么数？而第1（3）题中函数解析式的k都是什么数？ 观察

13、得出：k>0时，图象呈现“左低右高”，y随x增大而增大；k<0时,图象呈现“左高右低”，y随x增大而减小。问题引领：通过体验实际例子、观察列表、观察图象等几个角度，结合少数几个一次函数归纳得到的结论，对于其它一次函数都适用吗？性质验证：1利用课件，组织学生进一步验证k、b对图象影响的正确性。2小练习(1)小题意在回归实际，(2)小题意在通过计算，加深对一次函数性质的理解)：(1)说一说前边实际问题中提到的自变量与因变量之间的关系与概括出来的一次函数性质是否相符？ (2)在直线上任取三点A( 3， )、B(1， )、C(3， )，则从点A到B再到C，自变量x的变化过程为3à

14、1à3而函数y的值的变化过程为 à à . 说明当k 0时，函数值y随自变量x的增大而 性质应用： 1、例题讲解（参与小组讨论，及时点拨，辅导学困生。展示学生的做法，规范用性质解题的格式。视情况决定是学生板演还是教师板书。）例1 已知点A（，）和B（2，）是一次函数图象上的点，不求出和的值而比较它们的大小。2、分层巩固练习(A组中，(1)、(2)在于观察函数解析式；(3)在于观察函数图象；而B组中，(1)是函数性质的理解应用；(2)是通过一题多解开拓学生思路。)A组题 (1)函数y=7x+2中y随x的增大而_，它的图象左 右_；函数y= -5x-32的y随x的增大

15、而_；它的图象左 右_ (2)函数y= -5xb中y随x的增大而_；它的图象左 右 (3)观察下列直线y=kxb的草图并填空： k 0 k 0 B组题(1)已知函数，当m_时，y随x的增大而增大?当m_时，y随x的增大而减小?(2)已知点(-1，a)和(，b)都在直线上，试比较a和b的大小你能想出几种判断的方法?小结提升（梳理）：1、一次函数的性质是什么？2、这节课我们研究一次函数的性质，是从哪四个方面进行的？ 实际生活经验； 列表； 函数的图象； 函数解析式；3、你还有哪些体会与收获?作业：1、课本：P27页练习：1题；2、一次函数图象经过哪些象限与k、b有什么联系？你能不能类似今天观察函数

16、图象与解析式的过程总结出来?学习效果评价设计评价方式：1、观察学生课堂参与情况，如提出问题、回答问题的次数，及时肯定，激发学生的情感投入。2、将练习题进行分层次，以期达到更好的面向全体学生，通过不同层次学生答题情况的反馈，进行或群体指导或分层指导或个别指导，提高课堂效率。3、通过课堂小结，让学生谈学会了哪些知识，学会了哪些研究问题的方法等，调动多元智能，梳理脑图，清晰结构。4、通过预留基础性作业与有一定实践探索归纳总结的问题，抓好双基，发展学生的能力。评价量规：1、课堂行为观察表（可重点观察几个学生的几个方面，教师本人或随堂听课人员记录）学习行为星级非学习行为星级听讲与邻坐讲话举手回答问题看别的书举手提出问题做小动作到讲台前示范看别人或别处做课堂练习擅自离开座位做操作实验和别人打闹2、分层练习题A组题 (1)函数y=7x+2中y随x的增大而_，它的图象左 右_；函数y=5x32的y随x的增大而_；它的图象左 右_ (2)函数y=5xb中y随