高二数学双曲线标准方程

1、双曲线的定义双曲线的定义 及标准方程及标准方程椭圆的第一定义椭圆的第一定义到平面上两定点到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于的距离之和（大于|F1F2|）为常数的点的轨迹）为常数的点的轨迹aPFPF221椭圆的第二定义（准线）椭圆的第二定义（准线）点与定点的距离和它到定直线的距离的比点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹。是常数的点的轨迹。标准方程标准方程图图 象象范范 围围对对 称称 性性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半半 轴轴 长长焦焦 距距a,b,c关系关系离离 心心 率率 22221(0)xyabab22221(0)xyabba|x| a,|y| b|x| b,|y

2、| a关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。轴成轴对称；关于原点成中心对称。（ a ,0 ）,(0, b)（ b ,0 ）,(0, a)( c,0)(0, c)长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.焦距为焦距为2c;a2=b2+c2ceae越大椭圆越扁越大椭圆越扁思考到平面上两定点到平面上两定点F1，F2的距离之差的距离之差（小于（小于|F1F2|）为常量的点的轨迹是）为常量的点的轨迹是什么样的图形什么样的图形?思考：思考：1、平面内与两定点的距离的差等于常数、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于（小于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什

3、么？2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于常数（等于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于常数（大于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？双曲线的一支双曲线的一支是在直线是在直线F1F2上且上且 以以F1、F2为端点向外的两条射线为端点向外的两条射线不存在不存在 1、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|F|= 2a|F|= 2a |F1 1F F2 2| |时时, ,M点的轨迹

4、不存在点的轨迹不存在4、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a=0|= 2a=0时，时，M点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线其中当其中当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|= 2a时，时，M点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线中靠近中靠近F2的一支；的一支； 当当|MF|MF2 2| | - - |MF|MF1 1|= 2a|= 2a时，时，M点点轨迹是双曲线中靠近轨迹是双曲线中靠近F1的一支的一支. M点轨迹是在直点轨迹是在直线线F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2为端点向外的两条射线。为端点向外的两条射线。 M点的轨迹是线段点的轨迹是线段F F1 1

5、F F2 2的垂直平分线的垂直平分线 。结论：结论：双曲线标准方程的推导双曲线标准方程的推导-555-5F1(c,0)F2(-c,0)P(x,y)一、建立坐标系；设动一、建立坐标系；设动点为点为P(x,y)注：设两焦点之间的距离注：设两焦点之间的距离 为为2c(c0), 即焦点即焦点F1(c,0),F2(-c,0)注：注：P点到两焦点的距点到两焦点的距离之差用离之差用2a(a0)表示。表示。 二、根据双曲线的定二、根据双曲线的定义找出义找出P点满足的几点满足的几何条件。何条件。-555-5F1(c,0)F2(-c,0)P(x,y)21|2PFPFa-= -555-5F1(c,0)F2(-c,0

6、)P(x,y)三、将几何条件化为三、将几何条件化为代数条件。代数条件。根据两点的间的距离公式得：根据两点的间的距离公式得：22222()()ax cyx cy+-+= +-555-5F1(c,0)F2(-c,0)P(x,y)四、化简四、化简代数式化简得代数式化简得：22222222()()yca xaa ca-=-因为三角形因为三角形F2PF1的两边之的两边之差必小于第三边，所以差必小于第三边，所以2a2c, ac, a20于是令于是令：c2-a2=b2 代入上式得：代入上式得：b2x2-a2y2=a2b22222:1yxab-=即C2=a2+b2注意与椭圆注意与椭圆的不同！的不同！思考如果双

7、曲线的焦点在如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的轴上，焦点的方程是怎样？方程是怎样？5-5-55F2(0,-c)F1(0,c)P(x,y)22221yxab-=C2=a2+b222221yxab-=22221yxab-=双曲线的标准方程双曲线的标准方程C2=a2+b2千万别与椭圆弄混啊！千万别与椭圆弄混啊！定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c的关系的关系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab,0Fc0,Fc222cab谁正谁对应谁正谁对应 a例例1、已知双曲线的焦点为、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上，双曲线上一点一点P到到F1、F2

8、的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于8，求双曲线，求双曲线的标准方程的标准方程. 12122.13,4,25,3,30,6 ,3(4)5 0 ,(5,0),abxcbxaFFPF F练习 写出符合下列条件的双曲线的标准方程:（）焦点在 轴上（ ）焦点在 轴上（ ）焦点为 0,-6 、焦点 （， ）双曲线上一点 到的距离的差的绝对值等于8221916xy221169xy221927yx练习一练习一 判断下列各双曲线方程焦点判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？各为多少？22(1)12516yx-=22(3)4936yx-=22(4)4936yx-=

9、-22194yx-=22(2)12516yx-=22(4)149yx-=练习二练习二写出双曲线的标准方程写出双曲线的标准方程1、已知、已知a=3,b=4焦点在焦点在x轴上，双曲线的轴上，双曲线的标准方程为标准方程为 。 2、已知、已知a=3,b=4焦点在焦点在y轴上，双曲线的轴上，双曲线的标准方程为标准方程为 。 22191 6yx-=22191 6yx-=3、已知、已知a=3,b=4,双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为( )22()1916Ayx-=22()1916Byx+=2222( )11916916Dyyxx-=-=或22( )1916Cyx-=判断下列判断下列方程是否方程是否表示双

10、曲表示双曲线？若是，线？若是，求出求出 及焦点坐及焦点坐标。标。c b a, , )0, 0( 1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：答案： )0 ,6).(0 ,6(6,2, 21cba )0 , 2).(0 , 2(2,2,22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba )0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2） 是否表示双曲线？是否表示双曲线？ ) 0( 122 mnnymx表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线；轴上的双曲线；x00nm表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线。轴上的双曲线。y00nm表示双曲线，求表示双曲线，求 的范围。的范围。m11222mymx答案：答案： 。21