专题十三 共轭算子与自共轭算子

1、mTnjjmjnjjjnjjjRxaxaxaAx11211,专题十三专题十三 共轭算子与自共轭算子共轭算子与自共轭算子引例引例1 实实Rn空间中的共轭算子空间中的共轭算子分析分析: (1): (1)作映射作映射A: RnRm，则，则A是有界线性算子，是有界线性算子， 且且A的表现形式为一个的表现形式为一个m n矩阵：矩阵： mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 x=(x1,xn)T Rn, (2)(2)定义在定义在Rm上的有界线性泛函极为上的有界线性泛函极为y*,Rm的共轭空间记的共轭空间记(Rm)*, 即即 (Rm)*=y*|y*为为Rm上的有界线性泛函上的有界线性泛函

2、(Rm)*=Rm ( (R Rmm是实的是实的HilbertHilbert空间，因而是自共轭的）空间，因而是自共轭的） y* (Rm)*, y=(y1,ym) Rm, 使使 mmiiiRuyuyuuy,)(*1(Riesz表现定理表现定理) y*=y (在等距共轭线性同构意义下在等距共轭线性同构意义下), 且且njnjmiiijmiinjjijRxxxxyAxyAyAxxyayxayAxAxy ),(*)*)(*()(*(*,)(*1111其中其中TmiiijAAyayA*,*1(3)(3)不难证明，不难证明，x*=A*y*是是Rn上的上的有界线性泛函，从而算子有界线性泛函，从而算子 A*:

3、(Rm)*(Rn)*， A*y*=x*是一个有界线性算子是一个有界线性算子. 称称A*为为A 的共轭算子。的共轭算子。(4)(4)结论：在结论：在欧式空间中，欧式空间中， 算子算子A: RnRm, Ax=y表现为一个表现为一个m n矩阵矩阵A=(aij)m n， A的共轭算子的共轭算子A*: (Rm)*(Rn)*, A*y*=x*则表现为矩阵则表现为矩阵 A=(aij)m n的转置矩阵的转置矩阵AT=(aji)n m求实求实Rn空间中的共轭算子的过程图示空间中的共轭算子的过程图示yAyAxyRRxxxyAxyAyAxyAxAxyAxyyAxxRRRmnjimnjinmijnmijAnAmyaA

4、ymaAn*)(*)()(*)*)(*()(*(*,)()(*)a*)a*)(*)( （算子（算子泛函算子泛函算子 将实将实Rn空间中的共轭算子进行推广，将得到空间中的共轭算子进行推广，将得到Banah空间的共轭空间的共轭算子的概念和算子的概念和Hilbert空间的自共轭算子概念空间的自共轭算子概念1 巴拿赫空间中的共轭算子的概念巴拿赫空间中的共轭算子的概念定义定义1 (共轭算子共轭算子) 设设X、Y是线性赋范空间，是线性赋范空间，T: XY是有界线性是有界线性 算子，即算子，即T B(X,Y)，X*、Y*是分别是是分别是X、Y的共轭空间，的共轭空间， 则对则对 y* Y*, x* X*唯一唯

5、一, 使得使得 x*(x)=y*(Tx), |x*| |T| |y*| ( x X) 从而定义了一个从从而定义了一个从Y*到到X*的有界线性算子的有界线性算子T*: T*: Y*X* , T*y*=x* 则称则称T* B(Y*,X*) 为为T B(X,Y)的共轭算子的共轭算子(或伴随算子或伴随算子), 并有并有 T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 定义定义2 (二次共轭算子二次共轭算子) T B(X,Y)，T* B(Y*,X*), 有有 T* B(X*,Y*), 使使T*x*(y*)=x*(T*y*) ( y* Y) 则称则称T* 为为T*的共轭算子，或称为的共轭算子，或称为T的二次共轭

6、算子。的二次共轭算子。3) T*与与T的关系：的关系： 在讨论在讨论X和和X*的关系是得到如下关系：的关系是得到如下关系： x X, x* X*x*(x*)=x*(x), |x*|X*=|x|X, X X* T B(X,Y)，T* B(Y*,X*), 有有T* B(X*,Y*): T*x*(y*)=x*(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)*(y*) ( x X, y* Y*,有有T*y* X*,Tx Y) (Tx)*=T*x* 4) 若把若把X嵌入到嵌入到X*，把，把Y嵌入到嵌入到Y*, 即即X X*, Y Y*,则则可视可视x*=x, Tx=(Tx)*= T*x*=T*x T

7、*x=Tx, x X. *)()(xyTyXYxxTxyTxxRYXTTyTyT 算子算子泛函算子泛函算子注注: 1) T与与T*之间具有一定的对称关系之间具有一定的对称关系 2) 线性赋范空间中的共轭算子的图示：线性赋范空间中的共轭算子的图示：|x*| |T| |y*|T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 2 巴拿赫空间中的共轭算子的性质巴拿赫空间中的共轭算子的性质定理定理1 设设X、Y是线性赋范空间，是线性赋范空间，T: XY是有界线性算子，是有界线性算子，X*、 Y*分别是分别是X、Y的共轭空间，的共轭空间，T*: Y*X* 为为T的共轭算子，的共轭算子， 则则T* 一定是有界线性算

8、子，且一定是有界线性算子，且|T*|=|T| 证证 1) 证明证明T*: Y*X*是线性算子。是线性算子。 T*(y*+v*)(x)=(y*+v*)(Tx)=y*(Tx)+v*(Tx)=T*y*(x)+T*v*(x) T*( y*)(x)= y*(Tx)= T*y*2) 证明证明T*: Y*X*是有界算子。是有界算子。 |T*y*|=|x*| |T| |y*|T*是有界算子，且是有界算子，且|T*| |T|3) 证明证明|T*|=|T|。一方面，一方面，|T*| |T| 另一方面，有另一方面，有Hana-Banach定理，若定理，若T, 则存在则存在y* Y*,使得使得 |y*|=1, |y*

9、(Tx)|=|Tx| |Tx|=|y*(Tx)|=|(T*y*)(x)| |T*y*| |x| |T*| |y*| |x|=|T*| |x|T| |T*|。若若T= |T*|=0=|T| 因此因此 |T*|=|T|定理定理2 设设X、Y、Z都是线性赋范空间，若都是线性赋范空间，若T,T1 B(X,Y), T2 B(Y,Z), 则则1) ( T)*= T8； 2) (T2T1)*=T1*T2*; 3) (T1+T2)*=T1*+T2*; 4) 若若I:XX是恒等算子是恒等算子, 则则I*:X*X*也是恒等算子。也是恒等算子。 证证 1） y* Y*, x X ( T)*y*(x)=y*( Tx)

10、= y*(Tx)= T*y*(x)( T)*= T*；2) z* Z*, x X (T2T1)*z*(x)=z*(T2T1x)=z*T2(T1x)=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x) (T2T1)*=T1*T2*3) (T1+T2)*y*(x)=y*(T1+T2)(x)=y*(T1x)+y*(T2x) =T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T1*+T2*)(x) (T1+T2)*=T1*+T2*4) I*x*(x)=x*(Ix)=x*(x) I*x*=x* 定理定理3 T*是是T的延拓，且的延拓，且|T*|=|T|证证 1）X X*, y* Y*, x X, 有有T*x=TxT

11、*是是T的延拓的延拓; 由定理由定理1，|T|=|T*|=|T*|( T)*= T*；3 希尔伯特空间中的自共轭算子的概念希尔伯特空间中的自共轭算子的概念定义定义3 (自共轭算子自共轭算子) 设设H是希尔伯特空间是希尔伯特空间, T: HH是有界线性是有界线性 算子算子, 即即T B(H,H), H*是是H 的共轭空间的共轭空间, 则对则对 u H, g H*=H(自共轭性自共轭性)唯一唯一, 使得使得 g(Tx)=f(x) ( x X) 从而对上述泛函从而对上述泛函f H*, u* H唯一唯一, 使得使得 f(x)=, ( x X) 从而对从而对 u H, u* H, 使得使得 = ( x

12、X) 即定义了一个从即定义了一个从H到到H的有界线性算子的有界线性算子T*: T*: HH, T*u=u* 则称则称T* B(H,H)=B(H*,H*)为为T B(H,H)的共轭算子的共轭算子, 并有并有 = ( x X) 如果如果T*=T, 则有则有=, 这时称这时称T为自共轭算子为自共轭算子 （或自伴算子或（或自伴算子或Hermite算子）。算子）。 注注: 1) 在希尔伯特空间在希尔伯特空间H中，中，T与与T*之间仍具有一定的对称关系之间仍具有一定的对称关系 2) 希尔伯特空间中的希尔伯特空间中的(自自)共轭算子的图示：共轭算子的图示：= uTuuHHHxuxxfuTxTxguTxxRH

13、HTTgTgT*,*,)(,)(* 算子算子泛函算子泛函算子3) 由于希尔伯特空间的由于希尔伯特空间的自共轭性，有自共轭性，有H*=H, 因此此时的因此此时的T*实际实际上是上述共轭算子的特例。上是上述共轭算子的特例。例例1 设设Cn是复欧式空间，是复欧式空间，A=(aij)n n, aji= aij, I,j=1,2,n. 令令),.,()(,.,(11121niiinniiinnijnxaxaaxxxAx则则A是复希尔伯特空间是复希尔伯特空间CnCn的自共轭算子。的自共轭算子。证：证： x=(x1,xn), u=(u1,un) Cn AuxuaxuaxuxauAxuAxxAxninjjji

14、injniiijjininjjijniii,)()()()(,*,1111111所以所以A*=A, 即即A是复希尔伯特空间是复希尔伯特空间CnCn的自共轭算子。的自共轭算子。例例1 设设K(t,s)为定义在为定义在a t b, a s b上的二元平方可积函数上的二元平方可积函数，T是是复希尔伯特空间复希尔伯特空间L2a,bL2a,b的有界线性算子：的有界线性算子：,)(,)(),()(2baLsxdssxstKtTxba求求T的共轭算子与自共轭算子。的共轭算子与自共轭算子。证：证： y=y(t) L2a,b yTxdttyTtxdtdssytsKtxdsdttystKsxdsdttysxstK

15、dttytTxuTxyTxbabababababababa*,)(*)()(),( )()(),( )()()(),()()(,*,badssytsKtyT)(),()(*当当K(s,t)=K(t,s)时，时， 即即K(t,s)为实对称函数时，为实对称函数时，T*=T, 即即T 是复希是复希尔伯特空间尔伯特空间L2a,bL2a,b的自共轭算子。的自共轭算子。 即即T* 是以是以K*(t,s)= K(s,t)为核的积分算子。为核的积分算子。4 巴拿赫空间中的共轭算子的性质巴拿赫空间中的共轭算子的性质定理定理3 设设H 是希尔伯特空间，是希尔伯特空间，T: HH是有界线性算子，是有界线性算子，H

16、*=H 是是H的共轭空间，的共轭空间，T*: H*H*, 即即T*:HH为为T的共轭算子的共轭算子, 则则T* 一定是有界线性算子，且一定是有界线性算子，且|T*|=|T| 则的零空间，为值域，为为自共轭算子，设可交换，即算子。也为自共轭上的自共轭算子，则为若为实数。对为自共轭算子为复的希尔伯特空间设定理的有界线性到为为复希尔伯特空间，设定理TTTTTTTTTTTHTTxTxHXTHHHTTHi)3,)2,) 15,41221212121为自共轭算子。故得：再有为实数，则充分性，设对任意为实数。故的为自共轭算子，对任意）必要性，设证明：,)(,)(,4)(,)(,41,)(,),(),(),(4),(),(41,1*TTyTxTyxiyxTiyxiyxTiyxiyxTyxyxTyxyTxyxTyxyxyxTiyxiyxTiyxiyxTiyxyxTyxyxTyTxTxxxTxxTxHxxTxxTxTxxxTxHxT故即中任一元素，故为因，有则对任意，反之，设故中任一元素，为，而跑遍时，跑遍，当即则为自共轭算子，任取设为自共轭算子。故可交换