《高数》导数的应用

1、第三章第三章 导数的应用导数的应用教学目的要求教学目的要求 1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。 2、理解函数极值的概念。 3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调性、凹凸性；求函数的极值、最值。学习重点和难点学习重点和难点 重点重点 未定式的极限，函数的单调性、凹凸性、极值，导数在实际中的应用。 难点难点 导数在实际中的应用。 罗尔（罗尔（Rolle)定理定理xyABab12. 0)( )()( 3 )( 2 1 )( fbabfafbabaxf，使得少存在一点）内至，则在开区间（，数值相等，即在区间端点的函）可导；内，在开区间）连续；上，在闭区间）满足下列条件：若函数中值定理

2、中值定理0) 1 ( 2 01 022)( )( 10)2()0( 3) 22)( 2 0)( 2 2 0 )( 102)( 1 2 0 102)( 22fxxxfxfffxxfxfxfxxxfxxxf）内，就有，显然，在（得令件满足罗尔定理的三个条故）内可导，且，在（）上连续；，在区间的初等函数，故）上，是定义在（）解：上的正确性。，在区间数验证罗尔中值定理对函例拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)中值定理中值定理xb12ayAB。平行于弦线使得曲线在该点处的切，上至少有一点在公式改写定理的几何意义。，使得内至少存在一点，则在开区间内可导，在开区间上连续；，在闭区间）满足下列条件：如果函数

3、ABABabafbffabfafbfbababaxf )()()( )()()( )( )( 2) 1 )( 柯西（柯西（Cauchy)中值定理中值定理)()()()( 1)()()()( .)()()()()()( )()()( 3 )( 2 1 )()( baabfafbfxFabaFbFxxFABFfaFbFafbfbabaxFbabaxFxf上式就可以写成，那么注：取于两端点的连线。该点处切线平行弧上至少存在一点，在在曲线定理的几何意义。，使得内至少有一点，则在内的每一点均不为零，在）内可导；，在开区间）连续；，在闭区间上）满足下列条件：与若函数法则洛必达)(HospitalL的方法。

4、是求这类极限简便有效下面介绍洛必达法则就。能存在，也可能不存在”型的未定式的极限可”、“对“00 ”型未定式的极限“00）或），则或）；可除外）可导，且的某邻域内（点在和）；，）若( )()( )()( ()()( 3 0)( )()( 2 0)( 0)(1 limlimlimlimlim0000000AxgxfxgxfAxgxfxgxxxgxfxgxfxxxxxxxxxx)0(sinsin 1 lim0bbabxaxx是常数，且、例题babxbaxabxaxxxcoscossinsin 00 limlim00有”型，由洛必达法则，“解：30sin 2 limxxxx例题”“00) 1sin

5、( 616sin )00(3cos1 sin limlimlimlim002030 xxxxxxxxxxxxx解：23266 12333123 123 3 limlimlimlim122123312331xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：例题)1 (21 211 )1ln( )1ln( 4 limlimlimlim002020 xxxxxxxxxxxx解：例题”型未定式的极限“）或），则或）；可导，且可除外）的某邻域内（点在和；，）若()()()()( ()()( 3 0)( )(g )( )2 )( )( 1 limlimlimlim lim0000000AxgxfxgxfAxgxf

6、xgxxxxfxgxfxxxxxxxxxx)0(ln 1 limnxxnx求例题) ( 2 2limxxexx求例题01 1 ln limlimlim1nxnxnxnxnxxxxx型，由洛必达法则，有时这是解：2 2 limlimlim2xxxxxxexexe解：其他型未定式的极限其他型未定式的极限”型来解决。”型和“为“”等型的未定式，可化“”，”，“”，“”，“其他尚有“00010 00)0(ln 1 lim0nxxnx求例题型)0(0)(1lnln 0( 1lnln limlimlimlim01000nxnxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnn）时，解：)tan(sec 2 lim2

7、xxx求例题型)(0 )sincos( )cossin1()tan(sec 00 2( cossin1tansec limlimlim222xxxxxxxxxxxxxx）时，解：xxx111lim 3 求例题型)1 (1111111ln 1ln111111limlimlimlimlim 111 )00( 1ln lim ln11ln ， 1exxxxeexxxyxyxxxxxxxxxxxxx而故则设解：xxxlim0 4 求例题型)0(01 lim 0)( 11 )( 1ln ln lim lnln 0ln 002000ln ln0000limlimlimlimlimlimlimeexxxxx

8、xxxeexxxyxyxxxxxxxxxxxxxxxxxx而故则，设求例题xxx22)(tan 5 lim型)(01)(tan 0102cos222(2 )00( 2sin)2 2(2sectan1 21tanln tanln2( tanln2(ln )(tan 02222222222limlimlimlimlimlimexxxxxxxxxxxxxxyxyxxxxxxxx）（）（）而），则设解：函数的单调性函数的单调性xxyy)(xfy )(xfy AABBabab导数的正负号 判断函数的单调性单调减少。，在区间，则如果）单调增加；，在区间，则如果）内可导，上连续，在，在设函数定理)()( 0

9、)( 2)()( 0)( 1)()( baxfxfbaxfxfbabaxfy的单调区间。确定函数例题 3)( 1 3xxxf）上单调减少。，）上单调增加，在（，（）与，在区间（）结论：函数单调增加。，），在（单调减少。，），在（单调增加。，），在（），）、（，）、（，分成（的定义域则，得令，的定义域）解：1 111)( 4 )(0)( 1 )(0)( 1 1 )( 0)(1 3 11 11)( 1 1 0)( ) 1)(1(333)( 2) 3)( 1 2123xfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxxfxxxf的单调区间确定函数例题 2 32xy 32xy xy单调增加。，），在（单调

10、减少。，），在（），）及（，（）分成二个部分，把（但时，导数不存在。当，），的定义域（解：)(0)( 0 )( 0)(0 0 0 0 0 32)( )( 332xfxfxfxfxxxxfxxf的单调区间确定例题 )( 3 3xxf单调增加。）内，在（，所以外，除）内，但在（，得，令），定义域为（解：323)(0)( 0 0 0)( 3)( )( xxfxfxxxfxxfxxf3xyxy)ln(1 0)1ln( )0 ( 0)( 0)0( )( 0)( 0 1111)( )1ln()( )1ln( 0 xxxxxxffxfxfxxxxxfxxxfxxx即由此得到，单调增加，而函数，时，当设证：时

11、，当证明：函数的极值函数的极值称为极值点。值的点为极值。使函数取得极极大值与极小值统称的一个极小值。函数的是则称，均有，对此邻域内任意一点一个极大值；同样，若的是函数，则称均有，（内任意一点内有定义，若对此邻域某邻域在点设函数极值的定义 )( )( )()( )( )( )( )()( ) )( 00000000 xxfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxxxfxya1x)(1xf2x)(2xf3x)(3xf4x)(4xf5x)(5xfb点处不能取得极值。区间内部，在区间端函数的极值一定出现在）极小值大。函数的极大值不一定比体的概念。局部的概念，而不是整）极值是一个注： 3 2) 1 函数

12、极值的判定与求法 定理 （极值存在的必要条件） 0.)( )( )( 0000 xfxxfxxxf的导数在点取得极值，则函数可导，且在点在点若函数的驻点。的实根）叫做函数程使函数为零的点（即方 )( 0)( xfxf值点。却不是这函数的极点，但是这可导函数的因此值点。例如极函数的驻点却不一定是点。但反过来，的极值点必定是它的驻可导函数 0 0 0)0( .3)( .)( )( 23xxfxxfxxfxf 3xy xy 定理（极值的第一充分条件）不是极值点。不变号，）是极小值点；由负变正，那么）是极大值点；由正变负，那么）时，如果由小变大经过当的某一邻域内可导，连续，在点在点设 )(3 )(2

13、)( 1 )( 000000 xxfxxfxxfxxxxxf 求函数的极值点和极值的步骤：中求出极值。点代人函数）把极值。的增减性，确定极值点负号，从而判断出函数断导数的正区间，在每个区间上判点将定义域分成若干个用驻点及不可导列表）；的全部驻点和不可导点求出，令求导数）的定义域；求函数） )( 4 : 3 )( 0)( )( 2 )( 1 xfxfxfxfxf的极值求函数例题593)( 23xxxxf.22)3( 3 )(.10) 1( 1 )( 0)( 0301 1 0)( 0301 1 )3)(1(3)( 3) 31 0)( )3)(1(3963)( 2) )( )( 1 212fxxff

14、xxfxfxxxxfxxxxxxfxxxfxxxxxfxf处取得极小值，在同理，处取得极大值，在因而，；故，的右侧邻近时，在当；故，的左侧邻近时，在当的符号：确定，求得驻点令，的定义域函数）解： 定理（极值的第二充分条件）为极值点。分条件来判断其是否点，需用极值的第一充及不可导的驻点对于使注：极小值。取得在点，则如果）极大值；取得在点，则如果），且处有二阶导数，在点设 0)( )( 0)( 2 )( 0)( 1 0)( 0)( )( 00 00 00000 xxfxxfxfxxfxfxfxfxxf 的极值求函数例题593)( 23xxxxf.22)3( 3 )( 012636)3( 10) 1

15、( 1 )( 0126) 1(6) 1( 3 31 0)( . 66)()3)(1(3963)( 2 )( )( 1 21212 fxxfffxxffxxxfxxfxxxxxfxf值为处取得极小值点，极小在，所以当；值为处取得极大值点，极大在，所以当）；，得驻点，令，），的定义域为函数）解：的极值求函数例题 1) 1()( 32 xxf 0)0( 0 )(06)0( 4) ) 15)(1(6 2) 1(2) 1(6)( 3) 1 0 1 0)( ) 1() 1(62) 1(3)( 2 )(1 2222223212222 fxxffxxxxxxxfxxxxfxxxxxxfxf极小值点，极小值为处

16、取得在，因；，得驻点，令），的定义域为（）解：xy0111) 1()(32 xxf极值。处也没有在同理处没有极值。在所以的符号没有改变，因为；右侧邻近的值时，取当；左侧邻近的值时，取当左右邻近的符号：及在驻点导数无法判别，考察一阶，因 1 )( 1 )( )( 0)( 1 0)( 1 1 1 )( 0) 1 () 1( 5) 31 xxfxxfxfxfxxfxxxxfff极值。处也没有在同理处没有极值。在所以的符号没有改变，因为；右侧邻近的值时，取当；左侧邻近的值时，取当左右邻近的符号：及在驻点导数无法判别，考察一阶，因 1 )( 1 )( )( 0)( 1 0)( 1 1 1 )( 0) 1

17、 () 1( 5) 31 xxfxxfxfxfxxfxxxxfff的极值求例题 )2(1)( 32xxf 1)2( )( )(2 )(0)(2 )(0)(2( )(0)(222 )(2 232)2(32)( 2 3132极大值数的单调性，可知讨论得到函在该点连续，再由上面不存在，但函数时，当单调减少。，）内，在单调增加；，）内，在有极值点。在这两个区间内没，极值存在的必要条件）内的各点处，）和（，时，即在（当不存在。时，当时，当解：fxfxfxxfxfxfxfxfxfxxfxxxxfxx12y0 函数的最大值（Max)与最小值（Min）。函数的最大值和最小值数值的大小，即可得出处的函数值，比较

18、这些能的极值点和端点方法，直接求出一切可达到。的极值点和区间端点处内，只能在区间其次，最大值和最小值小值。上一定取得最大值和最，在上连续，在首先，若函数 )( )( )( babaxfbaxf最大值与最小值。上的，在求例题43141232 23xxxy7) 1 (min 142)4( max142144124342)4( 7141232) 1 ( 3414)2(12)23( )2(2)2( 2314)3(12)33( )3(2)3( 1 2 0 ) 1)(2(61266 232323212ffffffxxyxxxxy，比较各值，由于，得令解： 一般地，如果在实际问题中 1）我们确定讨论的问题存

19、在最大值或最小值。 2）函数在定义域内只有唯一的驻点，则我们就不必再去判别，就可以断定在该点处的函数值就是所要求的最大值或最小值。内的最小值。，极小值就是内的最大值，是，数在极值，是极大值就是函内，如果存在唯一的，在闭区间函数 )( bababaxf 极值的应用 例题 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计使材料最省？rVVVrVhVrSSrVrVSVrSrVrrVrSrrVrSrVhrhrSrrhhr22 2)2( 2 0 0 44 2 0 )2(224 0( 22 22 2 32323332322222 小值。处取极小值，也就是最在点，因此，故都是正数，因、，而，得令），故其中，总面积为

20、，底面积为，侧面积为，高为设底面半径为的表面积最小要使材料最省，罐头筒解：hr 例题 围建面积为512的矩形场地，一边利用原来的石条沿，其它三边需要砌新的石条沿，问场地的长和宽各为多少时才能使材料最省。x2512m)0( 5122 )(512)( xxxlxx度为因而新砌石条沿的总长米，则长为米设场地的宽为 16 (03216512 )( 16 256 05122 0)( 5122)( )( 222值。取得极小值，也是最小，）内只有一个根，区间（米）长得令取得最小值，为此，求为何值时，问题是lmxmxxxxlxxlxllx 曲线的凹向与拐点xyAPBab0 x 3 )2 )( )( 1) 的下

21、方。这弧段上任意一点切线于曲线向下弯曲的弧段位的上方；这弧段上任意一点切线于曲线向上弯曲的弧段位）是向下弯曲；是向上弯曲，曲线曲线状态不同；内一直是上升的，弯曲，的图形在函数PBAPbaxf）；内是向下凹的（下凹，方，则称曲线在意一点处切线的下内，曲线总位于其上任，若在某区间）；内是向上凹的（上凹，在切线的上方，则称曲线意一点处内，曲线总位于其上任，若在某区间定义 )()( )()( babababa 定理（曲线凹向的判定定理）)( )()( 0 )( 2 )( )()( 0 )( 1) )( )( 内是向下凹的。，在，则曲线）（内，若在）内是向上凹的；，在，则曲线）（内，若在内具有二阶导数，

22、在开区间设函数baxfyxfbabaxfyxfbabaxfy曲线下凹。由大变小，单调减少，即时，反之，曲线上凹；由小变大，单调增加，即时，说明： tan)(0)( tan)(0)( xfxfxfxf 曲线的拐点 定义 连续曲线上的上凹和下凹的分界点叫曲线的拐点。或不存在。处必然异号，拐点处拐点是分界点， 0)( )( xfxf.)( )( )( )( 4 0)( 3 )(0)( )( 2 1 00000就不是拐点，的符号相同，那么点是拐点；若就，的符号相反，那么点左右，若在）号；上判断二阶导数的正负若干区间，在每个区间义域分成的点及不存在的点将定列表：用）和不存在的点。内的实根，解出在区间，令

23、求）确定函数的定义域；）步骤：xfxxfxfxxfxxfbaxfxf 的凹向与拐点。求曲线例题 12 34xxy1 0 0 )1(121212 64 21223 xxyxxxxyxxy，得，令解： 0 0 1 1 1 0 0 0 ( 拐点拐点），（），（），yyx 注意：点。如果符号相同则不是拐是拐点，在且符号相反，则左右二阶导数存不存在时，如果在点数处一阶导数存在二阶导在点)( 1) 0000 xfxxx则不是拐点。是拐点，如果符号相同，（反，则二阶导数存在且符号相左右如果在该点二阶导数都不存在时，数、处函数连续，且一阶导在点 )( 2) 0000 xfxxx的凹向与拐点求曲线例题 )2(

24、35 xy不存在时，当解： 0 2 )2(910 )2(35 3132yyxxyxy ( 0 (2 2 )2 ( 拐点）不存在），yyx的斜渐近线。为曲线则称直线，；满足若定义 )( )( (2) )( ) 1 ( )( lim limxfybkxybkxxfkxxfxfxx 曲线的渐近线 1、斜渐近线 121 1) 1(212) 1(2) 1( 21) 1(2)( 21) 1(2) 1(2)( 22223232223limlimlimlimlimlimlimxyxxxxxxxxxkxxfbxxxxxxxfkxxxxxxx故得曲线的斜渐近线解：的斜渐近线求曲线例题 ) 1(2 23xxy 2、

25、铅直渐近线是铅直渐近线。可知，例如：为常数）线（其中渐近线，又称垂直渐近的铅直为曲线，则称直线有，或有时仅当若当定义 1 ) 1(2 ) 1(2 . )( )( ) ( 23123limxxxxxycxfycxxfcxcxcxx 3、水平渐近线xy22arctany的水平渐近线。为曲线直线为常数），则称时，若当定义 )( ()( xfycyccxfx渐近线。的两条水平曲线是，所以直线例如， arctan 2 2 2arctan 2arctan limlimxyyyxxxx的渐近线求曲线例题 )3(1 3xy是水平渐近线。又是铅直渐近线。时，有当解： 0 0 2 )2(1 2 limlimlim322yyxxyxxxx的渐近线求曲线例题 321 2xxy是水平渐近线，又是铅直渐近线。，当，当解 0 0 13 ) 1)(3(11) 1)(3(13) 1)(3(1321 : limlimlimlimlim11332yyxxxxyxxxyxxxxxyxxxxx的渐近线求曲线例题 ) 1(21 22xxy是水平渐近线又是铅直渐近线时，有当解： 21 21) 1(21 1 0) 1(21 1 222211lim