专题九 压缩映射原理及应用2

1、 压缩映射及其不动点的概念压缩映射及其不动点的概念专题九专题九 压缩映射原理及其应用压缩映射原理及其应用 压缩映射原理应用举例压缩映射原理应用举例求映射的不动求映射的不动点点 压缩映射原理压缩映射原理注：注：1）把）把“方程的求解方程的求解”问题化归为问题化归为“求映射的不动求映射的不动点点”问题问题 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方法是计算数学，分析和代数中常用的一近似解）的方法是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛顿求代数方程根时采用的切线种重要方法。例如，牛顿求代数方程根时采用的切线法。法。 2）映射的不动点：使）映射

2、的不动点：使x=Tx的的x称为称为T:XX的不动的不动点点.基本思想：基本思想：代数方程代数方程微分方程微分方程积分方程积分方程x=Tx x0 , xn+1=TxnxTx定义定义4.1 (压缩映射压缩映射) 设设X是距离空间，是距离空间，T：XX是是X上上的的自映射，如果存在自映射，如果存在01，对，对 x,y X，都有，都有 (Tx,Ty)(x,y)，则称，则称T是是X上的一个上的一个压缩映射。压缩映射。 一、压缩映射及压缩映射原理1.1.压缩映射及其不动点的定义压缩映射及其不动点的定义定义定义4.1 (映射的不动点映射的不动点) 设设X距离空间，距离空间，T：XX是是X上的上的自映射，如果

3、存在自映射，如果存在x X，使得，使得x=Tx，则称，则称x是映射是映射T的一个不动点。的一个不动点。 定理定理1 压缩映射是连续映射压缩映射是连续映射 事实上，事实上， xn X, xnx X, T:XX是压缩映射是压缩映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n)T市连续映射市连续映射2. 压缩映射原理压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，不动点原理，波兰，1922)定理定理4.1 (压缩映射原理压缩映射原理) 设设X 是完备的距离空间，映是完备的距离空间，映射射T：XX是压缩是压缩映射，则映射，则T在在X中存在唯一的不动点中存在唯一的不动点x, 即即x=Tx。证证 存在性存在性 设

4、设X完备，完备，T: XX是是压缩压缩映射，映射， 任取初始点任取初始点x0 X，构造迭代序列，构造迭代序列xn X： xn+1=Txn (n=0,1,2,) 证明证明xn是基本列是基本列, 因而是收敛列。因而是收敛列。T是压缩映射是压缩映射 , 01, 使得使得 (xn+1,xn)= (Txn,Txn-1) (xn,xn-1) 2 (xn-1,xn-2) n (x1,x0)= n (Tx0,x0) (n=1,2,) (xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+ (xn+k-1,xn+k-2)+ (xn+1,xn) ( n+k-1+ n+k-2+ n) (Tx0,x0) ( k N) 证明极

5、限点证明极限点x就是就是T的不动点。的不动点。 T是压缩映射是压缩映射T是连续映射是连续映射 xn+1=Txn , xnx, T连续连续x=Tx (n) x是是T的不动点的不动点唯一性唯一性 设设x,y都是都是T的不动点的不动点x=Tx,y=Ty (x,y)= (Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (01),(1),(1)1 (),(0000 xTxxTxxxnknnkn (xn+k,xn)0 (n) (01)xn是基本列是基本列xn收敛收敛 (X(X完备完备) )x X, 使使xnx (n)注注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件；压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件； 2

6、) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法压缩映射原理提供了映射不动点的求法迭代法迭代法: : x0 X, 令令xn=Txn-1, 则则 xn=Tnx0 (n=1,2,), x=limxn (n). 3) 3) 压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式：压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式：),(1),(lim),(00 xTxxxxxnnknkn事实上，事实上，由定理证明过程知由定理证明过程知),(1),(1)1 (),(,0000 xTxxTxxxknknnkn令令k, 有极限保号性记即得证有极限保号性记即得证 推论推论4.1 设设X是完备的距离空间，是完备的距离空间，T：XX.如果如果T在闭

7、球在闭球S(x0, r)上是压缩映射，并且上是压缩映射，并且 (Tx0, x0) (1)r (01)则则T在闭球在闭球S(x0, r) 中存在唯一的不动点。中存在唯一的不动点。分析分析 只要在闭球内构造一个迭代序列只要在闭球内构造一个迭代序列xn即可即可。证证 取初始点取初始点x0 S(x0, r)，作迭代，作迭代xn=Tn x0 (n=0,1,2,) T是是S(x0,r)上的压缩映射上的压缩映射, 且且 (Tx0, x0) (1)r (01)(x1, x0)= (Tx0,x0) (1- )r r (x2,x0)= (Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+ (Tx0,x0) (x1,x0)+(1

8、- )r+r(1- )r=r (xn,x0) r (n=1,2,) (数学归纳法数学归纳法)xn S(x0,r) (n=1,2,)唯一唯一x S(x0,r)，使得，使得x=Tx. （在（在S(x0,r)上应用定理上应用定理4.1)4.1)推论推论4.2 设设X是完备距离空间，是完备距离空间，T：XX，如果存在常，如果存在常数数 (01)及正整数及正整数n0 ，使对任何，使对任何x, y X，都有，都有则则T存在唯一不动点存在唯一不动点x，即，即x=Tx.(其中定义：其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),Tnx=T(Tn-1x),) ),(),(00yxTxTnn证证),(),(

9、),1 , 0,000yxyTxTNnXyxnn0nT 是是X上的压缩映射上的压缩映射 xxTXxn0,使使唯唯一一TxxTTxTTxTnnn)()(0001x与与Tx都是都是 的不动点的不动点x=Tx （不动点的唯一性）（不动点的唯一性） 0nT 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤：应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明说明X是完备距离空间；是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射有实际问题定义映射T:XX，使，使x=Tx； 3) 证明所定义映射证明所定义映射T是是X上的压缩映射；上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。有压缩映射原理说明不动点

10、的存在唯一性。3.3.压缩映射原理应用压缩映射原理应用例例4.1 设设f(x)在在R可导可导, 且且f(x)1, 则则f(x)在在R上有唯一上有唯一的不动点的不动点x,且且x可由迭代可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,) ( x0 R)迭迭代求得代求得.证证 R是完备距离空间，函数是完备距离空间，函数f(x)是是R到到R的一个映射，的一个映射， x1,x2 R, 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理, 有有 (f(x1), f(x2)=f(x1)-f(x2)=f( ) x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射是压缩映射 f(x)在在R上有唯一的不动点上有唯一的不动点x，对于迭代，对于

11、迭代xn+1=Txn，有，有nnxx lim例例4.2 设设f(x)在闭区间在闭区间x0-h,x0+h上可导上可导, 且且 f(x)0), 则微分方程初值问题：则微分方程初值问题：00),(yyyxfdxdyx有唯一解。有唯一解。证证 R2完备完备, 且且y(x)在在R上连续上连续, 0, 使使 =k 1, 令令 Cx0- ,x0+ =y=y(x)x x0- , x0+ , y(x)连续连续， 则则Cx0- , x0+ 按如下距离按如下距离 (y1,y2)是完备的距离空间：是完备的距离空间：xxxdttytfyxyyyyxfdxdy00)(,()(),(00 xxdttytfyxyTxxCxy

12、y0)(,()(,)(000令令)()(max),(21,2100 xyxyyyxxx) 1(),(),()()(max)()(max)(,()(,(max)(,()(,(max,max),(,)(),(2121021,21,21,21,21,210022110000000000000kyyyykxxtytykdttytykdttytftytfdttytftytfTyTyTyTyxxCxyyxyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx T是压缩映射是压缩映射唯一唯一y(x) C(x0- ,x0+ ), 使使,)(,)(,()()(),(lim)(0000 xxnnyxydttytfyxTy

13、xyxyxy例例4.3 设有线性方程组设有线性方程组如果对每个如果对每个i,),.2 , 1( ,1nibxaxinjjiji则该方程组有唯一解。则该方程组有唯一解。, 11njija证证 Rn按距离按距离是完备的距离空间是完备的距离空间.iiniyxyy121max),(TxbAxxnibxaxnibxaxinjjijiinjjiji),.2 , 1( ,),.2 , 1( ,11则则T是是Rn到到Rn的映射的映射, 可以证明，可以证明，T是压缩映射，因而存是压缩映射，因而存在唯一不动点在唯一不动点x, 使得使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。即原方程组有唯一解。事实上，事实上， x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,xn(k) )