圆的标准方程 人教试验修订本

1、圆的标准方程圆的标准方程OXY求：圆心是求：圆心是C(a,b)，半径是，半径是r的圆的方程。的圆的方程。xCMrOy解：解：设设M（x，y）是圆上任意一点）是圆上任意一点则则 |MC|=r 又两点间的距离公式：又两点间的距离公式：rbyax22）（）（两边平方得两边平方得（x-a）2+（y-b）2=r2圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r的圆的方程的圆的方程圆标准方程圆标准方程 的特点：的特点： 2、确定圆的方程必须具备三个独立、确定圆的方程必须具备三个独立条件。条件。 1、明确给出圆心和半径，其中圆心明确给出圆心和半径，其中圆心(a,b)定位定位,半径半径r0定大小。定大小。注注：确定

2、确定a、b、r，可以根据条件利用，可以根据条件利用待定系数法来解决。待定系数法来解决。222)()(rbyax特例：圆心在原点的圆的方程为特例：圆心在原点的圆的方程为x2+y2=r2.练习练习1 1：写出下列各圆的标准方程。写出下列各圆的标准方程。1 1、圆心在点、圆心在点C(3,4),C(3,4),半径是半径是 3 3、经过点经过点P(5,1),P(5,1),圆心在圆心在C(8,-3)C(8,-3)2、圆心在点（、圆心在点（-1，-2），半径是），半径是981)2() 1(22yx25)3()8(22yx55)4() 3(22yx例例1 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确:（1）圆圆(

3、x-1)2+(y-2)2=3的圆心坐标是的圆心坐标是 （-1，-2），半径是半径是3. (2)圆圆(2x-2)2+(2y+4)2=2的圆心坐标为的圆心坐标为 (2，-4)，半径为，半径为 (3)圆圆(x+1)2+(y+2)2=m2(m0)的圆心坐标的圆心坐标 为为(-1，-2)，半径为，半径为m.2221），半径，圆心（ 圆心圆心(-1,-2),半径半径m2圆心圆心(1,2),半径半径3CyxO例2:求以（，）为圆心求以（，）为圆心，并且，并且和直线和直线x-4y-相切的圆的方程相切的圆的方程.解解: : 因为圆因为圆C C和直线和直线x-4y-7=0 相切相切 所以圆心所以圆心C C到这条直

4、线的距离等到这条直线的距离等于半径于半径r r 根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得| 31 43 7 |32+(-4)2=516r =因此，所求圆的方程是因此，所求圆的方程是 25256) 3() 1(22yx练习练习2：2、以、以C（,-）为圆心，分别求与）为圆心，分别求与x轴，轴，y轴相切的圆的方程轴相切的圆的方程.1 1、已知一个圆的圆心在原点，并、已知一个圆的圆心在原点，并与直线与直线4x+3y-70=04x+3y-70=0相切的圆方程相切的圆方程C(1，-2)yxOyxOC(1，-2)当点当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用在坐标轴上时，可以验证上面方程同样

5、适用. 例例3：已知圆的方程是已知圆的方程是 ,求经求经过圆上一点过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM),(00yxMyxO 所求的切线方程是所求的切线方程是因为点因为点M M在圆上在圆上, ,所以所以经过点经过点M M的切线方程是的切线方程是 解解: :设切线的斜率为设切线的斜率为k,k,则则k=k=200ryyxx22020ryxOMk100 xykOMoyxk0)(0000 xxyxyy因为因为,所以所以分析二：设分析二：设P(x，y)是切线上任一点。连是切线上任一点。连OM，OP，根据勾股定理可得：根据勾股定理可得：OM2+MP2=OP2再利用再利用两点

6、间距离公式也可求得切线方程为两点间距离公式也可求得切线方程为 xx0+yy0=r2分析三分析三:设设P(x，y)是切线上任一点。连是切线上任一点。连OM，由由OMMP可知，可知，化简得切线方程为化简得切线方程为 xx0+yy0=r2M(x0,y0)OXYP(x,y)0 MPOM练习练习:1、写出过圆上一点写出过圆上一点(2，)的的切线方程。切线方程。2、从圆、从圆 外一点（，）向外一点（，）向该圆引切线，求切线方程。该圆引切线，求切线方程。 x+3y=10 或 3x-y=1061062yx1022yx1022yx例、某圆拱桥的一孔例、某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为圆拱，其跨度为20m，高，高度为

7、度为4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求需用一个支柱支撑，求较长支柱的长度。较长支柱的长度。如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该该圆拱的跨度圆拱的跨度AB=20m,拱高拱高OP=4m，在建造时，在建造时每隔每隔4m需用一需用一个支柱支撑，个支柱支撑，求支柱求支柱 的长度的长度。（精确到。（精确到0.01m）22PABAOPA3A2P2A4A1解：建立坐标系如图所示解：建立坐标系如图所示yxPoxy2AAB2P3A4A1A(0,b).0 ,10(),4 , 0(, 的坐标为依题意点BP代入圆的方程得代入圆的方程得222)4(0rb222)0(1

8、0rb.5 .14, 5 .1022rb2225 .14)5 .10( yx所求圆的方程为)(86. 322myxP代入得的横坐标把(因为因为y0)答答：支支柱柱A2P2的的长长度度约约为为3.86m。设圆心坐标为设圆心坐标为(0,b),半径为半径为r,222)(rbyx则圆的标准方程：则圆的标准方程：、已知两点、已知两点A（4，9）和和B（6，3）求以为直经的圆的方程。求以为直经的圆的方程。、已知圆的方程是求、已知圆的方程是求:（）斜率等于（）斜率等于1的切线的方程。的切线的方程。（）在（）在y轴上截距是轴上截距是 的切线的方程。的切线的方程。、求过点求过点（5，15）向圆向圆所引的切线方程

9、。所引的切线方程。随堂练习随堂练习2122yx2522yx分析（轨迹法）分析（轨迹法）：在圆上任在圆上任取一点取一点M(x,y)连，连，为直径的圆的方程。求以，）（引申：已知两点AByxByxA),(,22110 BMAMM(x,y)BMAMyO0)()(2121yyyyxxxx得则则即即回回2、已知圆的方程是、已知圆的方程是x2+y2=1求求:(1)斜率等于斜率等于1的切线的方程。的切线的方程。(2)在在y轴上截距是轴上截距是 的的切线的方程。切线的方程。2yxO（，）（，）22 xy2xy、求过点（，）向、求过点（，）向的圆所引的切线的圆所引的切线方程。方程。2522yxyxO（，）（，）)(0, 0YXM解解：经验证点经验证点A在已知圆外，设所求切线在已知圆外，设所求切线的切点为的切点为M（x0，y0），则切线方程为：则切线方程为：x0 x+ y0 y=25又点又点A在切线上，所以：在切线上，所以：5x0+15 y0=25 252020 yx