第七章应力状态分析

1、应力状态分析应力状态分析1 maxmaxw sin2cos222xyxyx cos2sin22xyx xxxxyyyy上一讲回顾上一讲回顾 应力的点和面的概念应力的点和面的概念 应力状态、应力状态的研究对象、研究方法应力状态、应力状态的研究对象、研究方法 应力转轴公式应力转轴公式 让材料远离截面中性轴让材料远离截面中性轴; 合理安排约束与合理安排约束与加载方式加载方式; 增加约束增加约束; 合理选取材料合理选取材料. 减小梁的跨距减小梁的跨距; 应力状态分析应力状态分析2上一讲回顾上一讲回顾ABRx KM(,)xxD () 2xy () 2xy (,)yyE02 FoC应力圆的画法：应力圆的画

2、法：1）建立坐标系；）建立坐标系；2）由）由x面和面和y面的应力找点面的应力找点3）确定圆心、半径作应力圆）确定圆心、半径作应力圆应力圆点与微体面对应关系应力圆点与微体面对应关系1）点面对应）点面对应2）转向对应）转向对应3）二倍角对应）二倍角对应y y x x 应力状态分析应力状态分析3思考题：试分析下列平面应力杆件中思考题：试分析下列平面应力杆件中A点的应力点的应力0A点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆应力状态分析应力状态分析4一、平面应力状态的极值应力一、平面应力状态的极值应力7-3 7-3 极值应力与主应力极值应力与主应力yyxxxyx-yx-y坐

3、标系坐标系P yP xpypxx xp p-y-yp p坐标系坐标系x x -y-y 坐标系坐标系yxyxxy 同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？应力状态本质的表达形式？应力状态分析应力状态分析5如何确定微体内最大与最小正应力？最大与最小切应力如何确定微体内最大与最小正应力？最大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？微体内最大正应力与切应力方位？o x xD y yE EC( x+ y)/2 H HH H ( ( ,

4、 , ) ) H HF( ( x- y)/2 sin2cos222xyxyx cos2sin22xyx 应力转轴公式应力转轴公式应力状态分析应力状态分析6 sin2cos222xyxyx cos2sin22xyx 方法一：解析法（求三角函数极值）方法一：解析法（求三角函数极值）2max2min22xyxyxd0d2sin2cos202xyx02tan2xxy 微体内最大与最小正应力：微体内最大与最小正应力：最大与最小正应力作用面切应力为零。最大与最小正应力作用面切应力为零。00应力状态分析应力状态分析72max2min2xyx 微体内最大与最小切应力微体内最大与最小切应力及其作用面对应的正应力

5、：及其作用面对应的正应力：最大与最小正应力作用面：最大与最小正应力作用面：d0d2cos2sin202xyx1tan22xyx02tan2xxy 1tan22xyx011tan2tan2 10412xy sin2cos222xyxyx cos2sin22xyx 应力状态分析应力状态分析822minmax2xyxCK 22minmax22xyxyxCAOC yxxCFDF 2tan20yxxxBFDF maxmin0tan方法二：图解法（利用应力圆）方法二：图解法（利用应力圆）ABRx KMmax D (,)xxD () 2xy () 2xy (,)yyE0 02 FoC2,20应力状态分析应力

6、状态分析9按比例尺画出应力圆按比例尺画出应力圆 图解法：图解法：110cmMPa最大正应力点在最大正应力点在D D点，进行测量；点，进行测量；最大切应力点在最大切应力点在E E点，进行测量；点，进行测量；对对A A、B B两截面的夹角进行测量两截面的夹角进行测量max53MPamax22MPa2 CB(40,20)A(15,15)DE例：平面应力状态下，物体内一例：平面应力状态下，物体内一点点O O在在A A、B B两截面上的应力如图所两截面上的应力如图所示，试求该点的最大正应力和切示，试求该点的最大正应力和切应力及应力及A A、B B两截面的夹角两截面的夹角 36BA40MPa20MPa15

7、MPaO15MPa应力状态分析应力状态分析10 x1515cos2(90)15sin2(90)402215sin2(90)15cos2(90)202xxBxBMPaMPa解析法解析法：构造如图所示微体：构造如图所示微体 15MPa15MPa15MPaOyABx4735.5xMPa两个未知数，两个未知数， 两个方程，求解得：两个方程，求解得：22max()52.922xyxyxMPa故：故：22max()21.92xyxMPa应力状态分析应力状态分析11ABRx KMmax D (,)xxD () 2xy () 2xy (,)yyE0 02 FoC思考：思考：对于平面应力状态：对于平面应力状态：

8、是否一定存在正应力为是否一定存在正应力为零的面？零的面？切应力最大与最小的面，切应力最大与最小的面，正应力有什么性质？正应力有什么性质？是否一定存在切应力为零是否一定存在切应力为零的面？如果有，有几个？的面？如果有，有几个？正应力最大与最小的面，正应力最大与最小的面，切应力有什么性质？切应力有什么性质？应力状态分析应力状态分析12二、主应力二、主应力 主平面主平面切应力为零的截面切应力为零的截面主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力主应力符号与规定主应力符号与规定 321 主平面微体主平面微体相邻主平面相互垂直，相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体构成一正六面形微体（按代数值排列）（按

9、代数值排列）1 2 3 应力状态分析应力状态分析13应力状态分类应力状态分类: : 单向应力状态单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态：三个主应力均不为零的应力状态复杂应力状态复杂应力状态: : 二向与三向应力状态二向与三向应力状态思考：下列那个应力状况（态）一定是二向应力状态？思考：下列那个应力状况（态）一定是二向应力状态？ xy应力状态分析应力状态分析14 Cmaxt, Dmaxc, minmax0 231 ,四、纯剪切

10、状态的最大应力四、纯剪切状态的最大应力 o( () )0,A ( () )0,B CD三、单向拉伸时的最大切应力三、单向拉伸时的最大切应力 FFmax45 ,maxC ,maxt 45 应力状态分析应力状态分析15低碳钢圆轴扭转时滑移与剪断发生在低碳钢圆轴扭转时滑移与剪断发生在 max的作用面的作用面：铸铁圆轴扭转时断裂发生在铸铁圆轴扭转时断裂发生在 max 的作用面的作用面：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理： 2. 2. 如果两端再加上一些拉力，则断裂面的角度大于如果两端再加上一些拉力，则断裂面的角度大于 还是小于还是小于4545？AB思考：思考：1. 1.

11、 如何扭才能造成上图所示的断裂面？如何扭才能造成上图所示的断裂面？A A 还是还是B B？应力状态分析应力状态分析16()222max2min80MPa105010 5030 340MPa2222xyxyx解：解：1.解析法解析法10 MPax 50 MPay30 3MPa=51.96MPax例例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向1030 350单位：单位：MPa应力状态分析应力状态分析17例例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向1.解析法解析法(续续)min40MPamax80MPa02tan23x

12、xy 0602120问题：问题：哪一个解是正确的？哪一个解是正确的？060 根据对应切应力所指方向可判断根据对应切应力所指方向可判断 的方向的方向11030 35013又解：又解：试比较两个求试比较两个求 的公式的公式00minmaxtan3xxxy 060 应力状态分析应力状态分析18（2）量量A、B两点坐标，两点坐标，BD的方位角得的方位角得1=80MPa3=40MPa060 2.图解法图解法（1）在在坐标系画上坐标系画上()()10,51.96 ,50, 51.96DE两点，联结两点，联结DE，以，以DE为直径作应力圆为直径作应力圆maxABCDDE020应力状态分析应力状态分析19一、

13、三向应力圆一、三向应力圆 2b 3 1 3acd 2b 1 3 1acd 1 2 3 2 o7-4 7-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力xyzxyz 1 2 3三向应力状态应力圆三向应力状态应力圆 2 1 3应力状态分析应力状态分析20ABCoxzy 1 2 3 3 2 1 二、二、其它任意斜截面上的应力其它任意斜截面上的应力AABC 1 3 2 n n2222221232222222123coscoscos1coscoscoscoscoscosnnn任意斜截面的应力值位于任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内三向应力圆的阴影区内pxpzpyp应力状态分析应力状态分析21二

14、、二、 最大应力最大应力 3 2 1 A max= 1 min= 3 max=( 1- 3)/2 一点处的最大与最小正应力分别一点处的最大与最小正应力分别 为最大与最小主应力；为最大与最小主应力； 最大切应力位于与最大切应力位于与1及及3均成均成45450 0的截面的截面 以上结论对于单向与二向应力状态均成立以上结论对于单向与二向应力状态均成立2223222221232221coscoscoscoscoscosnnn 应力状态分析应力状态分析22ABCoxzy 1 2 3三、八面体切应力三、八面体切应力与三个主平面成等倾角的斜截面上的与三个主平面成等倾角的斜截面上的切应力切应力与材料破坏有关与

15、材料破坏有关 共有共有8 8个这样的平面，形成一个八面体个这样的平面，形成一个八面体12383 2223222221232221coscoscoscoscoscosnnn 2221coscoscos3应力状态分析应力状态分析23例例 图示单元体最大切应力图示单元体最大切应力 作用面是图作用面是图_ABCD1005050单位：单位：MPaB答：答：应力状态分析应力状态分析24o1005010050例例 试作图示平面应力状态微体的三向应力圆。试作图示平面应力状态微体的三向应力圆。单位：单位：MPa 最大剪应力为多少？最大剪应力为多少？ 注意区分面内最大剪应力与所有方向面中的最大剪注意区分面内最大剪

16、应力与所有方向面中的最大剪应力应力 一点处的最大剪应力一点处的最大剪应力最大剪应力最大剪应力231max oadcbe2 p 1 1 2 23 max应力状态分析应力状态分析25o100100100例例 试作图示平面应力状态微体的三向应力圆。试作图示平面应力状态微体的三向应力圆。单位：单位：MPa应力状态分析应力状态分析26练习：画三向应力圆练习：画三向应力圆40MPa60MPaxy80MPaz应力状态分析应力状态分析277-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律xxxyyy纯剪应力状态的胡克定理：纯剪应力状态的胡克定理：单向应力状态的胡克定理：单向应力状态的胡克定理： E G 如何确定复杂应力

17、状态下，应力与应变关系如何确定复杂应力状态下，应力与应变关系？xyxyyxxGEE ？应力状态分析应力状态分析28xy xyxxxyyy研究方法：利用（变形）叠研究方法：利用（变形）叠加原理，由单向受力和纯剪加原理，由单向受力和纯剪状态的胡克定理推导复杂应状态的胡克定理推导复杂应力状态的广义胡克定律力状态的广义胡克定律xxyyxxxyEE =+yyyxEE x yx yG ( () )( () )11yxxxyyxyyxx yx yEEEEEEG 应力状态分析应力状态分析29 平面应力状态的广义胡克定律平面应力状态的广义胡克定律( () )( () )11xxyyyxxyxyEEG 三向应力状

18、态的广义胡克定律三向应力状态的广义胡克定律 以上结果成立的条件：以上结果成立的条件：各向同性材料；各向同性材料；线弹性范围内；线弹性范围内；22()1()1xxyyyxxyxyEEG 小变形小变形. .( () )( () )( () )111yzxxxyzyzxyyzxyzxzzxyEEEEEEEEEEEE /x yx yy zy zx zx zGGG 或或应力状态分析应力状态分析30zyx123二、主应力与主应变的关系二、主应力与主应变的关系GGGEEEEEEEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxx/ )(1)(1)(1213331223211 EEE)()1(1)()1(1)()1(1213333122232111 EEE1 2 3切应变为零，坐标切应变为零，坐标x,y,zx,y,z的方向即为主应变方向。的方向即为主应变方向。结论：主应力方向与主