方差分析培训教材

1、 一 方差分析的意义 工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量上下，由诸多因素造成。如农业生产中 ，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反响温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下水平起的作用大。方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。 试验指标：在试验中要考察的指标称为试验指标。 因素：影响试验指标的条件称为因素。 可控因素： 如，反响温度，原料剂量，浓度。 不可控因素：如，测量误差，气象条件等。 水平：因素所处状

2、态称为因素的水平。 单因素试验：试验中只有一项因素在改变称为单因素试验。否那么就称多因素试验。 例1 设有三台机器，用来生产规模相同的铝合金薄板,取样测量薄板至千分之一厘米，得结果如下表所示； 机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.258 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 x = 0.242 x = 0.256 x = 0.262 这里，试验指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的三台机器是这个因素的三个不同的水平。试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著差异。

3、 例2 下面列出了随机选取的，用于计算器的四种类型的电路的响应时间以毫秒计。 表9.2 电路的响应时间 类型1 类型2 类型3 类型4 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 16 19 18 27 26 15 40 17这里，试验指标是电路的响应时间。电路类型为因素，这一因素有四个不同的水平。试验的目的是为了考察各种类型的电路的响应时间有无显著差异。 二 单因素试验 在例 1 中，我们在因素的每一个水平下进行了独立试验，其结果是一个随机变量。表中的数据可看成来自三个不同总体的样本值。将各个总体的均值依次记作1 , 2 , 3,按题意需检验假设 H0 ： 1 = 2 = 3

4、 H1 ： 1 , 2 , 3 不全相等。现在假设假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题。 设因素A有s个水平A1 , A2 , , As, 在水平Aj (j=1,2, s)下，进行了nj (nj2) 次独立试验，得到如下表的结果 表9.4 水平观察值 A1 A2 As x11 x12 x1s x21 x22 x2s xn1 1 xn2 2 xns s 样本总和 T. 1 T. 2 T. s 样本均值 . . . 总体均值 1 2 . . . s1 .x2 .xsx. 我们假定：各个水平Aj (j=1,2,s)下的样本x1j , A2

5、j , , Anj j 来自具有相同方差s2，均值分别为j(j=1,2,s)的正态总体N (j,s2) , j与s2未知。且设不同水平Aj 下的样本之间相互独立。 ), ,( 2sjijNx由于), 0( x2ijsNj即有可写成则记可以看成随机误差故ijijjijjijxxx, .s, . 1,2,j ; n , . 1,2,i ,jijjijx), 0(2sNij独立，各 ij) 1 (其中mj与s2均为未知参数，1式称为单因素试验方差分析的数学模型。 方差分析的任务是对于模型1： 10 检验s 个总体N (m1,s2), , N (ms,s2)的均值 是否相等 H0 ： 1 = 2 =

6、= s , (2) H1 ： 1 , 2 , , s 不全相等。 20 作出未知参数1 , 2 , , s ,s2的估计。(3) n1 1sjjjn记 , nn 1j称为总平均。再引入其中sj(4) s, . 1,2,j ,jj的效应。称水平此时有jssAnnj2211 , 0.n 利用这些记号，模型1可改写成 ,ijjijx), 0(2sNij独立各 ij) 1 (sjjjjsjnin1. ,.,2 , 1,.,2 , 1, 0而假设2等价假设 H0 ： 1 = 2 = = s = 0 (2) H1 ： 1 , 2 , , s 不全为零。这是因为当且仅当1 = 2 = = s 时, j =

7、,即 j =0. 三 平方和的分解引入总平方和(5) )(S 112Tsjniijjxx(6) 1x 11sjniijjxn其中(7) 11.jniijjjxnx是数据的总平均。 ST 又称总变差。记水平Aj下的样本平均值为 ，即jx.那么有sjniijjxx112T)(S sjnijjijjxxxx112.)()(sjnijijjxx112.)(sjnijjxx112.)(sjnijjijjxxxx11.)(2sjnijjijjxxxx11.)(2 而sjnijijjjxxxx11. )()(2. 0)(211.sjnijjijjjxnxxx于是我们将ST分解成为：(8) , S TAESS

8、 其中(9) )(112.sjnijijEjxxSsjnijAjxxS112.)(sjjjxxn12.)(sjjjxnxn122.(10) 上述SE的各项表示在水平Aj 下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差引起的, SE称误差平方和误差平方和。而SA 的各项表示在水平 Aj 下样本平均值与数据总平均的差 异，这是由水平Aj及随机误差引起的. SA称效应平方和效应平方和。 三 SE ，SA 的统计特性(11) .)( . )(12.121 .11snisisniiExxxxS故有倍的的样本方差是总体注意到,1),()(212.jjnijijnNxxjsjnijjijnxx1222.).

9、1(/)(s分布的可加性知由）式中各平方和独立，独立，故（因各211ijx,) 1(/122sjjEnSs(12) ),(/ 22snSEs即的自由度为式还知，由这里E1jS(12). nn sj个变量是的统计特性，因我们研究sSSAA ,且有sn (13) .)()E(S 2Essn 一个线性约束条件有的平方和，它们之间仅（),.,2 , 1)(.sjxxnjj)(.1xxnnjjsjj)(.1xxnjsjj, 011xnnxsjjniijj且可证的自由度是故知. 1sSA(15) .) 1()(122sjjjAnsSEs(16) ).1(/S 22A0sHSSEAs为真时独立，且当与还可证

10、假设检验问题的拒绝域四、 (17) ,)1SE( 152A0ssH 为真时）式知，当由（(18) 1-s1)1SE( , 02s1j22A121ssjjsjjjnsnH此时为真时，而当(19) ,)SE( 132Es sn）式知，又由（的偏估计。都是是否为真，即不管20)/(ssnSHE的特性，综上所述，根据分式)/() 1/(snSsSFEA)., 1()/() 1/()/() 1/(22snsFsnSsSsnSsSEAEAss为真时，确定。当由显著性水平其中的拒绝域具有形式）知检验问题（0 )/() 1/( 2HkksnSsSFEA(20) ), 1()/() 1/( 2snsFsnSsS

11、FEA的拒绝域为）由此得检验问题（单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A SA s-1 误差 SE n-s 总和 ST n-11sSSAAsnSSEEEASSF sjniijniijjjxTsjx11.1.j,.,2 , 1,T 记简便公式计算。在实际中，可用下面的即有(21) . ,s1j2.12.22.11112.222ATEsjjjjjAsjnisjniijijTSSSnTnTxnxnSnTxxnxSjj，完成这一假设。试取不全相等。中需检验假设如上所述，在例例05. 0 ,:H , :H 1 4 32113210,15, 5n3,s 321nnn现在解31

12、5122.2.00124533. 015/)8 . 3(963912. 015jiijTTxS00105333. 015/(3.8)- )31. 128. 121. 1 (5122222.32.nTnTSjjjA.000192. 0SEATSS,12, 21,141,STsnsnSSEA的自由度依次为单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A 0.00105333 2 0.00052661 32.92 误差 0.000192 12 0.000016 总和 0.00124533 14板厚度有显著差异。认为各台机器生产的薄下拒绝故在水平因,05. 0,92.3289. 3

13、)12, 2(F 00.05H 五、 未知参数的估计 我们已经知道，不管H0是否为真snSE2s式知的无偏估计。又由是)7(),14(2ss.1,2,.,j ,)(1)xE( ,)xE(1.jjniijjxEn的无偏估计。，分别是故jjx.j , x 不全为零，由于则效应又若拒绝s,.,H210的无偏估计。是知jjjjxx.j s1,2,.,j , 的估计。可证的均值差和时，常需作出两总体当拒绝kjkjkjNNss),(),(H 220).(11)()x(.jsntnnSxkjEkjk(22) .11)(x 12/.jkjEkkjkjnnSsntx的置信区间为的置信度为据此，可得均值例例5 求

14、例4中的未知参数s2, j, j(j=1,2,3)的点估计及均值差的置信度为0.95的置信区间。(),242. 0 ,000016. 0/112xsnSEs,262. 0 ,256. 03322xx,011. 0 ,253. 011xxx.009. 0 ,003. 03322xxxx均值差的区间估计如下。由t(n-s)=t)11()12(025. 0kjEnnSt006. 05210161788. 26故 u1-u2, u1-u3, 及u2-u3 ),008. 0,020. 0()006. 0256. 0242. 0(),014. 0,026. 0()006. 0262. 0242. 0().0 ,012. 0()006. 0262. 0256. 0( 例6 设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态且各总体的方差相同。又设各样本相互独立。试取水平0.05,检验各个类型电路的响应时间是否有显著差异。 解 分别以 1, 2, 3, 4, 记类型I, II, III, IV四种电路响应时间总体的平均值。我们需检验() H0: 1 = 2 = 3 = 4, H1: 1 , 2 , 3 , 4, 不全相等。现在 n=18, s=4, n1 = n2 = 5, n4= 3,44.71418386899218224112TxSjniijTj2222