三角函数典型例题分析

1、03600间的三角函数典型例题分析2弧度制.典型例题分析2.任意角的三角函数典型例题分析一.4.任意角的三角函数典型例题精析二6同角三角函数的基本关系式典型例题分析诱导公式典型例题分析用单位圆中的线段表示三角函数值典型例题分析三角公式总表正弦函数、余弦函数的图象和性质典型例题分析26函数y=Asin(wx+j)的图象典型例题分析正切函数、余切函数的图象和性质典型例题分析已知三角函数值求角典型例题分析全章小结高考真题选讲例1 角函数.如图 2-2 : 丁 x=3a, y=-4a , a/(3a)3 +(-4a)2 = -5a7tg 口 = 一 =-X一,cos =5r4xctgQ =-=3y35

2、340360间的三角函数典型例题分析已知角a的终边经过点P(3a,-4a)(a0,00a360),求解a的四个三例2求315的四个三角函数.解如图2-3,在315角的终边上取一点P(x,y)设OP=r,彳PM垂直于x轴，垂足是M,可见/POM=45于是可得：聂=乌0y=_乌0因此，sind=cosQ22r2其镜yx=-1=*电Q=一=,ctgQ=-r2xy注：对于确定的角a,三角函数值的大小与P点在角a的终边上的位置无关，如在315。的角的终边上取点Q(1,-1),计算出的结果是一样的.弧度制典型例题分析例1将112。3Q化为弧度,将彳三弧度化为度.解T=总弧度1oU5112。30=赤乂112

3、.5弧度二胃孤度.loUO(2)弧度二(竺常5%改士5霏130n适弧度=sx一)1212冗角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表.角度15B30B45B6075B90B120fl1350150弧度071n7167147135712n22uT3n1T角度剑210225240271r300315,330B360强度血65m74tiT3n15uT7mTlluT2%将下列各角化成2k:t+a(kCZ,0&a十工667r，当与?的终边相同。而?是第三象限的角，6.空是笫三象限的角.6；-，冗=6兀兀与,的终边相同6666它是第二象限的角.注意：用弧度制表示终边相同角2ktt+a(kCZ)时，是冗的偶数倍，而

4、不是冗的整数倍.例3已知Q二丁则点P口a.tgU)所在的象限是OA.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限解,.a=0,tga0因此点P(sina,tga)在第四象限，故选D.例4集合M=x|k=V+。kZ)f乙1N=(x|x=+JkEZ),则有r乙A.M=NB.MdNC. McND.MAN=0解 : M集合是表示终边在第、四象限的角平分线上的角的集合.N集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合.故选C任意角的三角函数典型例题分析例1已知角a的终边上一点P(-15a,8a)(aCR,且aW0),求a的各三角函数化分析根据三角函数定义来解解二5Q,y

5、=夫0)15若QO,则r = 17Qi于是$m口 =151715pyi cosa , tgCl =-17ctgd = -, sec。= -, esc Cl =O1JoQ15若口0,则r=-17U.于是sina=-cosCL=,tgCl=-151517Y1Ctgd =,*c。= CSC Cl =- o1 0例2当口为第二彖限角时,A. 1sinof| cos 仪Sill Ct|cosoi|的值是0 C .2D. -2解当Q为第二彖限时，smQO,_.L an acosCl 0,且cosa0,；2a在第一或第二象限，即2k兀2a2k兀+兀，kCZ)AkKakJT+pkEZ)当k为偶数时，设k=2m

6、(MEZ),有2m兀+：(mZ)有乙当k为奇数时，设k=2m+1(nZ)有2加兀+兀。而兀+亨仙6Z)乙；a为第一或第三象限的角又由COSa0可知a在第二或第四象限.综上所述，a在第三象限.例4求下列函数的定义域尸tgx+阚厂TaiK+tgx解齿的定义域为冲ER且m丸兀+，长2,喀的定义城义域为x|xeR且xwk九，kCZ(x|xR且xrkn+，kEZA(x|xR且x卢k兀kZ)k元,=因在R且芯声一,kZ):函数y=tgx+ctgx的je义域是2Wnx)0 xrkn+gaEZ)得F2knx (2k+ 1)冗 笈,2k兀 ;低Z)冗，2k兀x(2k+1)兀且笈卢2k兀+-(kGZ)，定义城为陈

7、兀,2k兀+jU(2k兀+，(2k+l)兀做Z).说明本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域.例5计算(1)a2sin(-1350)+b2tg405-(a-b)2ctg765-2abcos(-1080)(2)sin(-)+cos兀*tg4兀-sec653分析利用公式1,将任意角的三角函数化为02冗问(或0。3600问)的三角函数，进而求值.解(1)原式二a2sin(-4X360+90)+b2tg(360+45)-(a-b)2ctg(2X360+45)-2abcos(-3X360)=a2sin900+b2tg45-(a-b)2ctg45-2abco

8、s0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0(2)原式二弘口(-2兀+y)+cos-r-tgO-sec(4+孑)=-26332K7T3=sin-sec-=-632任意角的三角函数典型例题精析二例1下列说法中，正确的是A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角C.小于90的角是锐角D. 0到90的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、”小于90。的角”和“0到90的角”.在角的概念推广以后，这些概念容易混淆.因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键.【解】第一象限的角可表示为9|k-3600890+k360,kCZ,锐角可表示为9|008

9、90,小于90的角为8|890,0至U90的角为9|00990.因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故（A）,（C）,（D）均不正确，应选（B）.例2已知sin。，cosQ0,sin。闻口0,那么彳,2Q,（90a）分别是第几象限角？【分析】由sinacosa0,所以a在二、四象限；由sinatana0,所以a在二、三象限.因此a为第二象限的角，然后由角a的集合正确地写出2Q和（9Q。.Q）的集合是解题的关稳【解】（1）由题设可知a是第二象限的角，即90+k360a180+k360(kCZ),45+k*Wy90+k180(kEZ).J终为偶数时,;是第一象限的角；当k为奇数时，

10、:是第三象限的角.乙乙所以5是第一或第三象限的角.(2)因为180+2k36002a360+2k360(kZ),所以2a是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.(3)解法一：因为900+k-3600a180+k360(kZ),所以180-k360-a90-k360(kZ).故一90k36090a-k-360(kZ).因此90a是第四象限的角.解法二：因为角a的终边在第二象限，所以一a的终边在第三象限.将一a的终边按逆时针旋转90,可知90a的终边在第四象限内.【说明】在确定形如a+k-180角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；确定象限时，a+kjt与ak:t是等效的.例3已知集合E=

11、81cos0sin0,002tt,F=0|tan0sin0,那么EPF是区间及卜兀B3冗1,m-)口【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况.可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断.用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易.(7T5元【解法一】由正、余弦函数的性质，E=y0IIT不JTTT在的葩围内，使tan0如8成立的8为58兀,I乙所以ECIF=曜。兀选.【解法二】由1位中的正弦线人口正切线容易看出，对于二、四象限的角，ATMP即tanasin0,由正弦线和余弦线可看出，当g8OM,即加8陇8,所以小=卜曰85也

12、下，可排除.曲an-sin丁*可排除(C),，得A.3566【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有ATMP即tan9sin9,所以(B),(C),(D)均不成立.用排除法也有些别的方法，可自己练习.例4(1)已知角a终边上一点P(3k,4k)(k0),求sina,cosa,tana的值；己知角。的终也上一点P的坐标为(Y，y)(#0),J5且E。二彳),求点P到原点的距离和CM。，tan。，cotQ的值.【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是一种常用的基物法.在第(2)小题中因已知-我可判断点P在二,三两个象限，因此必须分两种情况讨论.【解

13、】(1)因为x=3k,y=-4k,所以r二廊出砂二-5k(k=-=r-=-7+r-5k5r-5k5y-4kAtana=-.x3k3(2)由于泗Q=-,所以r=-=272(y/0).4r寸2y由-=/+/带=*_/=赤因为笈=-3指，故。在第二或第三象限.若a在第二象限，则cog=三=、？=一汇石V15若Q在第三象限，则cosQ=-COtCl=-=;y5前后而!tan。,cotQ=-例5一个扇形的周长为l,求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大.【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式.本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方

14、法求出半径r和已知周长l的关系.【解】设扇形面积为S,半彳全为r,圆心角为a,则扇形弧长为l2r.所以17pS：(I-2r)241bj-2*故当r=且a=一三=2时，扇形面积最大.4【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公式,前s二:瓦比角度制的求钺长、面积公式上学及s2loU吧一更简单，在实际中的应用也较广泛.尤其是在解决有关扇形，弓允U形的问题中，中心角用弧度表示较方便.本例实际上推导出一个重要公式,长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值.本题也可将面积表示为用判别式来解.即当扇形周a的函数式,例6根据下列条件求那口JanQ的值：(1)已知sm。二2冗5CLK;（2

15、）当口加Q二五；（3）EOsinCl=m（|m|l）.【分析】第（1）小题因a在第二象限，因此只有一组解；第（2）小题给了正弦函数值，但没有确定角a的象限，因此有两组解；第（3）小题角a可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论.冗【解】二二一.11所以=(1=-不,tanCL=-=,13cos口12因为弘nQ=-福0,所以a是第三、四象限的角.125当a在第三象限时，二-Jl-sinCl=-Titanl=；1n1乙175当Q在第四象限时，cog=,tanCl=-*(3)因为sina=m(|m|1),所以a可能在四个象限或a的终边在x轴上.当u的终边在四象限或党由的非负鞘由上时，。=口，、

16、,sina?+cosa+sina+cosa+2sinacosa15.左边二1+ana+casa1tl0(since+cosa)+sina+cosa1+anQ+cosq(sina+cosce)(l+sina:+cosa:)：sina+cosa1+sina+coso!当u的终边在二，三象限或臂力的非正半轴上时，sSQ二-和-/,mtanQ二一一；.例7（1）已知tana=nrj求sina的值；（2）已知tan。二m,求三角式2sii?Q的值.乙【分析】（1）已知tana的值求sina或cosa,一般可将tana写成空，再和隙含条件+因需用开方求值,COSCL因此必须考虑角a的象限.（2）可将2si

17、JaQ化为分子.分乙子、分母同除以cos【解】（1）由母都是sina和cosa的同次式，再转化为关于tana的式子求值，转化的方法是将分/(或cos2a,这里cosaW0),即可根据已知条件求值.sina十二m,COSCLsin3Cl+cos3a=1,捎去co$Q,得sii?Q+51n2=1,即m，/Q+$mQ-msin a + cos a tan Q +1 m + 1=0,sin。=JT开+m因为-+2k冗a彳+2k无(kZ)时，sin。与tan5同号.jt?n而当+2&三-+*兀(kZ)时smQ与tan。异号.|-f=?&-+2k兀a+2k兀时(长工),JUji当彳+花冗口3711 .C

18、+cos 2 2 sin2sn?a+rcos202tanJCL+-2m2【说明】由tana的值求sina和COSa的值，有一些书上利用公式co?a=l+tanasmQ=：j-1+cot2a，但这两个公式由三角函数的定义很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决.例8证明tan口sinQtanQ+sinQtana-sinQtanQsin0【分析】本题的证明方法很多，可由关系式胸。二sinQcog将两边的“切飞“就摩证明,也可用比较法证明两边的差为0,或者由左二右，或由右n左，因为等式两边均为角Q的三角函数，因此也可用三角函数的定义来证明.【证法一】左边s/Q

19、sinG-sinGcosClsinUI-cosCl右边=sin+sin口cos口anaa1+侬。sin口(14-cosCl)(1-cosQ)1-cos2Cl口口。(1-8口)sin(1-cosd)sin2sinQanCl(1-cosCl)1-cos由左边二右边，所以原式成立.cH_b衣tanClsinQtanCl+sinQ【证法一】因为T-7一门:门tanu-anutan4sintan2口*sin3口-(tan3a-$in2Q)(tan。一sinQ)tan。sina_tan2a(sm2a-l)+sin3a(tanCl-sinQ)tand*sin_-tai?Q*cos3Q+5,a(tanQ-si

20、nQ)tan口sinQ_-sin2Q+stnaa(tan-sina)tan。sinQ=0,所以tan。sinQ_tanQ+sinQtanQ-sinQtanClsin0【证法三】(根据三角函数定义)设P(x,y)4角a终边上的手意一点，则sinQ=,tanCl=,十丁x例9化简或求值:Q)cos2100cos(-420)tan3300cot3900sin7500cosW-47冗HIT11n_C0_+3tan广一铲口才2cos 1x2X512(3)原式=Jl + 2shQ Q=J(sitiQ + 2 口)=|smCl + cos Cl |=sin a cos a （因为a为第三象限角）.例10 若

21、f(cos x)=cos9x ,求f(sin x)的表达式;4（3）白-2辿-Cl）cos（兀+Q）（口为第三象限角）.【分析】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数化、西十（300）8560。（-tan30。）【解】口）原式二:300对30-。芳.31(-1)U11 . 3 元sin 。a 冗 332 cos 44冗（2）原式=下。亏+3-tan二一X 一 + 3乂 3 233-2L谯1 (x)=anxG0).f(x-1)+1&决)，求井%HeH加售【分析】在中理解函数符号的含义，并将f(sinx)化成f(cos(90x)是充分利用已知条件和诱导公式的关键.在(2)

22、中必须正确掌握分段函数求值的方法.【解】(1)f(sinx)=f(cos(900x)=cos9(90x)=cos(2X 360 +90 9x)=cos(90 9x)=sin9x;=1.同角三角函数的基本关系式典型例题分析1 .已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值.例1已知如口=1,求Q角其他三角函数值.解.sina0；角a在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)若口在第三象限，则g霜=tga=注-yIy5cosci4-13-.ct殳ci=,38培041515secQ=-,escQ=-cosCl3andA若a在第四象限，则门L4丫3nsinCLcm，皿二皇个131：ctgCl=se

23、ed=-=tgCl4cosCL门15escci=-=-stnQ4说明在解决此类问题时，要注意:(1)尽可能地确定a所在的象限，以便确定三角函数值的符号.尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次).(3)必要时进行讨论.例2已知sina=m(|m|0.anJCl:J1 - m,mjl- m，当a在第H、田象限时，:COSa0,1,.cosCl=Jl-ft?,从而唔Q-：m-1说明(1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况.(2)本题在进行讨论时，为什么以cos民的符号作为分类的标准，而不按sin民的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？

24、2.三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少.(2)次数尽可能地低.(3)项数尽可能地少.(4)尽可能地不含分母.(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简.例3化简sin2atga+COS2actga+2sinaCOSa5msin30，sinClcos2Q*cos口解原式二J1H；H2sinQ*cosCLcos口sinU氮，a+8Ja+2sii?aQsinQ*cosQ(sin，a+coJasin.口cos口=seca-CSCa解2原式=(sin2atga+sina-COSa)+(COS2aCtga+sinaCO

25、Sa)=tga,(sin2a+COS2a)+Ctga(sin2a+COS2a)=tga+CtgasinQ+cos2QcosQsinQ=seC民csc民说明(1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的.(2)解2中的逆用公式将sinacosa用tga表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用.例4化简:V cos 91 + cos9(l)/sec2x_2tgx(0x-1+cos91-cos9分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简.JIXXn解原式二Jtg%-2tgx+1可鳏J|1母(0彳)KKK，原式=冗,710Cxtgxl；当下时，

26、tgKltex-1(Cx)442142原式=(1 - cos 8 )(1 + cos 8 y1 (1 + cos1 - cos 6 + 1 + cos日)(1 - cos 9)6+ cos 8 )(1 - an 9 )an 83兀=-2csc 8 (二冗 8 T . sin 0 0)3.三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上 同，这个过程，往往是从化简开始的一一这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最 复杂处开始.例 5 求证 cos a (2sec a +tg a )(sec a -2tg a )=2COS a -3tg a .分析从复

27、杂的左边开始证得右边.证明左边二cos a( +g&U COS U COS Cl2皿口cos Q1=-r(2 + sinCl)(l-2sina)3cL1 2 一,=(2-2sin2Q -3sinQ) qC0Uis(2cos2Cl -3sinU)=2cos a -3tg a -右边证明恒等式(1)1+3sin 2 asec4 a +tg 6 a =sec6 a(2)(sinA+ secA) 3+(cosA+cscA) 2=(1+secAcscA)2分析（1）的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简左边为一式，也可采用“左边.右边=0”或妾，考虑为零的情况）.七1口证明(1)右边-左边二

28、sec6a-tg6a-3sin2asec4a-1二(sec2a-tg2a)(sec4a+sec2a-tg2a+tg2a)-3sin2asec4a-1二(sec4a-2sec2atg2a+tg2a)-1=(SeC2a-tg2a)2-1=0Itsn A + secA1 + sec A esc AcosA + esc A1 + sec AcscAsm A cos A + sin Asin A cosA + 1sin AcW A + cosAsin A cos A + 1（两弦化）=sin 2A+coS2A=1故原式成立在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系.实际上，将不同的角化为同角，以减 少角

29、的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上 两点在三角变换中有着广泛的应用.1 + 2 sin x cos x 1 + tgx 例7求证谭分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类.十汽1证明右边二si nx1 -COSXcosx + sm k(cosx + sjnx)3(cos- sin x)(cosx + sinx)2- 2 八.cos x + sin x + zsinxcosx r5左边分析2 由1+2sinxcosx立即想到（sinx+cosx） 2,进而可以约分，达到化简的目的.sinx + cosx下an x + cos x +

30、 2sinx cosx证明 左边二5cos x - an x sinx + cosx)2cosx +sinH)(cosx - sincosx - sinxtgx cosx + cosx COSK - tgx COSX 兽二右边 1-tgx说明(1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1),或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类.(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列.例求伍1-seca-tgCi=cosa证明:,左边产21+secCL-tgQ(seca+tga)(ec口一年。+1)+seea-tgQ1+smQ4-a-=seca+tga=二石积.等

31、式成乂cosa说明以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2a-tg2a代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”一一即证明“左边-右边=0证明tiI1+secCL+tgQ1+sinCl左边-右边=1+SEC口-tgCLCOS。cosa(1+sec+tg。)-(1+口口口)(1+sec-tg。)+secCl-tgClJcosQ1sin3Qcostl-+COSUcos口1+secd一吆口)cos。COS口-co

32、s口7=0(1+secQ-tg。)左边二右边诱导公式典型例题分析例1求下列三角函数值：4717H(l)sm(-12000)i(2)tg9450；(3)003-71)(4)rtg(-)63解(1)sin(-12000)=-sin12000=-sin(3X3600+120)=-sin1200=-sin(180-60)=-sinSO6tg9450=tg(2X360+225)=tg225=tg(108+45)=tg45=147UTT17T7T7T(3)cos-=cos(6+-)=cos1=cos(2)=cos-66666T1717n兀IT乖(4)ctg(；-yH)=/乙乙乙解如图2-10过点（0,。作

33、蚌由的平行线与单位圆交于点P,.上.1兀5兀sinCxOP=sin0,A0）振幅A,周期T=,频率f=,相位与x+平，初相中T tg 二 tg : = tg(二 I )(1 - tgtg :)7 .五点作图法：令cox+中依次为02,n,至,2兀22sincostgctg-a-since+cosot-tga-ctgan-o(+sina-cosa-tga-ctgan+口-sina-cosa+tg+ctga2n-a-sina+cosa-tga-ctga2k+a+sina+cosa+tga+ctgasincontgctgHCt2+cosa+sina+ctga+tgaji+C2+cosa-sina-c

34、tga-tga3n-a2-cosa-sina+ctga+tga3n+a2-cosa+sina-ctg-tga8.诱导公试“()=求出x与y,依点（x,y）作图三角函数值等于a的同名三角函数值，前面加上一个把0看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于口的异名三角函数值，前面加上一个把a看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名改变，符号看象限9.和差角公式sin（aP）=sinacosPcosasinP（2cos（二）=cos二cos:-sin-：sin:其中当A+B+C=时，有:K:tg、工tg.-tgtgtgBtgDtg(.N+P+)二g一gg_g一gi).t

35、gAtgBtgC=tgAtgBtgCii).ABACBC.tg3tg3tg3tg3tg2tg丁 Tg 二 tg Tg 二 tg Tg ： tg2tg。1 tg2- cos2u=cos2 7 - sin2 - - 2 cos2 - -1 = 1 - 2 sin2。-1 - tg211 tg2u tg2i =2tg1 -tg2。sin21=上J1 tg2。1 - cos212 cos2 F1 cos 2-210 .二倍角公式：（含万能公式）sin21-2sinccos=11 .三倍角公式:CDsin3-3sin-4sin3-4sinssin(60-i)sin(60u)Dcos31-3cos14co

36、s3-4coscos(60-1)cos(601)tg3u=3tg二7g311-3tg2u=tgutg(60-u)tg(601)12半角公式：（符号的选择由2所在的象限确定）sin，)皿吟1cos二cos5=1COST3W21cos二=2sin22B1cos1-2cos21土sin1-(cos二sin)2cossin1-cos1cosusin二1cos11-cos?sin113.积化和差公式：1sin ：- cos - = 一 hin( ：-2）sin（ 1二）1cos：sin:=bin(:工，日)一sin(：,)12sin ： sin :1 I-bos(：i ,-1) cos： - - J1c

37、os二cos:=-bosG，)cos(-)114.和差化积公式：.rc.s+Pa-Psin：sin-=2sincos22司一，仕ca+Pa-Icos工cos-=2coscos22.一Rea+Pa-Psin二一sin-=2cossin22小rc.a+PaPcos-cos-2sinsin2215.反三角函数:名称反正弦函数函数式y=arcsinx定义域L1,11增值域2,2一性质arcsin(-x)=-arcsinx奇反余弦函数y=arccosx-1,1减0,Karccos(-x)=冗-arccosx反正切函数y=arctgxR增2,2,11arctg(-x)=-arctgx奇反余切函数y=arc

38、ctgxR减。冗）arcctg(-x)=冗-arcctgx16.最简单的三角方程方程方程的解集sinx=aa=1(x|x=2M+arcsina,kwZa14|x=kn+(-1farcsina,keZ)cosx=aa=1&|x=2kn+arccosa,kZ)a1&|x=2knarccosa,kZ)tgx=a0,解之,得2k兀x(2k+1)兀，kCZ.又.0sinx01,.-igsinx0.定义域为(2k兀，(2k+1)兀)(kZ),值域为(-8,0.(2)要使2jgs3国有意义,必须且只须cos3m)0,解之，得即写-空 v2kK-3x2k,kEZ,Z3又.此时0Wcos3K1,故K2、/cos

39、3K42.2kKK2k冗7T，定义域为:；+(kZ)值域为0,2.3636例3已知函数y=f(x)的定义域是0,玄，求下列函数的定义域.f(coJ初(2)f(sin2x-1).分析分别把3%,皿整体地看成f的自变量，求出它们11的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围解(1)依题意，有cKcqJK；解得-；COKytU乙利用单位圆(或三角函数图象)解得7T2兀甸+；&k兀,kEZ(2)由读者自己完成，其结果为兀兀27T?冗正化兀+了，k兀+qUk兀+亍，k兀+丁(庆2)例4求下列函数的最大值与最小值：兀2(l)y=2-sin(x-)；(2)y=2cosx+5sinx-4；4

40、兀2(3)y=3cos2x-4cosx+1,-.ITJT5ITJT解当丁丁=2卜兀+不，即x=2kn+丁(底2)时，sin(x-)F乙IF取最大值1,从而%m=L,兀兀JT,KSx-=2k即x=2kn-丁(kEZ)时，sin(x=丁)取率小值-L从而力=3.(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2nx-，+:.sinx-1,1,IT_，当sinx二-1,即累，7+2k兀(kEZ)时jy有最小值-9jLijK.当sinx=l,即父=彳+2卜冗(kZ)时，y有最大值L32ml(3)y=3cosx-4cosx+l=3(cgsz-)-7T37r11x3,3，cosx-2，会(借助单调性即得)12兀15从而当8sx=-片，即兄二时，=v;乙r1JT1当cosx=3，即况=彳时，例5求下列函数的值域.0cosx2sinkcosx尸荻的，=1+一解由y二产三p可得(1一2板阳二两甘，)2cosx+12,yCOSX=：l-2y.|cosx|1cox2