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文档简介
1、东城区普通校2012-2013学年第二学期联考试卷 高三 数学(理科) 命题校:北京27中学 2013年3月本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第卷(选择题,共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知平面向量, , 且, 则的值为( )(A) (B) (C) (D)2极坐标方程化为直角坐标方程是( )(A) (B) (C) (D)3平面平面的一个充分条件是()(A)存在一条直线(B)存在一条直线(C)存在两条平行直
2、线(D)存在两条异面直线4. 执行如图所示的程序,输出的结果为20,则判断框中应填入的条件为( )(A) (B)(C)(D) 第4题图5. 如图,已知是的一条弦,点为上一点, ,交于,若,则的长是( )(A) (B) (C) (D) 第5题图6已知函数的图象如图所示,则该函数的解析式可能是( )xyO21-1第6题图(A) (B) (C) (D) 7. 设若的最小值为( )(A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 8.对实数与,定义新运算“”: 设函数若函数的零点恰有两个,则实数的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 第卷(非选择题,共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题
3、5分,共30分9. 在的展开式中,含项的系数是_.(用数字作答) 40 50 60 70 80 90 分数(分)0.0050.0100.0200.030 a 10由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.11.从某校高三学生中随机抽取100名同学,将他们的考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图(如图)则图中a= ,由图中数据可知此次成绩平均分为. 第11题图12.已知区域,向区域内随机投一点,点落在区域内的概率为 . AyBOx13如图,和分别是双曲线 的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为 . 第13题图14.设
4、S为复数集C的非空子集.若对任意,都有, 则称S为封闭集。下列命题:集合Sz|z= abi(为整数,为虚数单位)为封闭集;w_w_w.k*s 5*若S为封闭集,则一定有; 封闭集一定是无限集;若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集. w_w w. k#s5_u.c o*m其中真命题是 (写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分 15. (本小题满分13分)在中,角的对边分别为,的面积为.()求,的值;()求的值.16.(本小题满分13分)甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求()摸出3个
5、白球的概率;()摸出至少两个白球的概率;()若将摸出至少两个白球记为1分,则一个人有放回地摸2次,求得分X的分布列及数学期望。侧视图俯视图正视图144417.(本小题满分14分)已知几何体ABCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形()求此几何体的体积V的大小;()求异面直线DE与AB所成角的余弦值;()试探究在棱DE上是否存在点Q,使得AQBQ,若存在,求出DQ的长,不存在说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数 ()若,求函数在(1,)处的切线方程;()讨论函数的单调区间19.(本小题共14分)已知椭圆的离心率为 (I)若原点到直线的距离
6、为求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A,B两点.(i)当,求b的值;(ii)对于椭圆上任一点M,若,求实数满足的关系式.20. (本小题满分13分)设,是首项为1,公比为2的等比数列,对于满足的整数,数列, 由 确定。记()当时,求M的值;()求M的最小值及相应的k的值(考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效)东城区普通校2012-2013学年第二学期3月联考答案高三数学(理科)参考答案(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分)一.选择题1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B二.填空题9. 15 10.
7、 72 11. 0.035,64.5 12. 13. 14. 三.解答题15(本小题满分13分)在中,角的对边分别为,的面积为.()求,的值;()求的值.解:()由已知,因为 , 即 ,解得 .由余弦定理可得:,所以 . .7分()由()有,由于B是三角形的内角,易知 , 所以 . .13分16.(本小题满分13分)甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求()摸出3个白球的概率;()摸出至少两个白球的概率;()若将摸出至少两个白球记为1分,则一个人又放回地摸2次,求得分X的分布列及数学期望。解:(I)设“在1
8、次游戏中摸出i个白球”为事件则 .3分 () 设“至少两个白球”为事件B,则,又 且A2,A3互斥,所以 .6分 () X的所有可能取值为0,1,2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望 .13分侧视图俯视图正视图144417.(本小题满分14分)已知几何体ABCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形(1)求此几何体的体积V的大小;(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;(3)试探究在棱DE上是否存在点Q,使得AQBQ,若存在,求出DQ的长,不存在说明理由.解:(1)由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ,BD=1,即该几何体的
9、体积V为-4分(2)以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4), 异面直线DE与AB所成的角的余弦值为-4分(3) 点Q在棱DE上,存在使得同理,即,满足题设的点Q存在,DQ的长为1 -14分18.(本小题满分13分)已知函数 ()若,求函数在(1,)处的切线方程;()讨论函数的单调区间解:(1)当时, , 切线方程为 4分(2) 定义域令,解得,当,恒成立,则是函数的单调递增区间当时, 在区间(0,1)和()上,;在()区间上,故的单调递增区间是(0,1)和(),单调递减区间是()当时,在区间(0, )和()上,;在()区间上,故的单调递增区间是(0, )和(),单调递减区间是()当时,在区间(0,1)上,在区间()上,故的单调递增区间是(),单调递减区间是(0,1)。 13分19.(本小题共14分)已知椭圆的离心率为 (I)若原点到直线的距离为求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A,B两点. (i)当,求b的值; (ii)对于椭圆上任一点M,若,求实数满足的关系式.解:(I) 解得 椭圆的方程为 4分 (II)(i)e椭圆的方程可化为: 易知右焦点,据题意有AB: 由,有: 设, 8分 (2)(ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定
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