微积分课件：2-7 函数的连续性与间断点

1、12.7 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点函数的函数的连续连续(continuity)函数的函数的间断点间断点小结小结 思考题思考题 作业作业 (discontinuous point)第第2 2章章 极限与连续极限与连续2间变化很小时间变化很小时, 生物生长的也很少生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中在自然界中,许多事物的变化是连续的许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小单摆摆长变化也很小.时时 在微积分中在微积分中, 主要的研究对象就是连续主要的研究对象就是连续这种现象这种现象从直

2、观上不妨这样说从直观上不妨这样说, 连续函数的特征连续函数的特征就是它的图形是连续的就是它的图形是连续的,也就是说也就是说, 可以一笔可以一笔画成画成.函数函数. 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点31. 函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy 自变量自变量0 x称差称差0 xxx 为自变量在为自变量在 ,xx0的增量的增量;函数随着从函数随着从)(0 xf),(xf称差称差)()(00 xfxxf 为函数的为函数的增量增量. .如图如图:xxx 0一、函数的连续性一、函数的连续性xyOxyO)(xfy 0 xxx 0 x y )(0 xf0 xxx 0)(xfy y )(0

3、 xfx 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点)(0 xxf )(0 xxf 4连续连续, ,2. 连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy 0 x定义定义2.112.11 设函数设函数 f (x)在在)(0 xU 内有定义内有定义,0lim0 yx若若则称函数则称函数f (x)在在x0处处并称并称x0为函数为函数 f (x)的的连续点连续点. .,0 xx 即为即为0 y).()(0 xfxf即为即为定义定义2.122.12 若若),()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 f (x)连续连续. .充分必要条件充分必要条件在在x0处处 2.7 函数的

4、连续性与间断点函数的连续性与间断点5连续性的三种定义形式不同连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有这三种定义中都含有但本质相同但本质相同.f (x)在在)(0 xU 内有定义内有定义;(1)(lim0 xfxx(2)(lim0 xfxx(3).(0 xf 三个要素三个要素: :)( , 0 定义定义2.132.13,0时时使当使当 xx, 0 .)()(0 xfxf恒有恒有 把极限定义严密化把极限定义严密化,便于分析论证便于分析论证.存在存在; 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点6例例.),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任取任取 y)2

5、cos(2sin2xxx 1)2cos( xx),(sin xxy对对任任意意函函数数即即内内在区间在区间函数函数),(cos xy)sin(xx xsin 都是连续的都是连续的.类似可证类似可证,是连续的是连续的.0lim0 yx122 xx 0 x即即0lim0 yx022sinxx 定义定义1 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点7例例0, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在证证 xxx1sinlim0, 0)0( f又又定义定义2.12.0)(处连续处连续在在所以函数所以函数 xxf),0()(lim0fxfx )(lim0 xfxx)(0 xf , 0试证函

6、数试证函数处连续处连续.因为因为 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点83. 左、右连续左、右连续)()(lim000 xfxfxx 若若处处在在点点则则称称0)(xxf)()(lim000 xfxfxx 若若处处在在点点则则称称0)(xxf),()0(00 xfxf ),()0(00 xfxf 左连续左连续(continuity from the右连续右连续(continuity from theleft); ;right). .0 x左连续左连续0 x右连续右连续xyOxyO 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定义定义2.142.149此定理常用于此定理常用于判定

7、分段函数在分段点判定分段函数在分段点处的处的)0()0(00 xfxf连续性连续性.函数函数 f (x)在在x0处连续处连续函数函数 f (x)在在x0处既左连续处既左连续 又右连续又右连续.)(0 xf 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点10例例 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf讨论函数讨论函数解解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 右不连续右不连续.1)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)( xxf在在所以所以左连续左连续,1 x在在.1处的连续性处的连续性在在 xxyO1 2.7 函数

8、的连续性与间断点函数的连续性与间断点114. 连续函数连续函数(continous function)与连续区间与连续区间或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. . 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称该区间上的称该区间上的 f (x)在开区间在开区间(a, b)内连续内连续右连续右连续 )(lim(xfax )(lim(xfbx左端点左端点ax 右端点右端点bx ,)(baCxf 这时也称该区间为这时也称该区间为continuous左连续左连续连续函数连续函数, ,连续区间连续区间. .),()(baCxf )(af)(bf 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续

9、性与间断点定义定义2.152.1512例如例如, ,有理整函数有理整函数(多项式多项式)内是连续的内是连续的.因此因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数有理分式函数, ),(0 xnnxaxaaxP 10)(),( )()(lim00 xPxPxx )()()(xQxPxR 只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx 因此有理整函数因此有理整函数在在都是连续的都是连续的.前面已证前面已证 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点13定义定义2.162.16出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:)(lim)2(0 xfx

10、x)(lim)3(0 xfxx二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类(1) f (x)在在x0处无定义处无定义;不存在不存在;).(0 xf 点点x0称为称为f (x)的的间断点间断点. . 若若f (x)在在x0处处则称函数则称函数f (x)在点在点x0处不连续处不连续, 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点14可能是连续点可能是连续点, 初等函数无定义的点是初等函数无定义的点是间断点间断点.分段函数的分段点分段函数的分段点可能是间断点可能是间断点, 也也需要判定需要判定. 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点15间断点分为两类间断点分为两类:第二类第二类间

11、断点间断点(discontinuity point of the第一类第一类间断点间断点(discontinuity point of the first )0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在,及及中至少一个不存在中至少一个不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf若若, )0(0 xf称称x0为为可去间断点可去间断点. .)0(0 xf若若称称x0为为跳跃间断点跳跃间断点. .若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,若其中有一个为若其中有一个为, 称称x0为为无穷间断点无穷间断点. .称称x0为为振荡间断点振荡间断点. . kind): second kind):, )0(0

12、xf 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定义定义2.172.1716例例,1)(xxf 函数函数xxf1)( 由于函数由于函数处处在在0)( xxf无定义无定义,)(0处无定义处无定义在点在点xxf.)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点.)(lim0 xfx )(lim0 xfx 且且皆不存在皆不存在.第二类第二类第二类间断点第二类间断点:),0(0 xf)0(0 xf至少有至少有之之中中有有若若)0(),0(00 xfxf.0称称为为无无穷穷型型间间断断点点则则xx 且是无穷型间断点且是无穷型间断点.一个不存在一个不存在., 一个为

13、一个为, xyO 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点17例例 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxf函数函数处处在在0)( xxf有定义有定义,xx1sinlim0不存在不存在,0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点.)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx,)(lim0不存在不存在xfxx第二类第二类且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点.在在时时但当但当xx1sin,01 , 1 xy1sin 之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,xyO 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点18例例 , 0,1, 0,)(xxxxxf函数函数),00()00( ff

14、处处在在0)( xxf有定义有定义, 0)(lim0 xx1)1(lim0 xx.)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx,)(lim0不存在不存在xfxx0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点.第一类第一类 f (x)的第一类间断点的第一类间断点.),0()0(00 xfxf但但则点则点x0为函数为函数 f (x)的的且是跳跃间断点且是跳跃间断点.跳跃型间断点跳跃型间断点(Jump discontinuity).)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, 则点则点x0为为xyO1 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点19例例.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性

15、处的连续性在在 xxxxxxxf讨论函数讨论函数解解, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1 x),()(lim00 xfxfxx 为函数的为函数的 间断点间断点.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点(removable discontinuity).2)1( f , 1,1, 10,2)(xxxxxf则则连续连续.1)1( fxyO112xy2 xy 1则称则称x0为为 f (x)的间断点的间断点.)()(lim00 xfxfxx 但但处无定义处无定义,可去间断点可去间断点.如果如果 f (x)在点在点x0处的极限存在处的极限存在,或或 f (x)在点在

16、点x0则称点则称点x0为函数为函数 f (x)的的处处在在1 x 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点20则可使则可使x0变为连续点变为连续点.注注对可去间断点对可去间断点x0,如果如果,)(lim0Axfxx 设设于于A,(这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为使之等使之等可去间断点的理由可去间断点的理由.)补充补充 x0的函数值的函数值,或或改变改变 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点21112 xxy函数函数11lim21 xxx如如补充补充定义定义: )1(f令令.1处处连连续续所所给给函函数数在在则则 x.1称为函数的可去间断点称为函数的可

17、去间断点所以所以 x.1,不连续不连续函数在点函数在点所以所以 x如如:2)1(lim1 xx但但xyO1122,1处没有定义处没有定义在点在点 x 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点22总结两类间断点总结两类间断点:第一类间断点第一类间断点: 跳跃型跳跃型,第二类间断点第二类间断点: 无穷型无穷型,可去型可去型无穷次振荡型无穷次振荡型极限与连续之间的关系极限与连续之间的关系: f (x)在在x0点连续点连续 f (x)在在x0点存在极限点存在极限 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点23,e11)(1的间断点的间断点求函数求函数xxxf 解解函数无定义函数无定义,1

18、, 0时时当当 xx是函数的间断点是函数的间断点., 0 x)(lim0 xfx由于由于xxx 1e11lim0, 所以所以0 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型., 1 x由于由于)(limxfxxx 1e11lim10 )(limxfxxx 1e11lim1. 1 所以所以1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点, 且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型.0011 1x 1x 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点24,01sin00sin)( xxxbxaxxxxf设设, 为何值时为何值时问问ba;)(lim)1(0存在存在xfx.0

19、)()2(处连续处连续在在 xxf解解 因为因为)(lim0 xfx )(lim0 xfx 所以所以)1(,)(lim0存在存在要要xfx必需且只需必需且只需 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即1 b).( 可任取可任取a)2(,0)(处连续处连续在在要要 xxf必需且只需必需且只需 )(lim0 xfx)(lim0 xfx ),0(f 即即. 1 ba, 1 , b 2.7 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点25,e)e (e)tane ()(11 在在函数函数xxxxxf解解上的第一上的第一, 0 x由于由于 )(limxf0 x是是第一类间断点第一类间断点.考研数学二考研数学二(选择选择4分分)间断点是间断点是 x =. 0)A(. 1)B(.2)C( .2)D(e)e (e)tane (lim110 xxxxx,