线性代数：4解结构和子空间

1、14.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构2回顾：线性方程组的解的判定回顾：线性方程组的解的判定1.包含包含 n 个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有有非零解非零解的充的充分必要条件是系数矩阵的秩分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n 2.包含包含 n 个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分有解的充分必要条件是系数矩阵的秩必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且，并且p当当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有时，方程组有唯一解唯一解；p当当R(A) = R(A, b) n时，方程组有时，

2、方程组有无限多个解无限多个解3引言引言问题：问题：什么是线性方程组的解的结构？什么是线性方程组的解的结构？答：答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系多个解时，解与解之间的相互关系备注：备注：l当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构l下面的讨论都是假设线性方程组有解下面的讨论都是假设线性方程组有解4解向量的定义解向量的定义定义：定义：设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果，如果x1 = x x11， x2 = x x21，.， xn = x xn

3、1为该方程组的解，则为该方程组的解，则称为方程组的称为方程组的解向量解向量11211nx xx xx xx x 5齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质性质性质1：若若 x = x x1， x = x x2 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = x x1 + + x x2 还还是是 Ax = 0 的解的解证明：证明： A(x x1 + + x x2 ) ) = Ax x1+ Ax x2 = 0 + 0 = 0 性质性质2：若若 x = x x 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解，k 为实数，为实数， 则则 x = kx x

4、 还还是是 Ax = 0 的解的解证明：证明： A( kx x ) ) = k ( Ax x ) = k 0 = 0 结论：结论：若若 x = x x1, , x = x x2, ., , x = x xt 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = k1x x1 + k2x x2 + + ktx xt 还还是是 Ax = 0 的解的解. .6结论：结论：若若 x = x x1, , x = x x2, ., x = x xt 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = k1x x1 + k2x x2 + + ktx xt 还还是

5、是 Ax = 0 的解的解. .p已知齐次方程组已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解向量的线性组合给出更多的解p能否通过能否通过有限个解向量的线性组合有限个解向量的线性组合把把 Ax = 0 的解全部表的解全部表示出来？示出来？p把把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作的全体解组成的集合记作 S，若求得，若求得 S 的一个的一个极大无关组极大无关组S0：x = x x1, , x = x x2, ., , x = x xt ，那么，那么Ax = 0 的的通解可表示为通解可表示为 x = k1x x1 + k2x x2

6、 + + ktx xt p齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方程组的程组的基础解系基础解系（不唯一）（不唯一）7基础解系的概念基础解系的概念定义：定义：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：的一组解向量：x x1 1, , x x2 2, , ., x xr如果满足如果满足 x x1 1，x x2 2，.，x xr 线性无关；线性无关；方程组中任意一个解都可以表示方程组中任意一个解都可以表示x x1 1, , x x2 2, , ., x xr 的线性组合，的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个那么称这组解

7、是齐次线性方程组的一个基础解系基础解系定理：定理：设设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A) = r，则，则 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 8后后 n - r 列列 前前 r 列列 设设 R(A) = r ，为叙述方便，为叙述方便，不妨设不妨设 A 行最简形矩阵行最简形矩阵为为对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组令令 xr+1, , xn 作自由变量，则作自由变量，则111,212,1,100010001000000000000000n rn rrr n rm nbbbbbbB 11111,22112,11,0,0,0.rn r

8、nrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx+ + + 11111,22112,11,.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx+ 9111 11,1 1,11n rn rrrr n rn rrnn rxb cbcxb cbcxcxc+ + 令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+ 记作记作 x = c1x x

9、1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r （满足基础解系（满足基础解系） + + + + + 100010001, 121221111rnrrnrnrrbbcbbcbbc1011121,21222,1,2,12(,)100010001n rn rrrr n rn rbbbbbbbbbx xxx xx n r 列列前前 r 行行后后 n r 行行故故 R(x x1, x x2 , , x xn-r ) = n r ，即即 x x1, x x2 , , x xn-r 线性无关线性无关 （满足基础解系（满足基础解系）于是于是 x x1, x x2 , , x xn-r 就是齐次线性方程组就

10、是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系的基础解系11111 11,1 1,1122n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcxb cbcxcxcxc+ + + 令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+ 记作记作 x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r + + + + + 100010001, 121221111rnrr

11、nrnrrbbcbbcbbc下面我们直接下面我们直接给出基础解系给出基础解系1212100010,001rrnxxx+ + + 11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+ 此即为此即为 Ax = 0 的基础解系的基础解系通解为通解为 x x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r 1,111122,22122,12,n rn rr n rrrrbxbbbxbbbxbb ，则，则令令 100,010,001, 121221111rnrrnrnrrbbbbbbx x

12、x xx x13基础解系的求解基础解系的求解例：例：求齐次线性方程组求齐次线性方程组 的基础解系的基础解系方法方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系先求出通解，再从通解求得基础解系1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx+ + + 121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx+ + 1342343423xxxxxx + + 即即14令令x3 = c1， x4 = c2， 得通解表达式得通解表达式1122121211223142343423231001xccxccccccxcxcx xx x + + + + + +

13、因为因为 方程组的任意一个解都可以表示为方程组的任意一个解都可以表示为x x1, , x x2 的线性组合的线性组合x x1, , x x2 的四个分量不成比例，所以的四个分量不成比例，所以 x x1, , x x2 线性无关线性无关所以所以x x1, , x x2 是原方程组的基础解系是原方程组的基础解系15方法方法2：先求出基础解系，再写出通解先求出基础解系，再写出通解121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx+ + 1342343423xxxxxx + + 即即令令3410,01xx 1234,23xx 123423, 1001xxx

14、x 合起来便得到基础解系合起来便得到基础解系，得，得16定理：定理：设设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A) = r，则，则 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 例：例：设设AmnBnl = O （零矩阵），证明（零矩阵），证明R(A) + R(B) n 例：例：证明证明 R(ATA) = R(A) 例：例：设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 与与Bx = 0 同解，证明同解，证明R(A) = R(B) 17非齐次线性方程组的解的性质非齐次线性方程组的解的性质性质性质3：若若 x = h h1， x = h h2

15、是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，的解，则则 x = h h1 h h2 是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）（导出组）的的解解证明：证明： A(h h1 h h2 ) ) = Ah h1 Ah h2 = b b = 0 性质性质4：若若 x = h h 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，的解， x = x x 是是导出组导出组 Ax = 0 的解，则的解，则 x = x x + h h 还还是是 Ax = b 的解的解证明：证明： A(x x + h h ) ) = Ax x + Ah h = 0 + b =

16、b 18根据性质根据性质3 和性质和性质4 可知可知n若若 x = h h* 是是 Ax = b 的解，的解， x = x x 是是 Ax = 0 的解，那么的解，那么 x = x x + h h* 也也是是 Ax = b 的解的解n设设 Ax = 0 的通解为的通解为 x x = c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r 于是于是 Ax = b 的通解为的通解为h h = c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r +h h*19例：例：求线性方程组求线性方程组 的通解的通解 1234124123422323 5570 xxxxxxxxxxx+ + + 解：解：

17、容易看出容易看出 是方程组的一个特解是方程组的一个特解 其对应的齐次线性方程组为其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为根据前面的结论，导出组的基础解系为*1100h h 1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx+ + + 123423, 1001xxxx 20于是，原方程组的通解为于是，原方程组的通解为*112212341231100010cccch hx xx xh h + + + + + + 21子空间子空间 (向量空间向量空间)的概念的概念定义：定义：如果如果n维向量空间维向量空间 Rn 的非空子集合的非空子集合 V 中的向量对中的向量对加法

18、及数乘两种运算是加法及数乘两种运算是封闭的封闭的，则称，则称 V 是是 Rn 的的子空间子空间 例：例：1. n 维向量的全体维向量的全体 Rn2.集合集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 3.集合集合 V2 = (1, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：解：V1 是是 Rn 的子空间，的子空间，V2 不是不是 Rn 的子空间的子空间22向量空间的基的概念向量空间的基的概念定义：定义：设有设有向量空间向量空间 V ，如果在，如果在 V 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1, a2, , ar，满足，满足 a1, a2, , ar 线性无关；线性

19、无关； V 中任意一个向量都能由中任意一个向量都能由 a1, a2, , ar 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 a1, a2, , ar 是是向量空间向量空间 V 的一个的一个基基r 称为称为向量空间向量空间 V 的维数的维数，并称，并称 V 为为 r 维向量空间维向量空间 向量空间向量空间向量空间的基向量空间的基向量空间的维数向量空间的维数向量组向量组向量组的最大无关组向量组的最大无关组向量组的秩向量组的秩231. n 维向量的全体维向量的全体 Rn En 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个基，故的一个基，故Rn 的维数等于的维数等于 n . .2. 集合集合 V1 = (

20、0, x2, , xn)T | x2, , xnR En 的后的后 n1个个列向量是列向量是V1 的一个基，故的一个基，故 V1 的维数等于的维数等于 n1 3. n 元齐次线性方程组的解集元齐次线性方程组的解集 S1 = x | Ax = 0 齐次线性方程组的基础解系是齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故的一个基，故 S1 的维的维数等于数等于 nR(A) 244. 由由a1 , a2 , ., am 所生成的向量空间所生成的向量空间L = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lmR 5. 若若 a1 , a2 , ., am

21、 线性无关，则线性无关，则 a1 , a2 , ., am 是向量空间是向量空间 L 的一个基的一个基6. 若若 a1 , a2 , ., am 线性相关，则线性相关，则 向量组向量组 A：a1 , a2 , ., am 等价于等价于向量组向量组 A 的最大无关组的最大无关组 A0 ：a1 , a2 , ., ar 7. 从而从而 L =L1= l l1a1 + l l2a2 + + l lr ar | l l1, l l2, ., l lrR 故向量组故向量组 A0 就是就是 L 的一个基，的一个基， A0中向量的个数就是中向量的个数就是 L 的维数的维数. .25定义：定义：如果在向量空间

22、如果在向量空间 V 中取定一个基中取定一个基 a1 , a2 , ., ar ，那么，那么V中任意一个向量可唯一表示为中任意一个向量可唯一表示为x = l l1a1 + l l2a2 + + l lrar数组数组 l l1, l l2, ., l lr 称为向量称为向量 x 在基在基 a1 , a2 , ., ar 中的中的坐标坐标例：例： 的列向量组是的列向量组是 R3 的一个基，的一个基， ) )123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 + 123237eee+237b 那么那么b 在基在基 e1, e2, e3 中的坐标中的坐标 26n 阶单位矩阵阶单位矩阵

23、En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量组称为的列向量组称为 Rn 的的自然基自然基1231000010000100001nbbbb + 123nbbbbb 1000010000100001nE 27上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组也是的列向量组也是 R3 的一个基，那么的一个基，那么 ) )123111,011001Aa a a12321115( 3) 0( 2) 17 13277001aaa + + + + + + 结论结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的同一个向量在不同基中的坐标是不同的28例：例：在在 R3中取定一个基中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基，再取一个新基 b1, b2, b3，设设 A = (a1, a2, a3)，B = (b1, b2, b3) 求用求用