变换器的交流小信号模型

1、返回-Vref+调解器对象输出 sinmmd tDDt其中D和mD是常量，且mDD，设调制波的频率m远远小于开关频率 s（2ssf） 。 包括反馈控制系统的 BUCK 变换器如图 9-1 所示， 门极驱动信号和变换器输出电压( )v t如图 9-2 所示，图 9-3 是输出电压( )v t的频谱，频谱中包含了开关频率及其谐波频带，还包括低于调制频率m的低频分量。输出电压的幅度和相位不仅与占空比有关，还与变换器系统的频率响应有关。 控制器参考电压脉宽调制调节器反 馈连 接负载变换器驱动器控制器参考电压脉宽调制调节器反 馈连 接负载变换器驱动器门极驱动信号（a）真实波形（包括纹波）( )v t平均

2、波形（包括纹波）( )v t（b）门极驱动信号（a）真实波形（包括纹波）( )v t平均波形（包括纹波）( )v t（b）调制波频率及谐波开关频率及谐波开关谐波频谱( )v t调制波频率及谐波开关频率及谐波开关谐波频谱( )v t图9-3 BUCK输出电压波形的频谱 BUCK电路中的电感电流和电容电压波形的开关纹波通过平均技术（大于一个开关周期内平均）被消除，通过平均获得了电感和电容波形的低频部分，因此可以通过在大于一个开关周期中对变量进行平均来消除高频开关纹波，平均值随着每个周期而变化。（9-2） 1t Ttx txdT 11()t Tt Tttdx tdxdxdddtT dtTd对图9-1

3、中电感电流和电压取平均值，即 (9-4)同样也可以写出电容电压和电流的平均关系 n (9-5)n注意，从电感伏-秒平衡（volt-second balance）原理和电容充、放电平衡原理，当变换器工作于稳态稳态时，n公式（9-4）和（9-5）的左边等于零，即在一个周期内电感两端平均电压等于零，电容充放电电流相等。当工作于动态动态过程过程时，公式（9-4）和（9-5）描述了电感平均电压和电容平均电流每个周期的变化。 ( )1()t TLLLtditdivtLLddtTd ( )1()t TCcCtdvtdvitCCddtTdit稳态时电感电流瞬时值稳态时电感电流平均值it动态时电感电流瞬时值动态

4、时电感电流平均值 平均的概念可以扩展到电路定律，即基尔霍夫电压和电流定律式中M是电路的回路数，N是电路节点数。利用这种平均的方法，可以很成容易的计算图9-4的输出电压。1,2,0mmMv (9-6) 1,2,0nnNi （9-7） n图9-4 平均法示例返回 ,i tI v tV （9-10） 实际非线性曲线线性化曲线工作点实际非线性曲线线性化曲线工作点 图 9-6 二极管的小信号模型 a）非线性的电流 b）在工作点线性化 c）线性化的小信号模型 返回变量或电路线性化，通常是把非线性变量或表达式用泰勒级数在名义值附近展开，对电路而言，所谓在名义值附近展开就是在稳态工作点附近展开，只保留一次项即

5、在工作点附近用线性近似。 gvLCR)(tv)(tiS 图 9-7 BUCK-BOOST 电路原理图 123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:13-Aug-2000Sheet of File:D:licircuitlihong.ddbDrawn By:QDCZVduciCioBuck-Boost电路图iLbQ导通Q关断Q关断时电感电流为零adcLiDiuLQDCZVducioiLLiDiuLQDCZVduciCioiLLiDiuLQDCZVduciCioiLLiDiuLCi图5-9 Buck-Boost电路原理图dtdiLVLdLfVT

6、LVtLViddondopenedL )(dtdiLVLOLfVLVTtLViOOoffOclosedL)1)1 ()(dOVV15 . 0dOUU5 . 0dOUU5 . 0dOUULRZ LOdRVIV2LII 当电感电流连续时，该电路有两种运行模态，当开关 S 导通时，对应于等效电路 9-8 所示，电感的电压和电容的电流分别为 )()(tvdttdiLtvgL （9-11） RtvdttdvCtiC)()( （9-12） gvLCR)(tv)(ti)(tiC+-)(tvL 图 9-8 S 导通时 BUCK-BOOST 变换器的等效电路 gvLCR)(tv)(ti)(tiC+-)(tvL

7、图 9-9 S 关断时 BUCK-BOOST 变换器的等效电路 电感的电压和电容的电流分别为 )()(tvdttdiLtvL （9-13） RtvtidttdvCtiC)()()( （9-14） gvt v t Lgvtd vtd v t gvtL v tLoni t i T Lvt i tontd TonoffTtt 图 9-10 电感电压和电流的几何平均示意图 1( )( )( )( )( )t ToffonLLggtttv tvdv tv td t v td t v tTTT （9-15） 其中：( )ontd tT为占空比， 1offtdtd tT ( )( )( )Lgdi tv t

8、Ld tv tdtv tdt （9-16） ( )( )gd tv td tv tdi tdtL （9-17） v tR v tRCv dT v T v t CitdTT Cit v ti tR v ti tRCC 图 9-11 电容电压和电流平均示意图 ( )( )Cdv tv titCdtR （9-18） ( )( )( )Cdv tv titCi tdtR （9-19） dTT git git i t 图 9-12 输入电流平均示意图 输入电流平均示意图如图 9-12 所示，第一个时间段，输入电流 giti t （9-21） 第二个时间段 0tig （9-22） 整个周期的平均值为 gi

9、td t i t （9-23） 稳态时， 电感电流 i t周期变化， 即 i tTi t。 在动态过渡过程中， 电感电流 i t从一个开关周期到另外一个开关周期中实际上是变化的， 电感电流的变化量可以从电感电压的平均值预测，电感的伏安方程为 Ldi tLvtdt （9-24） 两边除以电感，对电流从 i t从t到tT积分得 1t Tt TLttdivdL （9-25） 方程的左边可以写为 i tTi t，右边用平均值 Lvt表示为 LTi tTi tvtL （9-26） 方程的左边是一个周期内电流的变化量， 右边是用平均值表示的电感电流变化量。 把方程 9-26 写为如下的形式 sLi tTi

10、 tLvtT （9-27） 对电流平均值求导得 1t Ttdi ti tTi tdiddtdt TT （9-28） 把（9-28）的结果代入（9-27）得 Ldi tLvtdt （9-29） 这和方程（9-4）和式（9-5）的结果是一致的 ()(0)gvti d Tid TL （9-30） 在周期结束时，电感电流为 ( )()v ti Ti d Td TL （9-31） ( )(0)(0)ggvtv tTi Tid Td Tid vtd v tLLL （9-32） 方程（9-30）（9-32）如图 9-13 所示。方程 9-32 用初始状态(0)i表示了一个开关周期结束时的电流，方程（9-32

11、）预测电流的变化趋势。 gvtL v tL i T i tdTT实际电流波形平均电流波形 gd vtd v tL 图 9-13 用平均斜率来预测电感电流的变化 问题：稳态时平均斜率是多少？把电感电压、电流，电容电压、电流等平均电路公式重写如下 ( )( )( )Lgdi tv tLd tv tdtv tdt （9-33） ( )( )Cdv tv titCdti tdtR （9-34） gitd ti t （9-35） 据此画出平均等效电路如图 9-14 所示 + - gi t gv t d t i tL+ -+ -+ - i t gd t v t d t v t d t i tR v tRC

12、 图 9-14 平均值等效电路 平均值模型有如下特点： 1）该方程组是非线性的，因为包含了乘积项，比如 ( )gd tv t和 ( )dtv t，由于乘积而引入了非线性因数。 2）大多数的分析方法，比如 Laplace 变换和其他的复频域的分析方法在此都不能应用，必须把上述平均值模型线性化， 得到交流小信号模型。为了在一个稳态运行点, I V构造小信号模型， 假设平均变量等效为直流稳态值加上扰动量， 因此平均变量就可以写为如下的形式 ( )( )( ) ( )( )ggggggi tIi tv tVv td tDd tvtVv titIi t （9-36） 假设交流小信号的幅值远远小于稳态直流

13、分量，即 ( )( )( ) ( )( )ggggi tIv tVd tDv tVi tI （9-37） 把（9-36）代入方程（9-33）中得 )( )(tvVtdDtvVtdDdttiIdLgg （9-38） 整理上式得 ggggdi tdILDVD VdtdtDvtV d tD v tVd td t vtd t v t （9-39） 其中gDVD V为直流分量，根据式 9-39 可得直流部分的关系为 0gdIDVD Vdt （9-40） 输入电压和输出电压之间的关系为 DDDDVVg1 （9-41） 忽略二次项，并且各个变量满足如下的关系 Xtx （9-42） 从式 9-39 可得一次项

14、之间的关系为 ggdi tLDvtVV d tD v tdt （9-43） 同理，电容的交流小信号模型为 RtvVtiItdDdttvddtdVC)( （9-44） 整理上式得 )()()(titdRtvtiDtdIRVIDRtvVtiItdDdttvddtdVC （9-45） 直流分量之间的关系为 0RVID （9-46） 由此可得输入电流和输出电压之间的关系为 IRDV （9-47） 忽略二次项，可以得到一次项的关系为 RtvtiDtdIdttvdC)( )( （9-48） 同理，输入电流为 ggIitDd tIi t （9-49） 整理上式得 titdtdItiDDItiIgg （9-5

15、0） 直流分量之间的关系为 DIIg （9-51） 一次分量之间的关系为 tdItiDtig （9-52） 把式（9-41） 、 （9-47）和（9-51）所表示的直流分量关系写在一起，得如下的方程 gVDDV （9-53） IRDV （9-54） DIIg （9-55） 把式（9-43） 、 （9-48）和（9-52）所表示的一次项写在一起得 tvDtdVVtvDdtti dLgg （9-56） RtvtiDtdIdttvdC)( )( （9-57） tdItiDtig （9-58） L+ -+ -+ -+ - ti tvDg tdVVg tvD 图 9-15 电感电压的线性等效小信号电路

16、tiDR+ - Rtv tv C tdI dttvdC 图 9-16 电容电流的等效小信号电路 方程（9-57）描述了包含电容的节点电流平衡关系，该式表示的等效电路如图 9-16 所示。 同理，方程（9-58）的等效电路如图 9-17 所示 把图 9-15、9-16 和图 9-17 连接在一起，得到完整的等效电路，如图 9-18 所示 + - tig tvg tiD tdI 图 9-17 输入电流源的等效小信号电路 0vggd sv sGsvs （9-59） 它描述了输入电压到输出电压之间的传递函数 vgGs，是设计输出电压调节器时的主要依据。同样， 0gvt 的条件下，占空比 d t到输出电

17、压 v t的传递函数为 0gvdvsv sGsd s （9-60） 传递函数 vdGs描述了输入变量 d t如何影响输出电压 v t。而且 vdGs环增益的重要组成部分，对输出电压产生显著的影响。 svsGsdsGsvgvgvd （9-61） 在图 9-18 中，假设 0sd，则可以得到图 9-19a 所示的等效电路，简化后的等效电路如图9-19b 所示。 tig tvg tiDL+ - ti tvDg tvD tiDC dttvdC （a） 0sd时的等效电路 C v t+ - gDvtD2LD （b）简化后的等效电路 图 9-19 传递函数的求解 1：DD:1返回由于变换器工作于开、关两种

18、状态，把开关作为理想开关。下面以 buck 变换器为例，说明利用状态空间平均法建立小信号传递函数方法。 buck 变换器工作于连续导通工作模式（CCM: Continuous Conduction Mode of Operation)，设： D工作点占空比； OV工作点输出电压； d占空比小摄动； ov输出电压的小摄动； T工作周期； sV输入直流电源电压。 123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:5-Aug-2000 Sheet of File:D:licircuitlihong.ddbDrawn By:QDLCZVducaQDLCZ

19、VduccQDLCZVducbQDLCZVducdiCioioioioQ导通Q关断Q关断时电感电流为零Buck电路图LiLiLi图5-5 Buck变换器原理图及不同开关状态下的等效电路图 ontt 0dtdiLVVLOddtdiLuLLontdt onOdLLonOdLOdtLVViitLVVdidtLVVonOdopenedLtLVVi )(dtdiLVLOOffOLOLtLViLVdtdiOffOclosedLtLVi )(Tttonofftdt offOonOdtLVtLVVTtonTtoff)1 (dOVV VSLLCRCR1Mode2Mode 图 9-20 Buck 变换器工作模式

20、1、建立由电感电流Li和电容电压Cv组成的状态变量： LCixv （9-65） 在状态变量、占空比、输入电源电压中增加摄动，在输出电压也随之出现摄动： ,sssoooxXxdDdvVvvVv （9-66） 在下面分析中，我们认为输入电源是恒定不变的，因此ssvV，写出状态空间方程 2 、平均： 电路模式的两个状态表达式与相应的时间对应，在开关周期T内平均 121212(1)(1)(1)soxAdAdxBdBdVvC dCdx （9-70） 3 、稳态值 设状态变量、电源及占空比的稳态值为 ,0oosoxXvVdDxAXBVVCX （9-71） 121212(1)(1)(1)AADADBB DBDCC DCD （9-72） 1011LACRC ，0DBL，01C （9-73） 其中 因此可得稳态传递函数 1sXA BV 11()ossVCXCA B VCA BV 1osVCA BV （9-74） 带入相关矩阵得 11110111/00osDVRCLCA BDLVLCC （9-75） 4 、状态表达式加摄动 12121212121212121212()(1) ()()(1)(1)()(1)()()()()()(ssssxxA DdADdXxB DdBDdVADADAdA dXxB DBDBdB d VAAA dXx